人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第4章 數(shù)列 章末測(cè)試卷B(含解析)

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[時(shí)間：120分鐘滿分：150分]

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．在數(shù)列2，9，23，44，72，…中，第6項(xiàng)是()

A．82B．107

C．100D．83

2．若在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2－1(n∈N*)，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()

A．－1B．1

C．0D．2

3．某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是()

A．33B．65

C．66D．129

4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝30，S4＝7，則a4＝()

A.B.

C.D.

5．設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍為()

A.B.

C.D.

6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20＝()

A．0B．－

C.D.

7．?dāng)?shù)列{an}滿足遞推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，則使得為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)λ＝()

A．2B．5

C．－D.

8．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝()

A．4B．4

C．1－D.－

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9．在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是()

A．q＝2

B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列

C．S8＝510

D．?dāng)?shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列

10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是()

A．a(chǎn)1＝22

B．d＝－2

C．當(dāng)n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值

D．當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為20

11．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論中，正確的有()

A．?dāng)?shù)列{Sn＋n}為等比數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1－1

C．?dāng)?shù)列{an＋1}為等比數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{2Sn}的前n項(xiàng)和為2n＋2－n2－n－4

12．將n2個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如下圖：

a11a12a13…a1n

a21a22a23…a2n

a31a32a33…a3n

…

an1an2an3…ann

該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，記這n2個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有()

A．m＝3B．a(chǎn)67＝17×37

C．a(chǎn)ij＝(3i－1)×3j－1D．S＝n(3n＋1)(3n－1)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)

13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________．

14．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝________．

15．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對(duì)任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________．

16．某房地產(chǎn)開發(fā)商在銷售一幢23層的商品樓之前按下列方法確定房?jī)r(jià)：由于首層與頂層均為復(fù)式結(jié)構(gòu)，因此首層價(jià)格為a1元/平方米，頂層由于景觀好價(jià)格為a2元/平方米，第2層價(jià)格為a元/平方米，從第3層開始每層在前1層價(jià)格上加價(jià)元/平方米，則該商品房各層的平均價(jià)格為________元/平方米．

四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．(10分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．

18．(12分)某城市環(huán)境噪聲平均值見下表：

年份2023202320232023

噪聲57.857.256.656.0

如果噪聲平均值依此規(guī)律逐年減少，那么從2023年起，至少經(jīng)過多少年，噪聲平均值將小于42dB

19．(12分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，3an＋1＝an＋2，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－1}為等比數(shù)列；

(2)若a1＋a2＋…＋an0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a3·a5＋2a4·a6＋a3·a9＝100，4是a4與a6的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝log2an，Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Sn.

1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5＝1，a9＝81，則a7＝()

A．9或－9B．9

C．27或－27D．－27

2．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)bn＝an＋2n，若數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列，則b1＋b2＋b3＝()

A．9B．21

C．42D．45

3．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若＋＝＋，＋＝＋，則a1·a5＝()

A．24B．8

C．8D．16

4．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，則＝()

A．4n－1B．4n－1

C．2n－1D．2n－1

5．已知數(shù)列{an}，若點(diǎn)(n，an)(n∈N*)在直線y－3＝k(x－6)上，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝________．

6．已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，則a36＝________．

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[時(shí)間：120分鐘滿分：150分]

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．在數(shù)列2，9，23，44，72，…中，第6項(xiàng)是()

A．82B．107

C．100D．83

答案B

解析∵9－2＝1×7，

23－9＝2×7，

44－23＝3×7，

72－44＝4×7，

設(shè)第6項(xiàng)為x時(shí)，x－72＝5×7＝35，

∴x＝107.

2．若在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2－1(n∈N*)，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()

A．－1B．1

C．0D．2

答案A

解析由遞推關(guān)系式得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.

3．某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是()

A．33B．65

C．66D．129

答案B

解析設(shè)開始的細(xì)胞數(shù)和每小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}．

則即＝2.

∴an－1＝1·2n－1，∴an＝2n－1＋1，∴a7＝65.

4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝30，S4＝7，則a4＝()

A.B.

C.D.

答案C

解析由題意可知

解得

故a4＝a1＋3d＝.

5．設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍為()

A.B.

C.D.

答案C

解析依題意得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即an＋1＝an·a1＝an，所以數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝1－，所以Sn∈.

6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20＝()

A．0B．－

C.D.

答案B

解析由a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，

得a2＝－，a3＝，a4＝0，…，由此可知數(shù)列{an}是周期變化的，周期為3，∴a20＝a2＝－.

7．?dāng)?shù)列{an}滿足遞推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，則使得為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)λ＝()

A．2B．5

C．－D.

答案C

解析a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝，則b1＝，b2＝，b3＝，∵b1＋b3＝2b2，∴λ＝－.

8．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝()

A．4B．4

C．1－D.－

答案A

解析∵an＝＝＝，

＝＝4.

∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)＝4.故選A.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9．在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是()

A．q＝2

B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列

C．S8＝510

D．?dāng)?shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列

答案ABC

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q為整數(shù)，

∴a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12，

∴a1＝2，q＝2，故A正確；

Sn＝＝2n＋1－2，

∴S8＝510，故C正確；

∴Sn＋2＝2n＋1，故數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，故B正確；

而lgan＝lg2n＝nlg2，故數(shù)列{lgan}是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選ABC.

10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是()

A．a(chǎn)1＝22

B．d＝－2

C．當(dāng)n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值

D．當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為20

答案BCD

解析由條件可知(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，6a1＋15d＝90，

解得a1＝20，d＝－2，所以an＝－2n＋22，

Sn＝－n2＋21n，則當(dāng)n＝10或11時(shí)，Sn取得最大值，當(dāng)Sn>0時(shí)，0＜n＜21，n最大為20，

所以B、C、D正確．

11．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論中，正確的有()

A．?dāng)?shù)列{Sn＋n}為等比數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1－1

C．?dāng)?shù)列{an＋1}為等比數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{2Sn}的前n項(xiàng)和為2n＋2－n2－n－4

答案AD

解析因?yàn)镾n＋1＝2Sn＋n－1，則＝＝2，又因?yàn)镾1＋1＝2，

所以數(shù)列{Sn＋n}為首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列，

所以Sn＋n＝2n，則Sn＝2n－n，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，

又因?yàn)閍1≠21－1－1，

所以A正確，B、C錯(cuò)誤；

因?yàn)?Sn＝2n＋1－2n，

所以{2Sn}的前n項(xiàng)和為2n＋2－n2－n－4，

所以D正確．故選AD.

12．將n2個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如下圖：

a11a12a13…a1n

a21a22a23…a2n

a31a32a33…a3n

…

an1an2an3…ann

該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，記這n2個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有()

A．m＝3B．a(chǎn)67＝17×37

C．a(chǎn)ij＝(3i－1)×3j－1D．S＝n(3n＋1)(3n－1)

答案ACD

解析由a11＝2，可知a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，又a13＝a61＋1，

所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)．故A正確；

因?yàn)閍ij＝ai1·3j－1＝[2＋3(i－1)]3j－1＝(3i－1)3j－1.

所以a67＝17×36，故C正確，B錯(cuò)誤；

S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)

＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)

＝＋＋…＋

＝(3n－1)(a11＋a21＋a31＋…＋an1)

＝(3n－1)·

＝n(3n＋1)(3n－1)．故D正確．故選ACD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)

13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________．

答案24

14．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝________．

答案＋1

解析∵a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，

∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，

an－2－an－3＝n－2，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，a1＝2.

將以上各式的兩邊分別相加，得

an＝[n＋(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋3＋2]＋2

＝＋1.

15．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對(duì)任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________．

答案11

解析由題意知a3＋a2－2a1＝0，設(shè)公比為q，則a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，則S5＝＝＝11.

16．某房地產(chǎn)開發(fā)商在銷售一幢23層的商品樓之前按下列方法確定房?jī)r(jià)：由于首層與頂層均為復(fù)式結(jié)構(gòu)，因此首層價(jià)格為a1元/平方米，頂層由于景觀好價(jià)格為a2元/平方米，第2層價(jià)格為a元/平方米，從第3層開始每層在前1層價(jià)格上加價(jià)元/平方米，則該商品房各層的平均價(jià)格為________元/平方米．

答案(a1＋a2＋23.1a)

解析設(shè)第2層到第22層的價(jià)格構(gòu)成數(shù)列{bn}，則{bn}是等差數(shù)列，b1＝a，公差d＝，共21項(xiàng)，所以其和為S21＝21a＋·＝23.1a，故平均價(jià)格為(a1＋a2＋23.1a)元/平方米．

四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．(10分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．

解析設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q.

由a3＋b3＝17，得1＋2d＋3q2＝17，①

由T3－S3＝12，得q2＋q－d＝4.②

由①②及q>0，解得q＝2，d＝2.

故所求的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，bn＝3×2n－1.

18．(12分)某城市環(huán)境噪聲平均值見下表：

年份2023202320232023

噪聲57.857.256.656.0

如果噪聲平均值依此規(guī)律逐年減少，那么從2023年起，至少經(jīng)過多少年，噪聲平均值將小于42dB

解析由表可知，噪聲平均值逐年減少0.6dB，即噪聲值構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1＝56.0，d＝－0.6.

∴an＝56＋(n－1)·(－0.6)＝－0.6n＋56.6.

由an24，

故至少經(jīng)過25年噪聲平均值將小于42dB.

19．(12分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，3an＋1＝an＋2，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－1}為等比數(shù)列；

(2)若a1＋a2＋…＋an0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a3·a5＋2a4·a6＋a3·a9＝100，4是a4與a6的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝log2an，Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Sn.

解析(1)∵a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，

∴a42＋2a4a6＋a62＝100，∴(a4＋a6)2＝100.

又an>0，∴a4＋a6＝10.

∵4是a4與a6的等比中項(xiàng)，∴a4a6＝16，

而q∈(0，1)，∴a4>a6，∴a4＝8，a6＝2，

∴q＝，a1＝64，∴an＝64·＝27－n.

(2)∵bn＝log2an＝7－n，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn＝，

∴當(dāng)1≤n≤7時(shí)，bn≥0，∴Sn＝.

當(dāng)n≥8時(shí)，bn<0，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)

＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)

＝－＋2×＝.

∴Sn＝

1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5＝1，a9＝81，則a7＝()

A．9或－9B．9

C．27或－27D．－27

答案B

解析∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a5＝1，a9＝81，

∴a72＝a5a9＝1×81＝81，∴a7＝±9.

當(dāng)a7＝－9時(shí)，a62＝a5a7＝1×(－9)＝－9不成立，舍去．

∴a7＝9.故選B.

2．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)bn＝an＋2n，若數(shù)列{bn}也是等比