基本不等式6種常見考法歸類

2.2基本不等式6種常見考法歸類1、基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．注：（1）不等式eq\f(a2＋b2,2)≥ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)中等號成立的條件相同嗎？答案相同．都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立”的含義是什么？答案a＝b?eq\f(a2＋b2,2)＝ab；a＝b>0?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).2、基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值應(yīng)注意：(1)x，y是正數(shù)．(2)①如果xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．注：（1）利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，應(yīng)注意什么問題呢？答案利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：一正，二定，三相等．（2）x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？答案只有當(dāng)x>0時(shí)，才有x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，即x＋eq\f(1,x)的最小值是2；當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)沒有最小值，此時(shí)x＋eq\f(1,x)＝，即當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最大值是－2.3、由公式和引申出的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或4、對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下三個(gè)方面(1)不等式成立的條件是a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時(shí)，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.(3)基本不等式的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“和式”與“積式”的相互轉(zhuǎn)化，當(dāng)題目中不等號的兩端一端是“和式”而另一端是“積式”時(shí)，就要考慮利用基本不等式來解決，在應(yīng)用過程中注意“一正、二定、三相等”．5、運(yùn)用基本不等式比較大小的注意點(diǎn)(1)利用基本不等式比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小，就是把數(shù)(式)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,達(dá)到比較的目的，在放縮的過程中，要結(jié)合不等式的傳遞性，即要保證不等號同方向．(2)要靈活運(yùn)用基本不等式，特別注意其變形．(3)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.6、利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事項(xiàng)：①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．7、基本不等式求最值的兩種常用方法(1)拼湊法，拼湊法求解最值，其實(shí)質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗(yàn)證等號成立的條件．(2)常數(shù)代換法，常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時(shí)，靈活運(yùn)用“1”的代換，在不等式的解題過程中，常常將不等式乘“1”，除以“1”或?qū)⒉坏仁街械哪硞€(gè)常數(shù)用等于“1”的式子代替．8、利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．9、求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．(2)觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．考點(diǎn)一對基本不等式的理解考點(diǎn)二利用基本不等式比較大小考點(diǎn)三利用基本不等式證明不等式考點(diǎn)四利用基本不等式求最值(一）直接法(二）配湊法求最值(三）常數(shù)代換法(四）消元法(五）換元法(六）對勾函數(shù)求最值考點(diǎn)五基本不等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)六基本不等式的恒成立問題考點(diǎn)一對基本不等式的理解1．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：D.2．【多選】（2023秋·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列推導(dǎo)過程，其中正確的是（

）A．因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)椋訢．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立【答案】ABD【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的條件，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對于A，為正實(shí)數(shù)，有，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對于B，，當(dāng)時(shí)，，且，顯然不存在大于3的正數(shù)a使成立，所以，B正確；對于C，因?yàn)?，則，不符合均值不等式成立的條件，C錯(cuò)誤；對于D，，則，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，滿足均值不等式的條件，D正確.故選：ABD3．【多選】（2023春·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．不等式與成立的條件是相同的.B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)，的最小值是4D．“且”是“”的充分條件【答案】ABC【分析】在應(yīng)用基本不等式的時(shí)候要注意基本不等式的成立條件.【詳解】不等式成立的條件是；成立的條件是，A錯(cuò)；由于，故函數(shù)無最小值，B錯(cuò)；由于時(shí)無解，故的最小值不為4，C錯(cuò)；當(dāng)且時(shí)，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；而“”的充要條件是“”，因?yàn)榍彝撇怀銮?，所以D正確.故答案為：ABC考點(diǎn)二利用基本不等式比較大小4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實(shí)數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式計(jì)算出.【詳解】因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，綜上：.故選：B5．【多選】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)，是正實(shí)數(shù)，則下列各式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由基本不等式即可判斷A，B，C；通過作差法即可判斷D．【詳解】對于A：，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故A成立；對于B：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B成立；對于C：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故C成立；對于D：，，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．6．【多選】（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】作差法比較A、B、D的大小，利用基本不等式判斷C即可.【詳解】，則，A對；，而，所以，即，B錯(cuò)；且，僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，故，C對；，而，所以，即，D對.故選：ACD考點(diǎn)三利用基本不等式證明不等式7．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，，且．求證：．【答案】證明見解析【分析】將證明式子中的1用代換，整理為，根據(jù)基本不等式即可證明．【詳解】因?yàn)閍，b，c都為正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以．8．（2023秋·貴州黔南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由，則，根據(jù)，，，即可得證；（2）根據(jù)，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)，，均為正數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；（2）因?yàn)?，，均為正?shù)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號均成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以.9．（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件；（2）利用基本不等式求、、，即可證結(jié)論，注意等號成立條件.【詳解】（1）由，所以，即，僅當(dāng)時(shí)等號成立，綜上，的最大值為.（2）由，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，由，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，由，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，綜上，，僅當(dāng)時(shí)等號成立.10．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．（2）化簡已知得，即，利用基本不等式即可得證.【詳解】（1）（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二小問中用配湊法將的證明轉(zhuǎn)化為的證明，其中是解題關(guān)鍵，本題考查不等式的證明，基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.考點(diǎn)四利用基本不等式求最值（一）直接法11．（2023秋·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）若，則的最小值為；【答案】【分析】由基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為：12．（2023春·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)已知，利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以.故答案為：.13．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知，若，則的最大值為．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，解得，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號成立．所以的最大值為2.故答案為：214．（2023春·陜西·高二校聯(lián)考期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：A.15．（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┤簦?，，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式可得，即，解得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的取值范圍是.故答案為：.16．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，所以的最大值為2.故選：D.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】由已知條件可得出，結(jié)合基本不等式可求得函數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，，所以，，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.故答案為：.（二）配湊法求最值18．（2023春·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）若，則函數(shù)最大值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因此，故答案為：19．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：C.20．（2023秋·陜西商洛·高一校考期中）已知，則取得最大值時(shí)x的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可.【詳解】，則由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故取得最大值時(shí)x的值為故選：21．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，結(jié)合等號成立的條件，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以時(shí)，取得最大值.故選：B.22．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件；（2）由題設(shè)知，由基本不等式求目標(biāo)式最大值，注意等號成立條件.【詳解】（1）∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，∴的最小值為；（2）∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.∴的最大值.23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【分析】使用變量分離，將化為，使用基本不等式解決.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．故選：B．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．【答案】【分析】將函數(shù)化簡，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.25．（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：26．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求的最大值.【答案】/【分析】化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號成立，所以，即最大值為.故答案為：.27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為．（2）已知，則的最大值為．（3）函數(shù)的最小值為．【答案】1/【分析】（1）積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗(yàn)等號成立的條件；（2）結(jié)構(gòu)為和的形式轉(zhuǎn)化為積的形式，并使積為定值，同時(shí)要檢驗(yàn)等號成立的條件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出來，然后再分離，最后用基本不等式求解即可.【詳解】解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號．故答案為：.（2）因?yàn)椋?，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號．故的最大值為1.故答案為：1.（3）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：.（三）常數(shù)代換法28．【多選】（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AB【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對于選項(xiàng)A，正實(shí)數(shù)，滿足，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則A正確；對于選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則B正確；對于選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，則C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等，但，故等號無法取到，故D錯(cuò)誤．故選：AB.29．【多選】（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)b的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為6 D．【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值可判斷A；配方法求最值可判斷B；應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值可判斷C；常量分類再利用的范圍可判斷D.【詳解】對于A：，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，，所以，由，所以?dāng)時(shí)，有最小值，故B正確；對于C：由，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí),等號成立，故C錯(cuò)誤；對于D：由，因?yàn)?，所以，，可得，所以，故D正確.故選：BD.30．【多選】（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式不等式即可求出最小值.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故B正確，A錯(cuò)誤；，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.31．【多選】（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故B正確；對于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故D正確．故選：ABD．32．【多選】（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是【答案】BC【分析】利用基本不等式根據(jù)可得，即可求解選項(xiàng)A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解選項(xiàng)B；利用基本不等式可得即可求解選項(xiàng)C；根據(jù)，再結(jié)合等號成立條件可求解選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則A錯(cuò)誤；由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則B正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則C正確；由題意可得，此時(shí)，．因?yàn)?，所以不存在，使得，則D錯(cuò)誤．故選:BC.33．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)“乘1法”，即可由基本不等式求解最值.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，則．故答案為：34．（2023春·云南文山·高一校考期中）若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】對變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為故選：C35．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，下列說法正確的是（

）A．的最大值為8B．的最小值為2C．有最小值D．有最大值4【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式運(yùn)用的三個(gè)條件“一正?二定?三相等”，可知，所以A錯(cuò)誤；將原式化成，即可得，即B正確；不等式變形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C錯(cuò)誤；將式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，無最大值，D錯(cuò)誤.【詳解】對于選項(xiàng)，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為，A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，原式化為，故；，故；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；對于選項(xiàng)，原式化為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最小值，D錯(cuò)誤．故選：B36．（2023秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為.故選：D.37．（2023春·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】25【分析】由題意得，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為25，故答案為：2538．（2023春·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎渲?，，，則的最小值為．【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用求解作答.【詳解】因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為16.故答案為：16（四）消元法39．【多選】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為6 D．的最大值為8【答案】ACD【分析】利用基本不等式一一計(jì)算可得.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故A正確；對于B：由條件可知，所以，解得，由，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，故B錯(cuò)誤；對于C：由得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號，故C正確；對于D：由上述條件可知，整理得.令，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號，故D正確.故選：ACD.40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是.【答案】/【分析】由題可得代入，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】由可得：，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故答案為：.41．（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題意得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，由，得，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，則的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用表示，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，由此利用基本不等式即可得解.（五）換元法42．【多選】（2023春·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是 D．的最小值為【答案】AC【分析】利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式即可判斷A,B；利用多變量變單變量即可判斷CD.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號由，即，解得，即，A正確；對于，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，得，所以，又所以，即，故B錯(cuò)誤；對C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，得，結(jié)合，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確；對于D選項(xiàng)知:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，但由于，因此等號不成立，故D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用整體的思想利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式從而判斷AB，再利用多變量統(tǒng)一為單變量的方法來判斷CD.43．【多選】（2023春·福建福州·高一福州三中?？计谀┮阎?，且，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【分析】利用基本不等式有，結(jié)合換元法解一元二次不等式求范圍，注意所得范圍端點(diǎn)取值判斷A；由已知得，利用基本不等式判斷B、C、D，注意最值取值條件.【詳解】因?yàn)?，，所以，僅當(dāng)時(shí)，即等號成立，令，則，故，所以，即，僅當(dāng)時(shí)右側(cè)等號成立，所以的最大值為，A錯(cuò)誤；由，則，所以，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為，B正確；由，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為，C正確；由，僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為16，D正確.故選：BCD44．（2023秋·天津北辰·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值為【答案】/【分析】令，然后分離常數(shù)，利用基本不等式可得.【詳解】，令，則上式，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故答案為：（六）對勾函數(shù)求最值45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為．【答案】＋1【分析】先對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求出有最小值.【詳解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數(shù)f（x）的最小值為；故答案為：.考點(diǎn)五基本不等式的實(shí)際應(yīng)用47．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┘住⒁覂擅緳C(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價(jià)分別相同，但第一次與第二次加油的油價(jià)不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算【答案】A【分析】根據(jù)題意列出甲乙兩次加油的平均單價(jià)，進(jìn)而根據(jù)不等式即可求解.【詳解】設(shè)兩次的單價(jià)分別是元/升，甲加兩次油的平均單價(jià)為，單位：元/升，乙每次加油升，加兩次油的平均單價(jià)為，單位：元/升，因?yàn)椋?，，所以，即，即甲的平均單價(jià)低，甲更合算.故選：A48．（2023春·湖南長沙·高二湖南師大附中?？计谥校┮患疑痰晔褂靡患軆杀鄄坏乳L的天平稱黃金．一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認(rèn)為顧客購得的黃金（

）附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有，其中、分別為左、右盤中物體質(zhì)量，、分別為左右橫梁臂長．A．等于 B．小于 C．大于 D．不確定【答案】C【分析】設(shè)天平左臂長，右臂長，且，根據(jù)已知條件求出、的表達(dá)式，利用基本不等式比較與的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)天平左臂長，右臂長，且，設(shè)天平右盤有克黃金，天平左盤有克黃金，所以，所以，，則．故選：C．49．（2023秋·四川綿陽·高一四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為xm，寬為ym．

(1)若菜園面積為18m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為15m，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由題意得，利用基本不等式求出的最小值及時(shí)等號成立；（2）根據(jù)題意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】（1）由已知可得，而籬笆總長為．又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．∴菜園的長x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長最?。?）由已知得，又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝5，y＝5時(shí)等號成立．∴的最小值是．50．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）快遞公司計(jì)劃在某貨運(yùn)樞紐附近投資配建貨物分揀中心.假定每月的土地租金成本與分揀中心到貨運(yùn)樞紐的距離成反比，每月的貨物運(yùn)輸成本與分揀中心到貨運(yùn)樞紐的距離成正比.經(jīng)測算，如果在距離貨運(yùn)樞紐處配建分揀中心，則每月的土地租金成本和貨物運(yùn)輸成本分別為2萬元和8萬元.要使得兩項(xiàng)成本之和最小，分揀中心和貨運(yùn)樞紐的距離應(yīng)設(shè)置為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)土地租金成本和運(yùn)