理論力學(xué)期末復(fù)習(xí)公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省課獲獎(jiǎng)?wù)n件

理論力學(xué)期末復(fù)習(xí)肖詩麒2023.1.4第1頁知識(shí)框架牛頓力學(xué)↓←達(dá)朗貝爾原理+約束與廣義坐標(biāo)概念（位形空間）↓←哈密頓變分原理←引入數(shù)學(xué)：變分法拉格朗日力學(xué)→應(yīng)用：中心力場，振動(dòng)，電磁場，連續(xù)介質(zhì)，剛體↓→延伸：諾特定理，對(duì)稱和守恒↓←勒讓德變換，相空間↓←修正哈密頓原理哈密頓力學(xué)→泊松括號(hào)，正則變換，勞斯函數(shù)，哈密頓雅可比辦法↓典型力學(xué)延伸：劉維爾定理，位力定理，定態(tài)薛定諤方程第2頁說明本PPT分為4個(gè)部分，即第一部分：拉格朗日力學(xué)回憶第二部分：哈密頓力學(xué)第三部分：剛體專項(xiàng)第四部分：有關(guān)應(yīng)考第3頁第一部分：拉格朗日力學(xué)回憶主要知識(shí)點(diǎn)與基本辦法：1.變分原理與變分法2.拉格朗日函數(shù)，拉格朗日方程，拉格朗日力學(xué)3.廣義動(dòng)量，尤其是循環(huán)坐標(biāo)→廣義動(dòng)量守恒4.對(duì)稱性與守恒律（只要求動(dòng)量，能量和角動(dòng)量）主要應(yīng)用：5.中心力場；6.振動(dòng)；7.電磁場8.剛體（非常主要！因此第三部分專門講這一點(diǎn)）注明：達(dá)朗貝爾原理期末不做要求，連續(xù)介質(zhì)不考，廣義相對(duì)論絕對(duì)不考！第4頁1.變分原理與變分法

第5頁

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第8頁2.拉格朗日函數(shù)，拉格朗日方程，拉格朗日力學(xué)

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第10頁3.廣義動(dòng)量與循環(huán)坐標(biāo)

第11頁4.對(duì)稱與守恒（1）運(yùn)動(dòng)積分概念：求解拉格朗日方程需要引入積分常數(shù)，也叫初次積分，第一積分（2）需要掌握是能量守恒，動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒（3）諾特定理理解即可，不需要掌握第12頁時(shí)間平移不變性和能量守恒：第13頁空間平移不變性和動(dòng)量守恒：第14頁第15頁空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性和角動(dòng)量守恒：第16頁因此，拉格朗日力學(xué)解體步驟能夠改善：（1）確定自由度和廣義坐標(biāo)（2）寫出拉格朗日函數(shù)（3）找出守恒量以減少需要求解自由度（4）寫出拉格朗日方程并化簡（5）在數(shù)學(xué)上解方程第17頁5.中心力場（2維問題）

第18頁

第19頁6.振動(dòng)

第20頁

第21頁7.電磁場

第22頁第二部分：哈密頓力學(xué)主要知識(shí)點(diǎn)和基本辦法：1.勒讓德變換和哈密頓函數(shù)（注意！哈密頓函數(shù)自變量和拉格朗日函數(shù)不一樣?。?.修正哈密頓變分原理，正則方程3.勞斯函數(shù)，理解其即有“拉格朗日”部分也有“哈密頓”部分4.正則變換，要求掌握判斷xx變換是不是正則變換和求生成函數(shù)5.泊松括號(hào)，要求掌握基本性質(zhì)，算法和物理意義6.哈密頓雅可比辦法注明：勒讓德變換僅僅要求會(huì)用，典型力學(xué)延伸不考！第23頁1.勒讓德變換和哈密頓函數(shù)

第24頁2.正則方程和修正變分原理根據(jù)哈密頓量定義和拉格朗日方程推導(dǎo)正則方程利用拉格朗日方程：比較系數(shù)能夠得到正則方程：以及第25頁修正哈密頓變分原理：δS=0使用分部積分：因此：使用哈密頓函數(shù)定義能夠驗(yàn)證正則方程和拉格朗日方程等價(jià)第26頁哈密頓力學(xué)解題一般步驟：（1）寫出拉格朗日函數(shù)，這一步在拉格朗日力學(xué)中已經(jīng)講過（2）寫出廣義動(dòng)量，做勒讓德變換（3）變化自變量得到哈密頓函數(shù)（4）寫出正則方程，并將其化簡（5）數(shù)學(xué)上解正則方程第27頁3.循環(huán)坐標(biāo)和勞斯函數(shù)法

第28頁勞斯函數(shù)法解題一般步驟：（1）寫出拉格朗日函數(shù)，這一步在拉格朗日力學(xué)中已經(jīng)講過（2）找到循環(huán)坐標(biāo)，寫出守恒廣義動(dòng)量（3）對(duì)循環(huán)坐標(biāo)部分做勒讓德變換（3）變化自變量得到勞斯函數(shù)，且將守恒廣義動(dòng)量代入化簡（4）對(duì)非循環(huán)坐標(biāo)寫出拉格朗日方程，并將其化簡（5）數(shù)學(xué)上解正則方程第29頁4.正則變換

第30頁四類生成函數(shù)（也叫母函數(shù)）：根據(jù)偏微分關(guān)系能夠通過生成函數(shù)求出廣義動(dòng)量或坐標(biāo)，以第一類生成函數(shù)為例：第二，三，四類生成函數(shù)同理第31頁5.泊松括號(hào)定義：基本性質(zhì)：第32頁

第33頁6.哈密頓雅可比辦法

第34頁第三部分：剛體專項(xiàng)本章是重點(diǎn)！基本知識(shí)點(diǎn)和基本辦法：1.剛體定義：剛體中任意兩點(diǎn)距離保持不變，自由剛體自由度為6。包括平動(dòng)（同質(zhì)點(diǎn)，自由度3），定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（自由度1），定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（自由度3），平面平行運(yùn)動(dòng)（2平動(dòng)自由度，1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度），一般運(yùn)動(dòng)（自由度6），要求理解，因此僅在此介紹2.剛體上某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述：旋轉(zhuǎn)中心速度和旋轉(zhuǎn)速度疊加3.歐拉角定義與轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)4.慣量張量和慣量主軸，剛體動(dòng)能和角動(dòng)量5.歐拉動(dòng)力學(xué)方程6.幾個(gè)典型剛體：歐拉陀螺，尤其是對(duì)稱歐拉陀螺；拉格朗日陀螺注明：只對(duì)幾個(gè)簡單有解析解情形做要求第35頁3.歐拉角和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)

第36頁

第37頁4.慣量張量，剛體動(dòng)能和角動(dòng)量

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第39頁5.歐拉剛體動(dòng)力學(xué)方程

第40頁剛體動(dòng)力學(xué)問題一般解題步驟：（1）求出慣量張量（2）將慣量張量對(duì)角化，求出慣量主軸和主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量注意：能夠利用剛體幾何對(duì)稱性直接猜出慣量主軸?。?）求出外力矩在慣量主軸上分量，列歐拉動(dòng)力學(xué)方程并求解（4）最后求出歐拉角隨時(shí)間變化或者：（5）根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式利用歐拉動(dòng)力學(xué)方程求所受外力矩第41頁6.幾個(gè)主要例子

第42頁主要概念：本體圓錐：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸（即角動(dòng)量矢量方向）轉(zhuǎn)動(dòng)過程中在本體系掃出圓錐空間圓錐：在慣性系中角動(dòng)量守恒，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸繞角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)掃出圓錐第43頁拉格朗日陀螺：尖端固定，重力場中對(duì)稱陀螺保守力場，方便使用拉格朗日力學(xué)求解發(fā)覺φ和ψ是循環(huán)坐標(biāo)！因此對(duì)應(yīng)廣義動(dòng)量守恒！L不顯含時(shí)間，因此能量守恒：在此已有3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)積分了，標(biāo)準(zhǔn)上能夠把歐拉角參數(shù)隨時(shí)間變化關(guān)系解出第44頁第四部分：有關(guān)應(yīng)考一、往年試卷解讀2023年試卷考查了有心力場，通過拉格朗日函數(shù)求哈密頓函數(shù)，判斷正則變換，求母函數(shù)，求變換后哈密頓函數(shù)，泊松括號(hào)，哈密頓雅可比方程，剛體主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和主軸，歐拉剛體動(dòng)力學(xué)方程；2023年試卷考查了初次積分，通過拉格朗日函數(shù)求哈密頓函數(shù)，正則方程，泊松括號(hào)，判斷正則變換，求母函數(shù)，求變換后哈密頓函數(shù)，哈密頓雅可比方程，剛體動(dòng)能（或拉格朗日函數(shù)），剛體拉格朗日力學(xué)，求剛體歐拉角第45頁能夠發(fā)覺必考點(diǎn)包括如下內(nèi)容，辦法也很固定：1.通過拉格朗日函數(shù)求哈密頓函數(shù)。辦法：勒讓德變換2.（1）判斷正則變換。辦法：雅可比行列式或者全變分條件（2）求母函數(shù)和變換后哈密頓函數(shù)。辦法：使用定義3.泊松括號(hào)計(jì)算和應(yīng)用。辦法：使用定義和性質(zhì)4.哈密頓雅可比方程。辦法：分離變量5.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和動(dòng)能，動(dòng)力學(xué)方程，求歐拉角。辦法：使用定義第46頁二、有關(guān)復(fù)習(xí)范圍期中前內(nèi)容約占1/3，期中后內(nèi)容約占2/3課本需要復(fù)習(xí)章節(jié)，黑體字為重點(diǎn)：1.3，1.4，1.5；2.1，2.2；3.1，3.2，3.3，3.4；4.2，4.3，4.4著反復(fù)習(xí)課本基本概念，基本例題，基本辦法，基本習(xí)題（以布置過作業(yè)題為準(zhǔn)）；要求概念清楚（尤其是近似概念不要混同?。?，例題辦法純熟掌握，習(xí)題一看就有思緒不考地方包括：群論，流形，廣義相對(duì)論注意：期末考試題目都很正則，解法很機(jī)械，不會(huì)有偏難怪題目第47頁三、有關(guān)考試給出參照公式第48頁四、有關(guān)考試過程幾點(diǎn)提議1.先易后難：每道題先寫出拉格朗日函數(shù)，哈密頓函數(shù)，基本方程等基本點(diǎn)，有時(shí)間再寫方程求解，積分計(jì)算等內(nèi)容。畢竟這是物理考試而不是數(shù)學(xué)考試，成果沒算出來扣不了多少分2.基本點(diǎn)盡可能認(rèn)真，力求少犯錯(cuò)，避免扣掉無謂分！3.有關(guān)公式請(qǐng)看附錄4.讀題一定要認(rèn)真，不要帶有預(yù)先想法而理解錯(cuò)題目標(biāo)意思；相近概念一定要看清；務(wù)必看清題目問是什么第49頁五、大家擔(dān)心事情1.目前課程已經(jīng)結(jié)束，一種學(xué)期體現(xiàn)基本上決定了期末分?jǐn)?shù)，哪怕有漲落也不會(huì)太大。因此過多擔(dān)心發(fā)揮是沒必要2.最后總評(píng)成績估計(jì)按照平時(shí)20%，期中30%，期末50%給出；但期中和期末百分比能夠調(diào)整，即考得較好一次加權(quán)較高3.據(jù)統(tǒng)計(jì)，大家作業(yè)成績平均19/20，這樣作業(yè)分會(huì)拉一下大家總評(píng)，一般來說總評(píng)會(huì)比期末高4.事實(shí)證明袁老師最后會(huì)調(diào)分，優(yōu)秀率給到上限，往屆學(xué)