第五章剛體的運動課件

5-1剛體的基本運動一、剛體在任何情況下物體的形狀和大小都不會變化，因而可以瞬時傳遞力。即：質(zhì)元間保持不變的質(zhì)點系，稱“不變質(zhì)點系”

。剛體是個理想化的模型。CAB

Ftt

+

t才感受到力5-1剛體的基本運動一、剛體在任何情況下物體的形狀和大小都1二、剛體的運動形式*剛體上所有質(zhì)元都沿平行路徑運動,各個時刻的相對位置都彼此固定。1.平動*可用質(zhì)心或任一點的運動來代表剛體的運動。*平動是剛體的基本運動形式之一。ABCABCABC二、剛體的運動形式*剛體上所有質(zhì)元都沿平行路徑運動,各個時22.轉(zhuǎn)動*轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一，可分為定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動。①定軸轉(zhuǎn)動：運動中各質(zhì)元均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。②定點轉(zhuǎn)動：運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。2.轉(zhuǎn)動*轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一，可分為定軸轉(zhuǎn)動和定33.一般運動可分解為兩種剛體的基本運動：隨基點O（可任選）的平動；繞通過基點O的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動。3.一般運動可分解為兩種剛體的基本運動：隨基點O（可任選）的41.剛體上所有質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運動；三、定軸轉(zhuǎn)動的剛體特點2.各圓周軌道均垂直與轉(zhuǎn)軸，稱：轉(zhuǎn)動平面；圓心即為轉(zhuǎn)心。3.各質(zhì)元作圓周運動的線量各不相同，角量相同。1.剛體上所有質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運動；三、定軸轉(zhuǎn)動的剛5四、角速度矢量方向：沿瞬時軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。2.線速度與角速度的關(guān)系：1.角速度矢量的規(guī)定：大小轉(zhuǎn)向v

ωrrP×

基點O瞬時軸剛體四、角速度矢量方向：沿瞬時軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。2.線速度65-2力矩轉(zhuǎn)動定律一、力矩FM

r·Om

r0

r·O

1.力對定點O的力矩2.力偶矩其中：稱力臂或：5-2力矩轉(zhuǎn)動定律一、力矩FMr·Omr0r·O7二、轉(zhuǎn)動定律對質(zhì)元i對剛體（質(zhì)點系）：令：--剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程二、轉(zhuǎn)動定律對質(zhì)元i對剛體（質(zhì)點系）：令：--剛體定軸轉(zhuǎn)動的8三、轉(zhuǎn)動慣量1.剛體對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量若質(zhì)量離散分布:若質(zhì)量連續(xù)分布:

*轉(zhuǎn)動慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即:與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度。

y

rix

z

yi

xi

mi

三、轉(zhuǎn)動慣量1.剛體對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量若質(zhì)量離散分布:若質(zhì)量連9②平行軸定理：

y

rix

z

mi

dC例1：質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RO解：

dm②平行軸定理：yrixzmidC例1：質(zhì)量為m、半10例題求:長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)例題求:長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的11

例題：質(zhì)量為m，半徑為R，厚度為h，均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取高度為h，半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)；圓盤的質(zhì)量體密度為Rrdr例題：質(zhì)量為m，半徑為R，厚度為h，均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸12求:內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，厚度為h，質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量r求:內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，厚度為h，質(zhì)量為m的勻質(zhì)13求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量解:14求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量解:把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合

求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量解:把15*剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用：基本方法和步驟：3.根據(jù)初始條件解方程，求未知量。1.分析物體受力，確定外力矩；2.利用轉(zhuǎn)動定律寫出運動微分方程；*剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用：基本方法和步驟：3.根據(jù)初16例1.如圖,細桿長l,質(zhì)量m,靜止在豎直位置，求轉(zhuǎn)到

角時的角加速度和角速度.MG=(mglsinθ)/2由轉(zhuǎn)動定律θpNO

=Iβ=(ml2/3)β

β=3gsinθ/(2l)β=dω/dt=(dω/dθ)(dθ/dt)=ωdω/dθωdω=βdθωdω=[3gsinθ/(2l)]dθω=[3g(1–cosθ)/l]1/2=[3gsinθ/(2l)]dθ解:細桿受力如圖,N

對轉(zhuǎn)軸O的力矩為零.例1.如圖,細桿長l,質(zhì)量m,靜止在豎直位置，求轉(zhuǎn)到17例題一根輕繩跨過一個半徑為r，質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的物體

，如圖所示。假設(shè)繩不能伸長，并忽略軸的摩擦，繩與滑輪也無相對滑動。求：定滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩的張力。m2m1M例題一根輕繩跨過一個半徑為r，質(zhì)量為M的定滑輪，18m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分別對物體和滑輪進行受力分析，如圖對m2對定滑輪對m1且有m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分別對物體和滑19聯(lián)立方程，可得聯(lián)立方程，可得20剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律滑輪剛體相關(guān)問題的求解步驟：4.求解聯(lián)立方程。1.分析物體受力，確定外力矩；2.列出轉(zhuǎn)動定律和牛頓定律方程；3.列出線量和角量之間的關(guān)系式；剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律滑輪剛體相關(guān)問題的求解步驟：4.求解聯(lián)21例題

圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB

，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc，半徑為R，不計桌面和輪軸摩擦力。求：⑴兩物體的加速度和繩的張力；⑵物體B從靜止落下距離y時，其速率為多少？例題圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB，圓柱形滑輪22解：分別對物體和滑輪進行受力分析，如圖物體A物體

B對定滑輪C又解：分別對物體和滑輪進行受力分析，如圖物體A物體 B對定滑輪23聯(lián)立方程，可得聯(lián)立方程，可得24習(xí)題：如圖,組合輪由半徑各為R1,R2,質(zhì)量各為M1,M2,的二均勻圓盤同軸固結(jié)而成,可繞水平固定軸自由轉(zhuǎn)動.今在兩盤上各繞細繩,繩兩端各掛質(zhì)量m1,m2二物體.m1m2求重力使m2下落時輪的角加速度.習(xí)題：如圖,組合輪由半徑各為R1,R2,質(zhì)量各為M1,M2,25

m1,

m2及定滑輪切向受力如圖,以運動方向為坐標(biāo)正向.

m2g–T2=m2a2T1–m1g=m1a1T2R2–T1R1=Jββ=a1/R1=a2/R2J=M1R12/2+M2R22/2解:解得β=2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R222(m2R2–m1R1)gm1m2T1m1gT2m2gT2T1m1,m2及定滑輪切向受力如圖,263-5剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點系。3-5剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能把剛體看27二、力矩的功

設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動中，剛體質(zhì)元i在切向力的作用下，繞軸轉(zhuǎn)過即對整個剛體：二、力矩的功設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動中，剛體質(zhì)元i在切向力的作28三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：*合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體做的功等于該剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：*合外力矩29例題

圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB

，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc，半徑為R，不計桌面和輪軸摩擦力。求：⑴兩物體的加速度和繩的張力；⑵物體B從靜止落下距離y時，其速率為多少？聯(lián)立解運動微分方程，可得a例題圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB，圓柱形滑輪30解:根據(jù)機械能守恒，可得可直接求出解:根據(jù)機械能守恒，可得可直接求出311.質(zhì)點m對慣性系中的固定點O的角動量為：一、角動量（動量矩）5-4角動量角動量守恒定律

LmO

pr

·大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）1.質(zhì)點m對慣性系中的固定點O的角動量為：一、角動量（動量32LRv

m·O

*質(zhì)點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量的大小為方向圓平面不變。

*同一質(zhì)點的同一運動，如果選取的固定點不同，其角動量也會不同。方向變化方向豎直向上，不變OlO

錐擺mLRvm·O*質(zhì)點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量的大332.剛體對固定轉(zhuǎn)動的角動量：對質(zhì)元i對剛體（質(zhì)點系）

·pro轉(zhuǎn)動平面2.剛體對固定轉(zhuǎn)動的角動量：對質(zhì)元i對剛體（質(zhì)點系）·p34二、質(zhì)點角動量定理和角動量守恒定律上式兩邊對時間求導(dǎo)：1.質(zhì)點角動量定理:二、質(zhì)點角動量定理和角動量守恒定律上式兩邊對時間求導(dǎo)：1.質(zhì)35①微分形式：或：其中：稱沖量矩—力矩對時間的積累作用②積分形式：①微分形式：或：其中：稱沖量矩—力36例題

錐擺的角動量①對O點：合力矩不為零，角動量變化。②對O

點：合力矩為零，角動量大小、方向都不變。OlO

錐擺m例題錐擺的角動量①對O點：合力矩不為零，角動量變化。②對O37例題如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下滑，不計摩擦，求小球滑到任意點B（與A夾角為）時對環(huán)心的角動量和角速度。OABR例題如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下38mgTv解：小球受力如圖，對環(huán)心OOABR由質(zhì)點的角動量定理其中和的方向相同。兩邊乘mgTv解：小球受力如圖，對環(huán)心OOABR由質(zhì)點的角動量定理39第五章剛體的運動課件402.質(zhì)點的角動量守恒定律

角動量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。2.質(zhì)點的角動量守恒定律角動量守恒定律是物理學(xué)的基本41例：（行星運動的開普勒第二定律）在太陽系中任一行星對太陽的位矢在相等的時間間隔內(nèi)掃過的面積相等，即掠面速度不變。rLv

S

m解：天體受萬有引力作用，對力心角動量守恒。常量例：（行星運動的開普勒第二定律）在太陽系中任一行星對太陽的位42三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量和角動量守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理對質(zhì)點i整個剛體剛體viω,

定軸

zmiΔriFi三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量和角動量守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角43由于：--剛體的角動量定理①微分形式：②積分形式：由于：--剛體的角動量定理①微分形式：②積分形式：44即：2.剛體的角動量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角動量都是對同一轉(zhuǎn)軸而言的。即：2.剛體的角動量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、轉(zhuǎn)動慣45例題一長為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。求：碰撞后桿的角速度ω。lm1O

v0m2

例題一長為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1,另一小球46碰撞時重力和軸的作用力都通過O，對O力矩為零，故角動量守恒。則解：選m1（含桿）+m2為系統(tǒng)解得：lm1O

v0m2

碰撞時重力和軸的作用力都通過O，對O力矩為零，故角動量守恒。47

A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為：。已知A圓盤半徑RA=0.2m,質(zhì)量mA=2kg,B圓盤的半徑RB=0.1m,質(zhì)量mB=4kg。試求兩圓盤對心銜接后的角速度例題A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為：48解：以兩圓盤為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動量守恒解：以兩圓盤為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動量守恒49MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動,開始時靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺上作半徑r(r<R)的圓運動,求汽車相對轉(zhuǎn)臺走一周時,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度.小車與轉(zhuǎn)盤受重力與軸的支撐力都平行轉(zhuǎn)軸,力矩在軸方向上無分量,故小車與轉(zhuǎn)盤系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸角動量守恒.用角標(biāo)0,1,2分別表示地,轉(zhuǎn)盤和小車,設(shè)u=v21,有解:ω20=ω21+ω10mv20r+Jω10=0mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺可繞中心軸自由50MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動,開始時靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺上作半徑r(r<R)的圓運動,求汽車相對轉(zhuǎn)臺走一周時,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度.解:mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0

mr2ω21+(mr2+MR2/2)ω10=0

mru+(mr2+MR2/2)ω10=0ω10=–mru/(mr2+MR2/2)θ=[–mru/(mr2+MR2/2)]dtMmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺可繞中心軸自由51MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動,開始時靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺上作半徑r(r<R)的圓運動,求汽