人教版九年級數(shù)學(xué)知識點歸納

人教版九年級數(shù)學(xué)知識點歸納21.1一元二次方程一元二次方程是指一個等式中只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程。它有四個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理。如果能整理為ax+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程。(4)將方程化為一般形式：ax^2+bx+c=0時，應(yīng)滿足(a≠0)。21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法：用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù)。直接開平方法就是平方的逆運(yùn)算。通常用根號表示其運(yùn)算結(jié)果。2、配方法：通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。具體步驟如下：1.轉(zhuǎn)化：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）。2.系數(shù)化1：將二次項系數(shù)化為1。3.移項：將常數(shù)項移到等號右側(cè)。4.配方：等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。5.變形：將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式。6.開方：左右同時開平方。7.求解：整理即可得到原方程的根。3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b^2-4ac的值，當(dāng)b^2-4ac≥0時，把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b±√(b^2-4ac))/2a就可得到方程的根。4、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。21.3實際問題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展。從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題非常相似。但當(dāng)未知數(shù)出現(xiàn)二次時，用算術(shù)方法就會變得困難。正因為未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決面積問題、經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題、數(shù)學(xué)中涉及積的問題、經(jīng)營決策問題等等。22.1二次函數(shù)及其圖像二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)，可以表示為y=ax2+bx+c（a不為0）。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般式為y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），頂點坐標(biāo)為(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；頂點式為y=a(x-h)2+k（a≠0，a、h、k為常數(shù)），頂點坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為x=h。頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax的圖像相同，有時題目會要求用配方法把一般式化成頂點式；交點式為y=a(x-x?)(x-x?)（僅限于與x軸有交點A（x?，0）和B（x?，0）的拋物線）。重要概念：a、b、c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。當(dāng)a>0時，開口方向向上；當(dāng)a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小，a的絕對值越大，開口就越??；a的絕對值越小，開口就越大。在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像可以通過平移一般式得到。軸對稱：1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-b/2a。2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b)/4a)。當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素。一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定拋物線的性質(zhì)，其中a和b的符號決定了對稱軸的位置。當(dāng)a和b同號時，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a和b異號時，對稱軸在y軸右側(cè)?？梢院唵斡洃洖樽笸耶?。除了決定對稱軸位置外，b還有自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的切線斜率k。該斜率可以通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。另外，常數(shù)項c決定了拋物線與y軸的交點。拋物線與x軸的交點個數(shù)取決于判別式Δ的值。當(dāng)Δ大于0時，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)Δ等于0時，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)Δ小于0時，拋物線與x軸沒有交點。當(dāng)a的符號不同時，拋物線在對稱軸處取得最大值或最小值。對于一元二次方程，拋物線的公共點橫坐標(biāo)即為方程的一個根。拋物線與x軸的位置關(guān)系對應(yīng)著方程根的個數(shù)和情況。在實際問題中，求解最優(yōu)解等問題可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。旋轉(zhuǎn)則是將一個圖形繞定點旋轉(zhuǎn)一定角度，可以通過旋轉(zhuǎn)公式計算旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)。生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象可以分為兩類：物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和基本圖形通過旋轉(zhuǎn)形成的圖案，例如時鐘的指針、風(fēng)車的轉(zhuǎn)動和香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案等。圖形的旋轉(zhuǎn)不會改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)的中心可以在圖形上或圖形外。旋轉(zhuǎn)的基本特征包括圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。在理解旋轉(zhuǎn)特征時，需要找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)角。中心對稱是指把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這個圖形就是關(guān)于這個點對稱或中心對稱的。中心對稱的性質(zhì)包括對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，并被對稱中心所平分，關(guān)于中心對稱的圖形是全等形。對稱點的坐標(biāo)規(guī)律包括關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；關(guān)于原點對稱，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。圖案設(shè)計是通過圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱或幾種的組合）把基本圖形組成具有一定意義的新圖形。在圖案設(shè)計時，不僅需要正確使用圖形變換，還需要體現(xiàn)設(shè)計意圖。圓是平面上到定點距離等于定長的所有點組成的圖形，或平面上一條線段繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°留下的軌跡。圓心可以是定點或線段的端點，也可以是圓的任意兩條對稱軸的交點。1.在圓內(nèi)任意一條弦的二分點是圓心O。2.圓的直徑是通過圓心并且兩端都在圓上的線段，用字母d表示。3.圓的半徑是連接圓心和圓上任意一點的線段，用字母r表示。4.圓的直徑和半徑都有無數(shù)條，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一，即d=2r或r=二分之d。5.圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。6.圓的周長是圍成圓的曲線的長度，用字母C表示。圓的周長與直徑的比值叫做圓周率，用字母π表示。圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，通常取近似值π≈3.14。7.直徑所對的圓周角是直角，即90°。圓心角是弧所對圓周角的二分之一。8.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。如果兩條弧或弦相等，則它們所對的圓心角和弦心距也相等。9.圓的面積是圓所占平面的大小，用字母S表示，公式為πr^2。10.三個不共線的點可以確定一個圓，即外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。11.直線和圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離。相交時直線和圓有兩個公共點，叫做圓的割線；相切時直線和圓有一個公共點，叫做圓的切線，這個點叫做切點；相離時直線和圓沒有公共點。圓柱的側(cè)面積是指圓柱的側(cè)面展開成一個矩形后的面積。該矩形的兩條鄰邊分別為圓柱的高和底面圓的周長。對于底面半徑為r，高為h的圓柱，其側(cè)面積為2πrh。圓錐與圓柱是兩種不同的幾何形體。圓錐的全面積包括底面積和側(cè)面積，而圓柱的全面積只包括兩個底面和一個側(cè)面。圓錐的側(cè)面積公式是關(guān)鍵，因為了解它可以幫助我們理解圓錐的全面積和側(cè)面積之間的關(guān)系。在圓錐的側(cè)面積公式中，側(cè)面積是由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的。以Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周為例。圓柱的側(cè)面積則是由一個矩形旋轉(zhuǎn)而成的，以矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周為例。兩種形狀的側(cè)面展開圖分別為扇形和矩形。在概率初步章節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件和概率的概念。隨機(jī)試驗具有可重復(fù)性、多種可能結(jié)果和不確定性。樣本空間是試驗所有可能結(jié)果的集合。隨機(jī)事件是在大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情，包括必然事件和不可能事件。頻率是隨機(jī)事件在n次重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)n的比值。當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，頻率的穩(wěn)定值p稱為概率。古典概型是一種特殊的隨機(jī)試驗，樣本空間是有限集，每個樣本點出現(xiàn)的概率相同。在古典概型中，事件A的概率為其包含的樣本點數(shù)與樣本空間大小的比值。x的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中k是常數(shù)且k≠0。反比例函數(shù)的圖象通常是一個叫做雙曲線的圖形。反比例函數(shù)的定義域為所有非零實數(shù)，值域為所有實數(shù)。26.2知識點2反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)有以下性質(zhì)：1、當(dāng)x>0時，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x<0時，y隨著x的減小而增大，當(dāng)x=0時，y無定義。2、反比例函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。3、反比例函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的。4、反比例函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的。5、反比例函數(shù)在定義域內(nèi)是可導(dǎo)的，且導(dǎo)數(shù)為dydxkx2。6、反比例函數(shù)的反函數(shù)也是反比例函數(shù)。26.3知識點3反比例函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)在實際生活中有很多應(yīng)用，例如電路中的電阻、電容和電感等元件，它們的阻抗、容抗和感抗與頻率成反比例關(guān)系。另外，當(dāng)一個物體在空氣中自由落體時，它的速度與時間的關(guān)系也是反比例關(guān)系。反比例函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有很多應(yīng)用，例如供求關(guān)系、生產(chǎn)函數(shù)等。因此，學(xué)好反比例函數(shù)對我們的日常生活和學(xué)習(xí)都有很大的幫助。反比例函數(shù)的圖像位置和函數(shù)的增減性，由反比例函數(shù)系數(shù)k的符號決定。具體來說，當(dāng)反比例函數(shù)y=k/x在第一、第三象限時，可知k>0；而在第二、第四象限時，可知k<0。反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的絕對值k表示函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點到原點的距離。如圖所示，過雙曲線上任一點P(x,y)分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則k=xy=x·y=PF·PE=S矩形OEPF的面積。反比例函數(shù)的圖像為雙曲線y=k/x，其位置與函數(shù)的增減性由反比例函數(shù)系數(shù)k的符號決定。當(dāng)k越大時，雙曲線離坐標(biāo)原點越遠(yuǎn)；而當(dāng)k越小時，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點。雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標(biāo)原點；雙曲線也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=-x。27.1圖形的相似是指兩個形狀相同但大小不一定相等的圖形，表示為∽。如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形相似。相似多邊形的對應(yīng)邊的比稱為相似比，相似比為1時，相似的兩個圖形全等。相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。27.2相似三角形的判定有四種情況：1.兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等；2.兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等；3.三邊對應(yīng)成比例；4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例如，如果∠A=∠A'且∠B=∠B'，則△ABC∽△A'B'C'。相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。27.3位似是指兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行。這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比又稱為位似比。位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，但隨著位似中心的變化，位似圖形也會相應(yīng)地變化。