第五章剛體的運(yùn)動(dòng)課件

5-1剛體的基本運(yùn)動(dòng)一、剛體在任何情況下物體的形狀和大小都不會(huì)變化，因而可以瞬時(shí)傳遞力。即：質(zhì)元間保持不變的質(zhì)點(diǎn)系，稱(chēng)“不變質(zhì)點(diǎn)系”

。剛體是個(gè)理想化的模型。CAB

Ftt

+

t才感受到力5-1剛體的基本運(yùn)動(dòng)一、剛體在任何情況下物體的形狀和大小都1二、剛體的運(yùn)動(dòng)形式*剛體上所有質(zhì)元都沿平行路徑運(yùn)動(dòng),各個(gè)時(shí)刻的相對(duì)位置都彼此固定。1.平動(dòng)*可用質(zhì)心或任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表剛體的運(yùn)動(dòng)。*平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。ABCABCABC二、剛體的運(yùn)動(dòng)形式*剛體上所有質(zhì)元都沿平行路徑運(yùn)動(dòng),各個(gè)時(shí)22.轉(zhuǎn)動(dòng)*轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。①定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。②定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體繞過(guò)該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。2.轉(zhuǎn)動(dòng)*轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定33.一般運(yùn)動(dòng)可分解為兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)；繞通過(guò)基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。3.一般運(yùn)動(dòng)可分解為兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：隨基點(diǎn)O（可任選）的41.剛體上所有質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運(yùn)動(dòng)；三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體特點(diǎn)2.各圓周軌道均垂直與轉(zhuǎn)軸，稱(chēng)：轉(zhuǎn)動(dòng)平面；圓心即為轉(zhuǎn)心。3.各質(zhì)元作圓周運(yùn)動(dòng)的線量各不相同，角量相同。1.剛體上所有質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運(yùn)動(dòng)；三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛5四、角速度矢量方向：沿瞬時(shí)軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。2.線速度與角速度的關(guān)系：1.角速度矢量的規(guī)定：大小轉(zhuǎn)向v

ωrrP×

基點(diǎn)O瞬時(shí)軸剛體四、角速度矢量方向：沿瞬時(shí)軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。2.線速度65-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩FM

r·Om

r0

r·O

1.力對(duì)定點(diǎn)O的力矩2.力偶矩其中：稱(chēng)力臂或：5-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩FMr·Omr0r·O7二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)質(zhì)元i對(duì)剛體（質(zhì)點(diǎn)系）：令：--剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)質(zhì)元i對(duì)剛體（質(zhì)點(diǎn)系）：令：--剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的8三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.剛體對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若質(zhì)量離散分布:若質(zhì)量連續(xù)分布:

*轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H取決于剛體本身的性質(zhì)，即:與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。

y

rix

z

yi

xi

mi

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.剛體對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若質(zhì)量離散分布:若質(zhì)量連9②平行軸定理：

y

rix

z

mi

dC例1：質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。RO解：

dm②平行軸定理：yrixzmidC例1：質(zhì)量為m、半10例題求:長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)例題求:長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的11

例題：質(zhì)量為m，半徑為R，厚度為h，均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心。解：取高度為h，半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)；圓盤(pán)的質(zhì)量體密度為Rrdr例題：質(zhì)量為m，半徑為R，厚度為h，均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸12求:內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，厚度為h，質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量r求:內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，厚度為h，質(zhì)量為m的勻質(zhì)13求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:14求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:把球體看作無(wú)數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合

求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:把15*剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用：基本方法和步驟：3.根據(jù)初始條件解方程，求未知量。1.分析物體受力，確定外力矩；2.利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程；*剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用：基本方法和步驟：3.根據(jù)初16例1.如圖,細(xì)桿長(zhǎng)l,質(zhì)量m,靜止在豎直位置，求轉(zhuǎn)到

角時(shí)的角加速度和角速度.MG=(mglsinθ)/2由轉(zhuǎn)動(dòng)定律θpNO

=Iβ=(ml2/3)β

β=3gsinθ/(2l)β=dω/dt=(dω/dθ)(dθ/dt)=ωdω/dθωdω=βdθωdω=[3gsinθ/(2l)]dθω=[3g(1–cosθ)/l]1/2=[3gsinθ/(2l)]dθ解:細(xì)桿受力如圖,N

對(duì)轉(zhuǎn)軸O的力矩為零.例1.如圖,細(xì)桿長(zhǎng)l,質(zhì)量m,靜止在豎直位置，求轉(zhuǎn)到17例題一根輕繩跨過(guò)一個(gè)半徑為r，質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的物體

，如圖所示。假設(shè)繩不能伸長(zhǎng)，并忽略軸的摩擦，繩與滑輪也無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求：定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。m2m1M例題一根輕繩跨過(guò)一個(gè)半徑為r，質(zhì)量為M的定滑輪，18m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分別對(duì)物體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖對(duì)m2對(duì)定滑輪對(duì)m1且有m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分別對(duì)物體和滑19聯(lián)立方程，可得聯(lián)立方程，可得20剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律滑輪剛體相關(guān)問(wèn)題的求解步驟：4.求解聯(lián)立方程。1.分析物體受力，確定外力矩；2.列出轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓定律方程；3.列出線量和角量之間的關(guān)系式；剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律滑輪剛體相關(guān)問(wèn)題的求解步驟：4.求解聯(lián)21例題

圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB

，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc，半徑為R，不計(jì)桌面和輪軸摩擦力。求：⑴兩物體的加速度和繩的張力；⑵物體B從靜止落下距離y時(shí)，其速率為多少？例題圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB，圓柱形滑輪22解：分別對(duì)物體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖物體A物體

B對(duì)定滑輪C又解：分別對(duì)物體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖物體A物體 B對(duì)定滑輪23聯(lián)立方程，可得聯(lián)立方程，可得24習(xí)題：如圖,組合輪由半徑各為R1,R2,質(zhì)量各為M1,M2,的二均勻圓盤(pán)同軸固結(jié)而成,可繞水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).今在兩盤(pán)上各繞細(xì)繩,繩兩端各掛質(zhì)量m1,m2二物體.m1m2求重力使m2下落時(shí)輪的角加速度.習(xí)題：如圖,組合輪由半徑各為R1,R2,質(zhì)量各為M1,M2,25

m1,

m2及定滑輪切向受力如圖,以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)正向.

m2g–T2=m2a2T1–m1g=m1a1T2R2–T1R1=Jββ=a1/R1=a2/R2J=M1R12/2+M2R22/2解:解得β=2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R222(m2R2–m1R1)gm1m2T1m1gT2m2gT2T1m1,m2及定滑輪切向受力如圖,263-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能把剛體看作無(wú)限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。3-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能把剛體看27二、力矩的功

設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體質(zhì)元i在切向力的作用下，繞軸轉(zhuǎn)過(guò)即對(duì)整個(gè)剛體：二、力矩的功設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體質(zhì)元i在切向力的作28三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：*合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體做的功等于該剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：*合外力矩29例題

圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB

，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc，半徑為R，不計(jì)桌面和輪軸摩擦力。求：⑴兩物體的加速度和繩的張力；⑵物體B從靜止落下距離y時(shí)，其速率為多少？聯(lián)立解運(yùn)動(dòng)微分方程，可得a例題圖示物體質(zhì)量分別為mA和mB，圓柱形滑輪30解:根據(jù)機(jī)械能守恒，可得可直接求出解:根據(jù)機(jī)械能守恒，可得可直接求出311.質(zhì)點(diǎn)m對(duì)慣性系中的固定點(diǎn)O的角動(dòng)量為：一、角動(dòng)量（動(dòng)量矩）5-4角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

LmO

pr

·大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）1.質(zhì)點(diǎn)m對(duì)慣性系中的固定點(diǎn)O的角動(dòng)量為：一、角動(dòng)量（動(dòng)量32LRv

m·O

*質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量的大小為方向圓平面不變。

*同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，如果選取的固定點(diǎn)不同，其角動(dòng)量也會(huì)不同。方向變化方向豎直向上，不變OlO

錐擺mLRvm·O*質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量的大332.剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：對(duì)質(zhì)元i對(duì)剛體（質(zhì)點(diǎn)系）

·pro轉(zhuǎn)動(dòng)平面2.剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：對(duì)質(zhì)元i對(duì)剛體（質(zhì)點(diǎn)系）·p34二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：1.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理:二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：1.質(zhì)35①微分形式：或：其中：稱(chēng)沖量矩—力矩對(duì)時(shí)間的積累作用②積分形式：①微分形式：或：其中：稱(chēng)沖量矩—力36例題

錐擺的角動(dòng)量①對(duì)O點(diǎn)：合力矩不為零，角動(dòng)量變化。②對(duì)O

點(diǎn)：合力矩為零，角動(dòng)量大小、方向都不變。OlO

錐擺m例題錐擺的角動(dòng)量①對(duì)O點(diǎn)：合力矩不為零，角動(dòng)量變化。②對(duì)O37例題如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下滑，不計(jì)摩擦，求小球滑到任意點(diǎn)B（與A夾角為）時(shí)對(duì)環(huán)心的角動(dòng)量和角速度。OABR例題如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下38mgTv解：小球受力如圖，對(duì)環(huán)心OOABR由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理其中和的方向相同。兩邊乘mgTv解：小球受力如圖，對(duì)環(huán)心OOABR由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理39第五章剛體的運(yùn)動(dòng)課件402.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。2.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本41例：（行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律）在太陽(yáng)系中任一行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等，即掠面速度不變。rLv

S

m解：天體受萬(wàn)有引力作用，對(duì)力心角動(dòng)量守恒。常量例：（行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律）在太陽(yáng)系中任一行星對(duì)太陽(yáng)的位42三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理對(duì)質(zhì)點(diǎn)i整個(gè)剛體剛體viω,

定軸

zmiΔriFi三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角43由于：--剛體的角動(dòng)量定理①微分形式：②積分形式：由于：--剛體的角動(dòng)量定理①微分形式：②積分形式：44即：2.剛體的角動(dòng)量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量都是對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言的。即：2.剛體的角動(dòng)量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣45例題一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。求：碰撞后桿的角速度ω。lm1O

v0m2

例題一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1,另一小球46碰撞時(shí)重力和軸的作用力都通過(guò)O，對(duì)O力矩為零，故角動(dòng)量守恒。則解：選m1（含桿）+m2為系統(tǒng)解得：lm1O

v0m2

碰撞時(shí)重力和軸的作用力都通過(guò)O，對(duì)O力矩為零，故角動(dòng)量守恒。47

A、B兩圓盤(pán)繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為：。已知A圓盤(pán)半徑RA=0.2m,質(zhì)量mA=2kg,B圓盤(pán)的半徑RB=0.1m,質(zhì)量mB=4kg。試求兩圓盤(pán)對(duì)心銜接后的角速度例題A、B兩圓盤(pán)繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為：48解：以?xún)蓤A盤(pán)為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒解：以?xún)蓤A盤(pán)為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒49MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車(chē)靜止開(kāi)始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(r<R)的圓運(yùn)動(dòng),求汽車(chē)相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)走一周時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度.小車(chē)與轉(zhuǎn)盤(pán)受重力與軸的支撐力都平行轉(zhuǎn)軸,力矩在軸方向上無(wú)分量,故小車(chē)與轉(zhuǎn)盤(pán)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒.用角標(biāo)0,1,2分別表示地,轉(zhuǎn)盤(pán)和小車(chē),設(shè)u=v21,有解:ω20=ω21+ω10mv20r+Jω10=0mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由50MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車(chē)靜止開(kāi)始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(r<R)的圓運(yùn)動(dòng),求汽車(chē)相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)走一周時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度.解:mr2(ω21+ω10)+(1/2)MR2ω10=0

mr2ω21+(mr2+MR2/2)ω10=0

mru+(mr2+MR2/2)ω10=0ω10=–mru/(mr2+MR2/2)θ=[–mru/(mr2+MR2/2)]dtMmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由51MmRr例題.半徑R,質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車(chē)靜止開(kāi)始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(r<R)的圓運(yùn)動(dòng),求汽