專題06函數(shù)及其表示

專題06函數(shù)及其表示知識梳理考綱要求考點預(yù)測常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：判斷兩個函數(shù)是否相等題型二：求具體函數(shù)定義域題型三：求抽象函數(shù)定義域題型四：求函數(shù)的解析式題型五：求常見函數(shù)的值域題型六：求分段函數(shù)的函數(shù)值題型七：分段函數(shù)與方程、不等式問題培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強化測試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識梳理】【考綱要求】1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.2.在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.【考點預(yù)測】1.函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一個函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.【常用結(jié)論】1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點.2.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).【方法技巧】1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.4.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.5.函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).6.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.7.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.二、【題型歸類】【題型一】判斷兩個函數(shù)是否相等【典例1】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|，則下列函數(shù)中與f(x)相等的函數(shù)是()A．g(x)＝eq\f(|x2－1|,|x＋1|)B．g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|x2－1|,|x＋1|)，x≠－1，,2，x＝－1))C．g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x＞0，,1－x，x≤0))D．g(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|x2－1|,|x＋1|)＝|x－1|，x≠－1，,2，x＝－1))與f(x)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，故選B.【典例2】下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\r(3,x3)B．f(x)＝eq\f(|x|,x)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x＜0))C．f(x)＝eq\r(2n＋1,x2n＋1)，g(x)＝(eq\r(2n－1,x))2n－1，n∈N*D．f(x)＝eq\r(x)·eq\r(x＋1)，g(x)＝eq\r(x（x＋1）)【解析】對于A，f(x)＝eq\r(x2)＝|x|，g(x)＝eq\r(3,x3)＝x，它們的值域和對應(yīng)關(guān)系都不同，所以不是同一函數(shù)；對于B，函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定義域為R，所以不是同一函數(shù)；對于C，當(dāng)n∈N*時，2n±1為奇數(shù)，則f(x)＝eq\r(2n＋1,x2n＋1)＝x，g(x)＝(eq\r(2n－1,x))2n－1＝x，它們的定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一函數(shù)；對于D，f(x)的定義域為[0，＋∞)，而g(x)的定義域為(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它們的定義域不同，所以不是同一函數(shù)．故選C.【典例3】(多選)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0))D．f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)【解析】AC正確，B定義域不同，D對應(yīng)法則不同.故選AC.【題型二】求具體函數(shù)定義域【典例1】函數(shù)f(x)＝1lnx+1＋eq\r(4－x2)的定義域為()A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2] D．(－1,2]【解析】要使函數(shù)有意義，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈(－1,0)∪(0,2]．所以函數(shù)的定義域為(－1,0)∪(0,2]．故選B.【典例2】函數(shù)y＝lg(x2－4)＋eq\r(x2＋6x)的定義域是()A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4>0，,x2＋6x≥0，))解得x>2或x≤－6.因此函數(shù)的定義域為(－∞，－6]∪(2，＋∞)．故選B.【典例3】函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))【解析】要使函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4x2>0，,3x－1>0))?eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2).∴函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).故選B.【題型三】求抽象函數(shù)定義域【典例1】若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)f(x－1)的定義域為________．【解析】∵f(x)的定義域為[0,2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函數(shù)f(x－1)的定義域為[1,3]．【典例2】已知函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)＋eq\r(1－2x)的定義域為__________．【解析】由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤2x≤2，,1－2x≥0，))解得－1≤x≤0，所以函數(shù)g(x)的定義域是[－1,0]．【典例3】已知函數(shù)f(2x－1)的定義域為[1，4]，求函數(shù)f(2x)的定義域為________．【解析】令1≤2x≤7，得0≤x≤log27，故所求函數(shù)的定義域為[0，log27]．故填[0，log27]．【題型四】求函數(shù)的解析式【典例1】若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當(dāng)x≠0，且x≠1時，f(x)等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－1【解析】f(x)＝eq\f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．故選B.【典例2】已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________.【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.【典例3】定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則f(x)＝________________.【解析】當(dāng)x∈(－1,1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①將x換成－x，則－x換成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1<x<1)．【題型五】求常見函數(shù)的值域【典例1】函數(shù)y＝eq\f(x－3,x＋1)的值域為________．【解析】y＝eq\f(x－3,x＋1)＝eq\f(x＋1－4,x＋1)＝1－eq\f(4,x＋1)，因為eq\f(4,x＋1)≠0，且可取除0外的一切實數(shù)，所以1－eq\f(4,x＋1)≠1，且可取除1外的一切實數(shù)．故函數(shù)的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．【典例2】函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的值域為________．【解析】函數(shù)的定義域為[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y＝x和y＝eq\r(x－1)都是增函數(shù)，∴y＝x＋eq\r(x－1)也是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時取得最小值1，∴函數(shù)的值域是[1，＋∞)．故填[1，＋∞)．【典例3】求下列函數(shù)的值域：(1)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)；(2)y＝2x＋eq\r(1－x)；(3)y＝2x＋eq\r(1－x2)；(4)y＝eq\f(x2－2x＋5,x－1)；(5)若x，y滿足3x2＋2y2＝6x，求函數(shù)z＝x2＋y2的值域；(6)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4)).【解析】(1)解法一：(反解)由y＝eq\f(1－x2,1＋x2)，解得x2＝eq\f(1－y,1＋y)，∵x2≥0，∴eq\f(1－y,1＋y)≥0，解得－1＜y≤1，∴函數(shù)值域為(－1，1]．解法二：(分離常數(shù)法)∵y＝eq\f(1－x2,1＋x2)＝－1＋eq\f(2,1＋x2)，又∵1＋x2≥1，∴0＜eq\f(2,1＋x2)≤2，∴－1＜－1＋eq\f(2,x2＋1)≤1，∴函數(shù)的值域為(－1，1]．(2)(代數(shù)換元法)令t＝eq\r(1－x)(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,8).∵t≥0，∴y≤eq\f(17,8)，故函數(shù)的值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(17,8))).(3)(三角換元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝eq\r(5)sin(t＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cosφ＝\f(1,\r(5))，sinφ＝\f(2,\r(5)))).∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.故函數(shù)的值域為[－2，eq\r(5)]．(4)解法一：(不等式法)∵y＝eq\f(x2－2x＋5,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋4,x－1)＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)，又∵x＞1時，x－1＞0，x＜1時，x－1＜0，∴當(dāng)x>1時，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)≥2eq\r(4)＝4，且當(dāng)x＝3，等號成立；當(dāng)x<1時，y＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－（x－1）＋\f(4,－（x－1）)))≤－4，且當(dāng)x＝－1，等號成立．∴函數(shù)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法二：(判別式法)∵y＝eq\f(x2－2x＋5,x－1)，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，又∵函數(shù)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的實根．∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y(tǒng)2－16≥0，解得y≤－4或y≥4.當(dāng)y＝－4時，x＝－1；y＝4時，x＝3.故所求函數(shù)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(5)(單調(diào)性法)∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.z＝x2＋y2＝x2＋3x－eq\f(3,2)x2＝－eq\f(1,2)x2＋3x＝－eq\f(1,2)(x－3)2＋eq\f(9,2).∵對稱軸為x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝0時，z有最小值0，當(dāng)x＝2時，z有最大值4，故所求函數(shù)的值域為[0，4]．(6)(圖象法)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－5，x＜－\f(1,2)，,3x－3，－\f(1,2)≤x≤4，,x＋5，x＞4，))作出其圖象，可知函數(shù)f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞)).【題型六】求分段函數(shù)的函數(shù)值【典例1】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,ax＋b，x≤0，))且f(0)＝2，f(－1)＝3，則f(f(－3))等于()A．－2B．2C．3D．－3【解析】由題意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝eq\f(1,2).故f(－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＋1＝9，從而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.【典例2】已知函數(shù)fx=13x，x≥3fx+1，【解析】∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又3<3＋log32<4，∴f(3＋log32)＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×＝eq\f(1,27)×＝eq\f(1,27)×＝eq\f(1,27)×＝eq\f(1,27)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,54)，∴f(2＋log32)＝eq\f(1,54).【典例3】已知fx=cosπx，x≤1fx-1+1，x>1，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－1D．1【解析】f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1))＋1＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋1＝cos

eq\f(π,3)＋1＝eq\f(3,2)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝cos

eq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝1.故選D.【題型七】分段函數(shù)與方程、不等式問題【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))則使f(x)＝eq\f(1,2)的x的集合為__________．【解析】由題意知，若x≤0，則2x＝eq\f(1,2)，解得x＝－1；若x>0，則|log2x|＝eq\f(1,2)，解得x＝或x＝.故x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2))).【典例2】已知函數(shù)f(x)＝若f(a)>eq\f(1,2)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【解析】當(dāng)a≤0時，令2a>eq\f(1,2)，解得－1<a≤0；當(dāng)a>0時，令>eq\f(1,2)，解得0<a<eq\f(\r(3),3).∴a∈(－1,0]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，即a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),3))).【典例3】已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．【解析】當(dāng)a>0時，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合題意；當(dāng)a<0時，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)，符合題意．綜上，a＝－eq\f(3,4).三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】(多選)若函數(shù)f(x)滿足：對定義域內(nèi)任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，則稱函數(shù)f(x)具有H性質(zhì)．則下列函數(shù)中具有H性質(zhì)的是()A．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xB．f(x)＝lnxC．f(x)＝x2(x≥0)D．f(x)＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x<\f(π,2)))【解析】若對定義域內(nèi)任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，則點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的中點在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))的上方，如圖eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a＝f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，b＝\f(fx1＋fx2,2))).根f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x<\f(π,2)))具有H性質(zhì)，函數(shù)f(x)＝lnx不具有H性質(zhì)．【訓(xùn)練二】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x＋2)＝eq\r(2)f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，－1<x<0，,be2x，0≤x≤1，))其中a，b為正實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則eq\f(a,b)的取值范圍為________．【解析】因為f(x＋2)＝eq\r(2)f(x)，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋4))＝(eq\r(2))2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eb，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝eq\r(2)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋a))＝eq\r(2)(a－1)，因為f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，所以eq\r(2)(a－1)＝2eb，所以a＝eq\r(2)eb＋1，因為b為正實數(shù)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2)eb＋1,b)＝eq\r(2)e＋eq\f(1,b)∈(eq\r(2)e，＋∞)，故eq\f(a,b)的取值范圍為(eq\r(2)e，＋∞)．【訓(xùn)練三】已知函數(shù)f(x)滿足對任意的x∈R都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝4成立，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)))＝________.【解析】由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝4，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)))＝4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,8)))＝4，…，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)))＝4，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,8)))＝2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)))＝4×7＋2＝30.【訓(xùn)練四】定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x＞0，))則f(2015)的值為________．【解析】∵x>0時，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．兩式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，因此，f(2015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2015)＝1，故填1.【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，則a的取值范圍是________.【解析】依題意f(x)的值域與g(x)的值域有交集，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，f(x)∈[－1，1]，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，g(x)∈[a＋1，a＋4]，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≤－1，,a＋4≥－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≤1，,a＋4≥1，))解得－5≤a≤0.【訓(xùn)練六】高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù).例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋3,2x＋1)，求函數(shù)y＝[f(x)]的值域.【解析】f(x)＝eq\f(2x＋3,2x＋1)＝eq\f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq\f(2,2x＋1)，∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜eq\f(1,2x＋1)＜1，則0＜eq\f(2,2x＋1)＜2，1＜1＋eq\f(2,2x＋1)＜3，即1＜f(x)＜3.當(dāng)1＜f(x)＜2時，[f(x)]＝1，當(dāng)2≤f(x)＜3時，[f(x)]＝2.綜上，函數(shù)y＝[f(x)]的值域為{1，2}.四、【強化測試】【單選題】1.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】圖象①關(guān)于x軸對稱，x>0時，每一個x對應(yīng)2個y，圖象②中x0對應(yīng)2個y，所以①②均不是函數(shù)圖象；圖象③④是函數(shù)圖象．故選B.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,1－log2x，x>0，))則f(f(8))等于()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2【解析】∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2，∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝eq\f(1,2).故選C.3.設(shè)函數(shù)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，則f(x)的表達(dá)式為()A.eq\f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq\f(1＋x,x－1)(x≠－1)C.eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq\f(2x,x＋1)(x≠－1)【解析】令t＝eq\f(1－x,1＋x)，則x＝eq\f(1－t,1＋t)，∴f(t)＝eq\f(1－t,1＋t)，即f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)．故選C.4.函數(shù)的定義域為()A．(－∞，3] B．(1，＋∞)C．(1,3]D． [3，＋∞)【解析】依題意，即，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤2，,x－1>0，))解得1<x≤3.故選C.5.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()A．y＝eq\r(x－1) B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,3x－1) D．y＝eq\f(x＋1,x－1)【解析】y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，函數(shù)的定義域為{x|x≠1}，值域為{y|y≠1}，故選D.6.函數(shù)y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))【解析】設(shè)eq\r(1－2x)＝t，則t≥0，x＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq\f(1－t2,2)－t＝eq\f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq\f(1,2)(t＋1)2＋2，因為t≥0，所以y≤eq\f(3,2).所以函數(shù)y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，故選B.7.定義a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a×b，a×b≥0，,\f(a,b)，a×b<0，))設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx⊕x，則f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．4ln2 B．－4ln2C．2 D．0【解析】2×ln2>0，所以f(2)＝2×ln2＝2ln2.因為eq\f(1,2)×lneq\f(1,2)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(ln\f(1,2),\f(1,2))＝－2ln2.則f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2ln2－2ln2＝0.故選D.8.設(shè)f(x)，g(x)都是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：?x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))則()A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)【解析】對于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），f（x）>0，,f2（x），f（x）≤0，))當(dāng)x>0時，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；當(dāng)x＝0時，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此對任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正確，選A．【多選題】9.下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)是相等函數(shù)的是()A．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnxB．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2C．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)【解析】對于選項A，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為{x|x>0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于選項B，g(x)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于選項C，g(x)＝eq\r(3,x3)＝x，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是相等函數(shù)；對于選項D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是相等函數(shù)．故選CD.10.函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，則下列等式成立的是()A．f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) B．－f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))C．eq\f(1,f（x）)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) D．f(－x)＝－f(x)【解析】根據(jù)題意得f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(\f(1,x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq\f(x,1＋x2)，所以f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))；f(－x)＝eq\f(－x,1＋（－x）2)＝－eq\f(x,1＋x2)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．故AD正確，BC錯誤．故選AD.11.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,－x2，x>0，))則下列結(jié)論中正確的是()A．f(－2)＝4 B．若f(m)＝9，則m＝±3C．f(x)是偶函數(shù) D．f(x)在R上單調(diào)遞減【解析】由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A選項正確；由f(m)＝9>0知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B選項錯誤；由f(x)的圖象(圖略)可知f(x)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，故C選項錯誤，D選項正確．故選AD.12.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x－1），x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤1，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(f(1))＝eq\f(\r(2),2) B．f(f(－1))＝eq\f(1,2)C．f(f(0))＝eq\f(1,2) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,19)))))＝19【解析】f(f(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，選項A正確；f(f(－1))＝f(2)＝0≠eq\f(1,2)，選項B不正確；f(f(0))＝f(1)＝eq\f(1,2)，選項C正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,19)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,19)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log2\f(1,19))＝2eq\s\up12(log2\f(1,19))＝19，選項D正確．故選ACD.【填空題】13.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－1，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為________．【解析】由題圖可知，當(dāng)－1≤x<0時，f(x)＝x＋1；當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝－eq\f(1,2)x，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2.))答案：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2))14.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于________．【解析】因為f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依題知a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－315.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若對任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為“美麗函數(shù)”，下列所給出的幾個函數(shù)：①f(x)＝x2；②f(x)＝eq\f(1,x－1)；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sinx－1.其中是“美麗函數(shù)”的為________．(填序號)【解析】由已知，在函數(shù)定義域內(nèi)，對任意的x都存在著y，使x所對應(yīng)的函數(shù)值f(x)與y所對應(yīng)的函數(shù)值f(y)互為相反數(shù)，即f(y)＝－f(x)．故只有當(dāng)函數(shù)的值域關(guān)于原點對稱時才會滿足“美麗函數(shù)”的條件．①中函數(shù)的值域為[0，＋∞)，值域不關(guān)于原點對稱，故①不符合題意；②中函數(shù)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域關(guān)于原點對稱，故②符合題意；③中函數(shù)的值域為(－∞，＋∞)，值域關(guān)于原點對稱，故③符合題意；④中函數(shù)f(x)＝2sinx－1的值域為[－3，1]，不關(guān)于原點對稱，故④不符合題意．故本題正確答案為②③.答案：②③16.已知具有性質(zhì)：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱f(x)為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________．(填序號)【解析】對于①，f(x)＝x－eq\f(1,x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，滿足；對于②，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不滿足；對于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0<x<1，))故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，滿足．綜上，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.答案：①③【解答題】17.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,－x－2，x≤1，))求：(1)f(f(2))的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域．【解析】(1)因為f(2)＝eq\f(1,2)，所以f(f(2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).(2)當(dāng)x>1時，f(x)∈(0，1)，當(dāng)x≤1時，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞)．18.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)（x≥0），,x2（x<0），))求f[f(x)]≥1的解集．【解析】當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\f(x,2)≥0，所以f[f(x)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＝eq\f(x,4)≥1，解得x≥4；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2>0，所以f[f(x)]＝f(x2)＝eq\f(x2,2)≥1，解得x≥eq\r(2)(舍去)或x≤－eq\r(2).綜上，x≥4或x≤－eq\r(2).19.已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)畫出這個函數(shù)的圖象；(3)求f(x)的最大值.【解析】(1)∵eq\f(3,2)＞1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴f