2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第四講正余弦定理及解三角形課件理

第四章

三角函數(shù)、解三角形第四講

正、余弦定理及解三角形要點(diǎn)提煉1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑,則考點(diǎn)1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.變形2R2RsinB2RsinC

注意

已知a,b和A,解的情況如下:考點(diǎn)1正、余弦定理

A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)無解_______________________一解無解一解兩解一解

考點(diǎn)1正、余弦定理

考點(diǎn)1正、余弦定理內(nèi)切圓實(shí)際測量中的常見問題有:測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.說明

測量中的常用術(shù)語如下:考點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線______的叫作仰角,目標(biāo)視線在水平視線______的叫作俯角.方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角.上方下方考點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α.北偏東α

南偏西α坡角坡面與水平面的夾角.坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比.

√??√(5)三角形中的三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.(

)2.在△ABC中,若c-acosB=(2a-b)cosA,則這個三角形的形狀為

.

3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓面積為

.

?等腰三角形或直角三角形

·考向掃描

考向1利用正、余弦定理解三角形DAB

考向1利用正、余弦定理解三角形方法技巧在△ABC中,(1)已知兩角和任一邊(ASA,AAS),求其他兩邊和一角(唯一解),用正弦定理;(2)已知三邊(SSS),求三個角(唯一解),用余弦定理;(3)已知兩邊和夾角(SAS),求第三邊和其他兩角(唯一解),用余弦定理;(4)已知兩邊和其中一邊的對角(SSA),求第三邊和其他兩角(解的個數(shù)不確定),用余弦定理(已知a,b,A,設(shè)第三邊為x,則x2+b2-a2=2bxcosA,即關(guān)于x的方程x2-2bcosA·x+b2-a2=0的正實(shí)數(shù)根的個數(shù)就是三角形解的個數(shù)).考向1利用正、余弦定理解三角形

考向1利用正、余弦定理解三角形

考向1利用正、余弦定理解三角形

考向2判斷三角形的形狀

考向2判斷三角形的形狀方法技巧

判斷三角形形狀的方法1.角化邊:通過正、余弦定理將角化邊,利用因式分解、配方等得出邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.判斷技巧:考向2判斷三角形的形狀a2+b2<c2cosC<0C為鈍角三角形為鈍角三角形a2+b2=c2cosC=0C為直角三角形為直角三角形a2+b2>c2cosC>0C為銳角無法判斷(只有C為最大角時才可得出三角形為銳角三角形)2.邊化角:通過正、余弦定理將邊化角,通過三角恒等變換公式、三角形的內(nèi)角和定理得出角之間的關(guān)系.注意

(1)不能隨意約掉公因式,要移項、提取公因式,否則會有遺漏一種形狀的可能.(2)注意挖掘隱含條件,在變形過程中注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響.考向2判斷三角形的形狀

考向2判斷三角形的形狀鈍角三角形

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題方法技巧

與面積有關(guān)問題的常見類型和解題技巧

考向3與面積、周長有關(guān)的問題常見類型解題技巧求面積已知面積求其他量應(yīng)用面積公式及正、余弦定理綜合求解.

考向3與面積、周長有關(guān)的問題C

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題方法技巧

與周長有關(guān)問題的常見類型和解題技巧(1)若邊長易求,直接求出邊長,進(jìn)而求出周長;(2)若邊長不易求,可利用整體思想,構(gòu)造以兩邊長的和為未知數(shù)的方程求解,進(jìn)而求出周長.考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向3與面積、周長有關(guān)的問題

考向4平面圖形中的計算問題

方法技巧

平面圖形中計算問題的解題思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形,然后在各個三角形內(nèi)利用正弦定理或余弦定理求解;(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系,交叉使用公共條件,求出結(jié)果.考向4平面圖形中的計算問題

考向4平面圖形中的計算問題

考向4平面圖形中的計算問題

考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用B

考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用方法技巧1.解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的常見類型及解題策略注意

向角是相對于某點(diǎn)而言的,因此在確定方向時,必須先弄清是哪一個點(diǎn)的方向角.另外也要注意方位角、俯角和仰角的含義.考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用常見類型解題策略求解與測量距離、高度有關(guān)的問題畫出示意圖,先確定所求量所在的三角形,若其他量已知,則直接利用正、余弦定理求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的量.求解角度問題根據(jù)實(shí)際問題畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,利用正、余弦定理進(jìn)行求解,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.2.求解解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的步驟考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用

考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用A

考向5解三角形的實(shí)際應(yīng)用攻堅克難

數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題

數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題方法技巧

解三角形中的最值(取值范圍)問題的求解方法求解三角形的邊、角、面積及周長的取值范圍或最值問題常用方法如下:數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題函數(shù)法通過正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角,再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式,最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的單調(diào)性和值域求解.基本不等式法利用正、余弦定理,面積公式建立a+b,ab,a2+b2之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系,然后利用基本不等式求解.幾何法根據(jù)已知條件畫出圖形,結(jié)合圖形,找出臨界位置,數(shù)形結(jié)合求解.注意

(1)涉及求范圍的問題,一定要弄清已知變量的范圍,利用已知的范圍進(jìn)行求解,已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)注意題目中的隱含條件的應(yīng)用,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.數(shù)學(xué)探索解三角形中的最值(取值范圍)問題14.

變式

(1)[2018江蘇高考]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c