《復(fù)變函數(shù)》教案 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 伊犁師范學院數(shù)學系

《復(fù)變函數(shù)》教案第三章復(fù)變函數(shù)的積分伊犁師范學院數(shù)學系PAGEPAGE3第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)教學課題：第一節(jié)復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)教學目的：1、理解關(guān)于復(fù)積分的定義；2、掌握復(fù)積分的計算方法、熟悉復(fù)積分的基本性質(zhì)；3、理解積分估值定理、注意復(fù)積分中值定理與實積分定理的區(qū)別；4、了解多值函數(shù)的積分的注意事項。教學重點：復(fù)積分的計算方法、熟悉復(fù)積分的基本性質(zhì)；教學難點：復(fù)積分中值定理與實積分定理的區(qū)別教學方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具。但復(fù)積分仍是作為一種和的極限來定義的，它的許多性質(zhì)與實積分既有相同的地方也有不同的地方，因此，學習時需要加以注意。教學過程：為了敘述上的方便，今后如無特別聲明，所提到的曲線均制光滑或逐段光滑曲線，逐段光滑的簡單閉曲線簡稱為圍線，其方向在第一章已經(jīng)作過規(guī)定，不是閉的曲線的方向，則只須指出它的起點和終點即可．1、復(fù)變函數(shù)的積分的定義：定義3.1設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接及Z兩點的簡單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續(xù)函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實部及虛部。把曲線C用分點分成n個更小的弧，在這里分點是在曲線C上按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點，那么和式，可以寫成或者在這里分別表示的實部與虛部。按照關(guān)于實變函數(shù)的線積分的結(jié)果，當曲線C上的分點的個數(shù)無窮增加，而且時，上面的四個式子分別有極限：這時，我們說原和式有極限這個極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為于是，我們有定理3.1若沿曲線C連續(xù)，則沿C可積，且說明：復(fù)積分的計算問題可以轉(zhuǎn)化為兩個二元實函數(shù)的曲線積分的計算問題．例3.1設(shè)表示連續(xù)點和的任一曲線，則(1)(2)證明：(1)因為所以故(2)，分別選取和，則得及由定理3.1可知積分存在，因而存在故所以特別地，當為圍線時，有，2、復(fù)變函數(shù)積分的計算問題設(shè)有光滑曲線C:,這就表示在上連續(xù)且有不為零的導(dǎo)數(shù).又設(shè)沿C連續(xù).今,由公式(3.1)我們有即 (3.2)或 (3.3)用公式(3.2)或(3.3) 計算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑C的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.(3.2)或(3.3)稱為復(fù)積分的變量代換公式.例3.2(重要的常用例子) 這里C表示以為心,為半徑的圓周.(注意;積分值與均無關(guān))證C的參數(shù)方程為:故當為整數(shù)且時,如果C是簡單光滑曲線：，并且，那么上式右邊的積分可以寫成黎曼積分的形式，例如其中第一個可以寫成，因此，我們有我們可以看到，把dz形式地換成微分，就直接得到上式，因此有，當是分段光滑簡單曲線時，我們?nèi)匀豢梢缘玫竭@些結(jié)論。用此公式計算復(fù)變函數(shù)的積分，是從積分路徑C的參數(shù)方程入手的，稱為參數(shù)方程法。3、復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)：設(shè)f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）（3），其中曲線C是有光滑的曲線連接而成；（4）其中如果曲線用方程：表示，那么曲線就由給出。即積分是在相反的方向上取的。如果C是一條簡單閉曲線，那么可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當沿C取積分的方向改變時，所得積分相應(yīng)變號。定理3、2（積分估值）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，證明：因為兩邊取極限即可得結(jié)論。設(shè)C是連接及Z兩點的簡單曲線，那么，如果是C閉曲線，即，那么積分都是零。例2、設(shè)C是圓，其中是一個復(fù)數(shù)，是一個正數(shù)，那么按反時針方向所取的積分。證明：令，于是，從而試證積分路徑C是連接i和2+i的直線。試證例3.3計算積分其中積分路徑（圖３.２）為：圖3.2(1)連接由點到點的直線段．(2)連接由點到的直線段及連接由到點的直線段所組成的折線．解：(1)連接及的直線段的參數(shù)方程為：故(2)連接與的直線段的參數(shù)方程為：連接與的直線段的參數(shù)方程為：.第二節(jié)初等解析函數(shù)教學課題：第二節(jié)初等解析函數(shù)教學目的：1、了解復(fù)正、余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；2、了解正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性；3、理解指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)；4、充分掌握整冪函數(shù)及有理函數(shù)的解析性；教學重點：指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)教學難點：正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性教學方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：這一節(jié)主要是討論初等單值函數(shù)的解析性，這可從他們的可微性來判定，他們是數(shù)學分析中相應(yīng)初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的自然推廣。教學過程：1、指數(shù)函數(shù)定義2.4對于任何復(fù)數(shù)我們用關(guān)系式來規(guī)定指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它有如下性質(zhì)：當（為實數(shù)）時，則即為通常的實指數(shù)函數(shù)．(2)（故），．(3)在平面上解析，且（例2.7）(4)加法定理成立，即(5)以為基本周期．因為對任意整數(shù)，．(6)不存在．因為當沿實軸趨于時，，當沿實軸趨于時，，當時就得到歐拉公式即是歐拉公式的推廣．2、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)：由于Euler公式，對任何實數(shù)x，我們有：，所以有因此，對任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：則對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù):4、；證明：，所以5、注解：由于負數(shù)可以開平方，所以由此不能得到，例如z=2i時，有6、cosz和sinz在整個復(fù)平面解析，并且有：證明：7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點：cosz在復(fù)平面的零點是，，sinz在復(fù)平面的零點是，。8、同理可以定義其他三角函數(shù)：雙曲函數(shù)規(guī)定并分別稱為z的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙區(qū)余切、雙曲正割及雙曲余割。這四個函數(shù)均在平面上除墳?zāi)篂榱愕狞c外解析，且．正切、余切的基本周期為，正割、余割的基本周期為．柯西積分定理教學課題：第二節(jié)柯西積分定理教學目的：1、充分掌握柯西積分定理以及其等價形式；2、理解柯西積分定理的推廣形式；3、理解復(fù)積分的不定積分與原函數(shù)概念并了解與實積分定理的區(qū)別；4、了解多連通區(qū)域內(nèi)的變上限積分。教學重點：柯西積分定理以及其等價形式；教學難點：柯西積分定理以及其等價形式教學方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具。但柯西積分定理是整個復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。教學過程：1、柯西積分定理：定理3.3設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)C是D內(nèi)的一個多角形的周界。那么,在這里沿C的積分是按反時針方向取的。證明：先對C是三角形周界的情形進行證明，然后證明一般情形。（1）C為三角形的周界設(shè)，下面證明M=0。等分給定的三角形的每一邊，兩兩連接這些分點，給定的三角形被分成四個全等的三角形，它們的周界分別是，我們顯然有：因此，沿周界的積分中，至少有一個的模不小于M/4。不妨假設(shè)這個周界為：對于這個三角形周界為，我們也把它等分成四個全等的三角形，其中一個的周界滿足：把這種作法一直進行下去，我們得到具有周界：一個三角形序列，其中每一個包含后一個，而且有下面的不等式：，用U表示周界的長度，于是周界的長度是?，F(xiàn)在估計的模。由于三角形序列中每一個每一個包含它后面的全部三角形，而且，因此由數(shù)學分析中的閉區(qū)域套定理，得存在著一點屬于序列中的所有三角形。又因為f(z)在有導(dǎo)數(shù)，所以，使得當時,于是當時，。顯然，當n充分大時，所確定的圓盤內(nèi)，因此當時，上式成立，且有，所以，其次，由于，我們有于是當n充分大時，因此，有即，由于的任意性，我們得到M=0。(2)C為一個多角形的周界P：如圖，用對角線把以P為周界的多角形分成若干個三角形，就可以把沿P的積分表示成沿這些三角形周界的積分之和：因此每條對角線上積分彼此相互抵消，再利用第一步的證明，有。設(shè)f(z)及F(z)是區(qū)域D內(nèi)確定的函數(shù)，F(xiàn)(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)，并且在D內(nèi)，有F’(z)=f(z)，那么函數(shù)F(z)稱為f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的一個不定積分或原函數(shù)；除去可能相差一個常數(shù)外，原函數(shù)是唯一確定的。即f(z)的任意兩個不定積分或原函數(shù)的差是一個常數(shù)。事實上，設(shè)F(z)及G(z)都是f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的原函數(shù)，則有其中，我們已經(jīng)證明，在D內(nèi)，有，因此，。凸區(qū)域：區(qū)域D是一個凸區(qū)域，如果連接D中任意兩點的線段也包含在D內(nèi)，即。定理3.1設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，設(shè)C是D內(nèi)任一條簡單閉曲線，那么,其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。推論3.5C是在D內(nèi)連接及z兩點的任一條簡單曲線，那么沿C從到z的積分值由及z所確定，而不依賴于曲線C，這時，積分記為.證明：先證明(1)成立。在C上任取一點，可以作出圓盤：,因為圓盤是凸區(qū)域，由引理2.2，f(z)在內(nèi)有原函數(shù)。由于C是一個緊集，由數(shù)學分析中的有限覆蓋定理，存在有限個圓盤覆蓋了C；把這些圓盤按反時針方向依次排列為并且用表示f(z)在這些圓盤中的原函數(shù)。取其中是C上依序按反時針方向取的。由引理2.3，有這里，用表示沿C從的弧上的積分，用表示從的線段上的積分。由引理2.3，有因為構(gòu)成中的一條閉合折線，所以由引理2.1，得；下面證明（2）成立。設(shè)是在D內(nèi)連接及z兩點的另一條簡單曲線。則是D內(nèi)的一條簡單閉曲線，由（1），有,而所以定理的結(jié)論成立。定理3.1設(shè)C是一條簡單閉曲線，函數(shù)f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域D上解析，那么。定理3.2設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，由定理3.1，得是在D內(nèi)確定得一個函數(shù)。取充分接近，把D中兩個積分看作沿兩條簡單曲線取的，而其中一條是另一條曲線與連接及z的線段的并集。于是有這里積分是沿及z的聯(lián)線取的，同樣可證，有。設(shè)D是不含a的一個單連通區(qū)域，并且，那么其中m是不等于1的整數(shù)。另外，還設(shè)D在復(fù)平面上沿從a出發(fā)的任何射線割開而得得區(qū)域內(nèi)，我們有其中對數(shù)應(yīng)理解為Ln(z-a)在D內(nèi)的一個解析分支在z及的值。注解1、我們可以用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分；注解2、區(qū)域的單連通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推廣到多連通區(qū)域：設(shè)有n+1條簡單閉曲線曲線中每一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)，而且所有這些曲線都在的內(nèi)區(qū)域，圍成一個有界多連通區(qū)域D，D及其邊界構(gòu)成一個閉區(qū)域。設(shè)f(z)在上解析，那么令C表示D的全部邊界，我們有其中積分是沿C按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。即沿按反時針方向，沿按順時針方向取積分；或者說當點沿著C按所選定取積分的方向一同運動時，區(qū)域D總在它的左側(cè)。因此也有：注解4、上面規(guī)定區(qū)域D的方向稱為正向，以后，我們總是規(guī)定取正向，除非另有說明；注解5、以上結(jié)論的證明見右圖：注解6、多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分與多值函數(shù)：設(shè)f(z)是多連通區(qū)域D的解析函數(shù)。在D內(nèi)作連接及z兩點的任一條簡單曲線。在某兩條這樣的曲線所包成的閉區(qū)域上，f(z)可能不解析，因此不能應(yīng)用柯西定理，所以f(z)沿這兩條曲線的積分可能不相等。假定這兩個積分不相等。那么函數(shù)：是多值的。可是z當屬于包含在D內(nèi)的某一單連通區(qū)域D’時，取曲線如下：從沿一個固定的簡單曲線到D’內(nèi)一點，然后從沿在D’內(nèi)一條簡單曲線到z。沿這種曲線取積分所得的函數(shù)F(z)在D’內(nèi)解析。改變從的曲線，我們能夠得到不同的解析函數(shù)；它們是F(z)在D’內(nèi)的不同解析分支。例2、在圓環(huán)內(nèi)，解析，在D內(nèi)取定兩點。作連接的兩條簡單曲線，如圖，取定Argz在的值為。當z沿從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到。于是當z沿從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到?，F(xiàn)在求沿的積分。令，則從而同樣求得這樣，在含的一個單連通區(qū)域（在D內(nèi)）內(nèi)，相應(yīng)，多值函數(shù)有兩個不同的解析分支相應(yīng)于連接的其它曲線，還可得到F(z)在D內(nèi)的其它解析分支，F(xiàn)(z)就是對數(shù)函數(shù)定理3.4設(shè)f(z)是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，任取，由區(qū)域D的凸性，有連接及z的線段一定包含在D中。令，記為。則F(z)是在D內(nèi)確定的一個函數(shù)。下面證明F是f在D內(nèi)的一個原函數(shù)。取，連接及z的線段一定包含在D中?？紤]頂點為的三角形，由定理3.3，得其中所以由于f(z)在連續(xù)，，使得于是，從而有。定理3.5設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在D內(nèi)有原函數(shù)F(z)。如果，并且C是D連接的一條曲線，那么注解1、此定理說明，如果某一個區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)有原函數(shù)，那么它沿這個區(qū)域內(nèi)曲線的積分可以用原函數(shù)來計算，這是數(shù)學分析中牛頓-萊布尼茨公式的推廣；注解2、這時，積分值只與曲線的起點、終點有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。證明：如果曲線是C光滑曲線，那么有，因為，并且因為微積分基本定理對實變量復(fù)值函數(shù)顯然成立，所以如果曲線是分段光滑的曲線，那么分段計算，也可以證明結(jié)論成立。第三節(jié)柯西積分公式及其推論教學課題：第三節(jié)柯西積分公式及其推論教學目的：1、充分掌握柯西積分公式以及其解析函數(shù)的平均值定理；2、了解柯西高階導(dǎo)數(shù)分公式；3、切實掌握解析函數(shù)的無窮可微性；4、理解柯西不等式、劉威爾定理及解析函數(shù)的一些等價刻畫。教學重點：柯西積分公式；教學難點：柯西不等式、劉威爾定理及解析函數(shù)的一些等價刻畫教學方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：柯西積分公式是解析函數(shù)的積分表達式，可以幫助我們詳細地去研究解析函數(shù)的局部性質(zhì)。柯西不等式是對解析函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)模的估計式。教學過程：1、柯西積分公式：定理3.11設(shè)f(z)在以圓為邊界的閉圓盤上連續(xù)，C的內(nèi)部D上解析，則有其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的，這就是柯西積分公式。它是解析函數(shù)的積分表達式，因而是今后我們研究解析函數(shù)的重要工具。證明：設(shè)，顯然函數(shù)在滿足的點處解析。以到z為心，作一個包含在D內(nèi)的圓盤，設(shè)其半徑為，邊界為圓。在上，挖去以為邊界的圓盤，余下的點集是一個閉區(qū)域。在上，的函數(shù)以及解析，所以有其中，沿曲線C的積分是按關(guān)于D的正向取的，沿的積分是按反時針方向取的。因此，結(jié)論成立。說明：f(z)沿C的積分為零?？紤]積分則有：（1）被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分I必然存在；（2）在上述閉圓盤上不解析，I的值不一定為0，例如；現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。作以為心，以為半徑的圓，由柯西定理，得因此，I的值只f(z)與在點附近的值有關(guān)。令，則有由于I的值只f(z)與在點附近的值有關(guān)，與無關(guān)，由f(z)在點的連續(xù)性，應(yīng)該有，即事實上，當趨近于0時，有由于由f(z)在點的連續(xù)性，所以，使得當時，，因此即當趨近于0時，上式右邊的有第二個積分趨近于0；而，因此，結(jié)論成立。注解1、對于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。注解2、柯西公式是解析函數(shù)的最基本的性質(zhì)之一，對于復(fù)變函數(shù)理論本身及其應(yīng)用都是非常重要的。注解3、柯西公式有非常明確的物理背景和物理意義。2、解析函數(shù)的無窮可微性定理3.12設(shè)D是以有限條簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),證明：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時成立。設(shè)是D內(nèi)另一點。只需證明，當h趨近于0時，下式也趨近于0現(xiàn)在估計上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當時，設(shè)|f(z)|在C上的一個上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當h趨近于0時，要證的積分趨于0?，F(xiàn)在用數(shù)學歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有由此證明，當h趨近于0時，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當n=k+1時成立。定理3.13設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。注解1、以上討論表明，函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的解析性是很強的條件，和僅僅在一個點可導(dǎo)是有非常大的差異；注解2、任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；3、柯西不等式與劉維爾定理柯西不等式設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中。證明：令是圓，那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。注解1、上面的不等式稱為柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個整函數(shù)，例如等。關(guān)于整函數(shù)，我們有下面的劉維爾定理：劉維爾定理有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)。證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在，使得。，f(z)在上解析。由柯西公式，有，令，可見，從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。4、莫勒拉定理：應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，稱為莫勒拉定理。定理3.14如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。證明：作以為心的圓盤。在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對于K內(nèi)任何一個三角形的周界C，則可以證明f(z)在K內(nèi)有原函數(shù)F(z)，即。于是F(z)在K內(nèi)解析。由系4.1，f(z)在K內(nèi)，在解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。又因為的任意性，結(jié)論成立。定理3.15f(z)f(z)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，對任意緯線C，只要C及其內(nèi)部全含于G內(nèi)，就有第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系教學課題：第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系教學目的：1、理解調(diào)和函數(shù)以及共軛調(diào)和函數(shù)的的定義；2、充分理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；3、切實掌握從已知解析函數(shù)的實部或虛部求出虛部或?qū)嵅康姆椒?。教學重點：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；教學難點：從已知解析函數(shù)的實部或虛部求出虛部或?qū)嵅康姆椒ń虒W方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：調(diào)和函數(shù)常出現(xiàn)在諸如流體力學、電學等實際問題中。由于調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的密切關(guān)系，自然會想到利用這種聯(lián)系，由解析函數(shù)的性質(zhì)去推出調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。教學過程：在前一節(jié),我們已經(jīng)證明了,在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)具有任何階的導(dǎo)數(shù)。因此，在區(qū)域D內(nèi)它的實部與虛部都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在我們來研究應(yīng)該如何選擇與才能使函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，則由C-R條件得因在D內(nèi)連續(xù)，它們必定相等，故在D內(nèi)有同理，在D內(nèi)有即及在D內(nèi)滿足拉普拉斯（Laplace）方程：這里是一種運算記號，稱為拉普拉斯算子。定理3.5 如果二元實函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程,則稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).調(diào)和函數(shù)常出現(xiàn)在諸如流體力學、電學、磁學等實際問題中.定義3.6 在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R條件的兩個調(diào)和函數(shù)中,稱為在區(qū)域D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù).由上面的討論,我們已經(jīng)證明了:定理3.18 若在區(qū)域D內(nèi)解析,則在區(qū)域D內(nèi)必為的共軛調(diào)和函數(shù).現(xiàn)在接著上面的討論.反過來,如果是任意選取的在區(qū)域D內(nèi)的兩個調(diào)和函數(shù),則在D內(nèi)就不一定解析. 要想在區(qū)域D內(nèi)解析,及還必須滿足C-R條件.即必須是的共軛調(diào)和函數(shù).由此,如已知一個解析函數(shù)的實部(或虛部)就可以求出它的虛部(或?qū)嵅浚?。假設(shè)是一個單連通區(qū)域，是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且即:在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由數(shù)學分析的定理，知道是全微分，命(3.21)則（3.22）,其中是內(nèi)的定點,是內(nèi)的動點，是一個任意常數(shù)，積分與路徑無關(guān)。將（3.22）式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得，這就是C.-R.條件.由定理3.15知在內(nèi)解析.故得定理3.19設(shè)是在單連通區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),則存在由（3.22）式所確定的函數(shù),使是內(nèi)的解析函數(shù).注(1)如單連通區(qū)域包含原點,則（3.22）式中的顯然可取成原點(0,0)；如非單連通區(qū)域，則積分（3.22）可能規(guī)定一個多值函數(shù).(2)公式（3.22）不必強記,可以先如下去推（3.21）：由，然后兩端積分之。(3)類似地，然后兩端積分，有思考題（1）“是的共軛調(diào)和函數(shù)”，其中是否可以交換順序？（2）如果是的共軛調(diào)和函數(shù)，那么的共軛調(diào)和函數(shù)是什么？例3.15驗證是平面上的調(diào)和函數(shù),并求以為實部的解析函數(shù),使合解因在平面上任一點,,故在平面上為調(diào)和函數(shù).法一故要合必故法二先由C.-R條件中的一個得故.再由C.-R條件中的另一個得故即因此(下同法一)驗證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以此為虛部的解析函數(shù).解:,,于是,故在右半平面內(nèi),是調(diào)和函數(shù).兩端對求導(dǎo)所以,從而(任意常數(shù)),故:它在右半平面內(nèi)單值解析.§5平面向量場——解析函數(shù)的應(yīng)用(一)說明：本節(jié)為選講內(nèi)容本節(jié)我們要計論平行于一個平面的定常向量場。這就是說：第一，這個向量場中的向量是于時間無關(guān)的；第二，這個向量場中的向量都平行于某一個平面，并且在垂直于的任何一條直線上所有的點處，這個場中的向量（就大小與方向來說）都是相等的。顯然，在所有的平行于的平面內(nèi)，這個向量場的情形都完全同樣。因此，這個向量場可以由位于平面內(nèi)的向量所構(gòu)成的一個平面向量場完全表示出來。這時，說到平面向量場的一個點，我們在心中便要記起在那個平行于平面的向量場中的一條無限直線，它通過所說的那個點而垂直于平面；說到內(nèi)的一條曲線，則是意味著一個以為基線的柱面；說到的一個區(qū)域，則是意味著以為底邊的一個柱體。我們把平面取作平面。于是向量場中每個向量便可以用復(fù)數(shù)來表示。由于解析函數(shù)的發(fā)展是與流體力學密切相聯(lián)系的，因此，在下面講平面向量場與解析函數(shù)的關(guān)系時，我們常采用流體力學中的術(shù)語。盡管所講的那些內(nèi)容，都是可以關(guān)系著各種不同物理特性的向量場的（如在第五章5所提到的平面電場）?，F(xiàn)在我們把江面上水的流動（例1.1）作些補充,并把問題深入一步,從中就可看出解析函數(shù)是怎樣應(yīng)用于流體力學的.我們不限于水的流動,廣泛一點說是流體的流動.假設(shè)流體是質(zhì)量均勻的,并且具有不可壓縮性,即是說密度不因流體所處的位置以及受到的壓力而改變.我們就假設(shè)密度為1.流體的形式是定常的(即與時間無關(guān))平面流動.所謂平面流動是指流體在垂直于某一固定平面的直線上各點均有相同的流動情況(圖3.16).流體層的厚度可以不考慮,或者認為是一個單位長.1.

流量與環(huán)量設(shè)流體在平面上某一區(qū)域內(nèi)流動,是在點處的流速,其中,分別為的水平及垂直分速并且假設(shè)它們都有是連續(xù)的.今考查流體在單位時間內(nèi)流過以為起點,為終點的有向曲線(圖3.17)一側(cè)的流量(實際上是流體層的質(zhì)量).為此取弧元,為其單位法向量,它指向曲線的右邊(順著到的方向看).顯然,在單位時間內(nèi)流過的流量為(是在上的投影),再乘上流體層的厚度以及流體的密度(取厚度為一個單位長,密度為1).因此