第一章 集合與常用邏輯用語 測試題二含解析

第第頁第一章集合與常用邏輯用語測試題（二）（含解析）2023年高中數(shù)學第一章測試題（二）

考試時間：120分鐘滿分：150分

命題人：

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．（本題5分）已知命題函數(shù)與x軸有兩個交點；恒成立．若p和均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

2．（本題5分）若命題“，使成立”的否定是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．

C．D．

3．（本題5分）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是（）

A．B．C．D．或

4．（本題5分）某城市數(shù)、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加數(shù)學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學生共有51名，則沒有參加任何競賽的學生共有（）名

A．7B．8C．9D．10

5．（本題5分）已知集合，，則（）

A．B．C．D．

6．（本題5分）已知集合,則（）

A．B．C．D．

7．（本題5分）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A．B．

C．D．

8．（本題5分）設集合，且，則（）

A．B．C．2D．4

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

9．（本題5分）若“，或”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（）

A．B．C．D．

10．（本題5分）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

A．B．

C．D．

11．（本題5分）下列說法正確的是（）

A．“萬事俱備，只欠東風”，則“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要不充分條件

B．若是的必要不充分條件，是的充要條件，則是的充分不必要條件

C．方程有唯一解的充要條件是

D．表示不超過的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，則“”是“”的充要條件

12．（本題5分）下列命題中，真命題的是（）

A．若且則至少有一個大于B．

C．的充要條件是D．至少有一個實數(shù)，使得

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13．（本題5分）若，則實數(shù)的一個取值為__________.

14．（本題5分）己知集合．

（1）若，則實數(shù)a的取值范圍是__________．（1分）

（2）若，則實數(shù)a的取值范圍是__________．（2分）

（3）若，則實數(shù)a的取值范圍是__________．（2分）

15．（本題5分）已知.若，則實數(shù)m的取值范圍為________.

16．（本題5分）非空集合關于運算滿足：（1）對任意的，，都有；（2）存在，都有，則稱關于運算為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運算：

①{非負整數(shù)}，為整數(shù)的加法；

②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法；

③{平面向量}，為平面向量的加法；

④{二次三項式}，為多項式的加法．

其中關于運算為“融洽集”的是________．（寫出所有“融洽集”的序號）

解答題（本大題共6小題,共70分，解答應寫出文字說明，說明過程或演算步驟）

17．（本題10分）已知集合，．

(1)若，求；

(2)若命題P：“，”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

18．（本題12分）已知命題p：；q：，使

(1)若命題p是假命題，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若命題p是假命題，命題q是真命題，求實數(shù)的取值范圍．

19．（本題12分）設．

(1)命題，使得成立．若為假命題，求實數(shù)的取值范圍；

(2)解關于的不等式．

20．（本題12分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．

（1）求圖中陰影部分表示的集合C；

（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．

21．（本題12分）設全集，集合，非空集合．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．

22．（本題12分）若集合具有以下性質：①，；②若，，則，且時，.則稱集合A是“好集”.

(1)分別判斷集合，有理數(shù)集是不是“好集”，并說明理由；

(2)設集合是“好集”，求證:若，，則；

(3)對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.

命題：若，，則必有；

命題：若，，且，則必有.2023年高中數(shù)學第一章測試題（二）

參考答案

1．C

【分析】先求出命題或和或，再利用p和均為真命題即可求出結果.

【詳解】因為與x軸有兩個交點，所以，得到或，故或，

又恒成立，所以，整理得到，得到，

所以或，

又因為p和均為真命題，故或，得到或.

故選：C.

2．C

【分析】真命題轉化為不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍求解即可.

【詳解】若“，使成立”的否定是：

“，使”為真命題，

即；令，

由，得，所以，

所以，

故選：C.

3．C

【分析】求出滿足題意的充要條件為，然后根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，即可得出答案.

【詳解】因為不等式的解集為，

所以應有，

解得.

選擇的必要不充分條件的范圍，應該大于包含的范圍，顯然只有C項滿足.

故選：C.

4．D

【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨參加物理、數(shù)學和化學的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進而求出沒有參加任何競賽的學生.

【詳解】畫三個圓分別代表數(shù)學、物理、化學的人，

因為有26名學生參加數(shù)學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，

參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，

只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，

所以單獨參加數(shù)學的有人，

單獨參加物理的有人，單獨參加化學的有，

故參賽人數(shù)共有人，

沒有參加任何競賽的學生共有人.

故選：D.

5．B

【分析】求出集合再求交集即可.

【詳解】，，

則.

故選：B.

6．C

【分析】分別解集合,再用集合的交集運算即可得出答案

【詳解】集合,解得,

,即,解得,故,

所以

故選：C

7．D

【分析】利用集合的交并補的定義，結合圖即可求解.

【詳解】因為或，或，

所以或或或，

或或或.

由題意可知陰影部分對于的集合為，

所以，

或.

故選：D.

8．B

【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合A、B，根據(jù)交集的結果求參數(shù)a即可.

【詳解】由，可得，即，而，

∵，

∴，可得.

故選：B.

9．BD

【分析】根據(jù)所給真命題、假命題成立的條件，再求出它們的交集即可得集合M滿足的條件.

【詳解】命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，可得，

命題“，或”為真命題，則或，

所以或或，顯然，B，D選項中的區(qū)間為的子集．

故選：BD．

10．AD

【分析】在陰影部分區(qū)域內任取一個元素，分析與集合、、的關系，利用集合的運算關系，逐個分析各個選項，即可得出結論.

【詳解】如圖，在陰影部分區(qū)域內任取一個元素，則或，所以陰影部分所表示的集合為，再根據(jù)集合的運算可知，陰影部分所表示的集合也可表示為，

所以選項AD正確，選項CD不正確，

故選：AD.

11．AB

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義依次判斷各選項即可.

【詳解】對于A，“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件，故A正確；

對于B，若是的必要不充分條件，則，；

若是充要條件，則，；

則有，，即是的充分不必要條件，故B正確；

對于C，當時，方程可化為，也滿足唯一解的條件，故C錯誤；

對于D，依題意，得，，所以“”“”，即充分性成立；

反之不成立，如，，，不能推出“”，即必要性不成立，故D錯誤．

故選：AB．

12．ABD

【分析】假設，中沒有一個大于得，與矛盾可判斷A；可判斷B；取時可判斷C；取可判斷D.

【詳解】對于A，假設，中沒有一個大于2，即，，則，與矛盾，故A正確；

對于B，由即，則，故在上恒成立，故B正確；

對于C，當時，，推不出，必要性不成立，故C錯誤；

對于D，當，此時，所以至少有一個實數(shù)，

使得，故D正確.

故選：ABD.

13．（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意，由交集的定義可知不等式的解集為的子集即可滿足題意.

【詳解】因為，

且當時，即時，，

當時，即時，才有可能使得，

當?shù)膬筛鶆偤檬菚r，即，此時的解集為剛好滿足，

所以，所以實數(shù)的一個取值可以為.

故答案為:

14.

【分析】利用集合間的關系，即可得出答案.

【詳解】（1）若，得，

所以實數(shù)a的取值范圍是.

（2），即，所以，

所以實數(shù)a的取值范圍是.

（3）若，即，所以，

則實數(shù)a的取值范圍是.

故答案為：；；.

15．或.

【分析】根據(jù)，分和兩種情況討論求解.

【詳解】已知集合，且，

或

當時，，解得，符合題意；

當時，且，

則或，解得，

綜上：實數(shù)的取值范圍為或.

故答案為：或.

16．①③

【分析】對新定義“融洽集”需要滿足的兩個條件進行驗證，只有都滿足時才是G關于運算為“融洽集”，依次判斷即可.

【詳解】對于①，{非負整數(shù)}，為整數(shù)的加法；

當，都為非負整數(shù)時，，通過加法運算還是非負整數(shù)，滿足條件（1），

且存在一整數(shù)有，滿足條件（2），

所以①為“融洽集”；

對于②，{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法，

由于任意兩個偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿足條件（1），

但不存在偶數(shù),使得一個偶數(shù)與的積仍是此偶數(shù)，故不滿足條件（2），

故不滿足“融洽集”的定義；

對于③，{平面向量}，為平面向量的加法，

若，為平面向量，兩平面向量相加仍然為平面向量，滿足條件（1），

且存在零向量通過向量加法，滿足條件（2），

所以③為“融洽集”；

對于④，{二次三項式}，為多項式的加法，

由于兩個二次三項式的和不一定是二次三項式，如與的和為，不滿足條件（1），

故不滿足“融洽集”的定義；

故答案為：①③

17．(1)

(2)或

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的補集和交集的定義即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結論及真命題的定義，結合子集的定義即可求解.

【詳解】（1）當時，

，則.

（2）由（1）知，，，

由命題P：“，”是真命題可知：

故或，解得：或

實數(shù)a的取值范圍為或．

18．(1)；(2).

【分析】（1）先求出p是真命題時的取值范圍，進而求出p是假命題，實數(shù)的取值范圍；

（2）求出q是真命題的取值范圍，結合（1），即可求解.

【詳解】（1）若命題p是真命題，即在上恒成立.

當時，，不能恒成立；

當時，只需即，．

若命題p是假命題，則．

即實數(shù)的范圍為.

（2）若命題q為真命題，即，使，即在上的最大值大于等于0.

因為為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故當2時取得最大值，即

屬于當p假q真時，只需且，即．

即實數(shù)的范圍為.

19．(1)(2)答案見解析

【分析】（1）分析可知，恒成立，即為恒成立，分、兩種情況討論，綜合可得出實數(shù)的取值范圍；

（2）將所求不等式變形為，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用二次不等式或一次不等式的解法解原不等式，綜合可得出原不等式的解集.

【詳解】（1）解：若為假命題，則，恒成立，即為恒成立，

當時，，不合題意；

當，則，即，解得或，

又因為，則.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

（2）解：不等式等價于，

不等式可化為，

當時，則，解原不等式可得；

當時，則，原不等式即為，解得；

當時，則，解原不等式可得或；

當時，則，解原不等式可得或；

當時，原不等式即為，解得.

綜上所述，當時，原不等式的解集為或

當時，原不等式的解集為；

當時，原不等式的解集為或；

當時，原不等式的解集為；

當時，原不等式的解集為.

20．（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3}

【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得C=A∩（UB），進而由補集的定義求出UB，再由交集的定義可得A∩（UB），即可得出答案；（2）根據(jù)題意，先求出集合A∪B，結合集合子集的定義可得，解出的范圍，即可得到答案．

【詳解】（1）根據(jù)題意，分析可得：C=A∩（UB），

B={x|2＜x＜4}，則UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，

則C=A∩（UB）={x|1≤x≤2}；

（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．則A∪B={x|1≤x＜4}，

若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D（A∪B），

則有，解可得2＜a≤3，

即實數(shù)a的取值范圍是{a|2＜a≤3}．

【點睛】本題考查集合間包含關系的運用，涉及venn圖表示集合的關系，（2）中注意D為非空集合．

21．(1)(2)

【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的運算法則求，

（2）由條件列不等式求的取值范圍．

【詳解】（1）由，解得，

∴，

當時，，

∴

（2）“”是“”的充分條件

∴，又集合，∴，解得∴實數(shù)的取值范圍為.

22．

(1)集合不是“好集”，有理數(shù)集是“好集”，理由見解析

(2)證明見解析

(3)命題、均為真命題，理由見解析

【分析】（1）按照新定義，判斷、是否符合條件即可；

（2）根據(jù)條件進行推導，先判斷，進而可證；

（3）類似（2）根據(jù)“好集”的性質進行推導即可.

【詳解】（1