第九章 B-s期權(quán)定價模型

理解股票價格對數(shù)正態(tài)分布的特性，掌握Black-Scholes微分方程的基本概念和推導(dǎo)Black-Scholes公式的過程；掌握公式的性質(zhì)，并且能夠運(yùn)用該公式進(jìn)行定價；掌握風(fēng)險中性定價的原理和方法；能夠運(yùn)用期權(quán)定價公式對支付紅利的股票期權(quán)進(jìn)行定價。第九章B-S期權(quán)定價模型

一、布萊克——斯科爾斯微分方程

（一）思路：由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性(dz)影響，若匹配適當(dāng)，這種不確定性就可以相互抵消。布萊克和斯科爾斯建立一個包括一單位衍生證券若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)，標(biāo)的證券多頭盈利(或虧損)總是會與衍生證券空頭的虧損(或盈利)相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。在無套利機(jī)會的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險利率。（二）布萊克—斯科爾斯微分方程的假設(shè)

1．證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即μ和σ為常數(shù)；2．允許賣空標(biāo)的證券；3．沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4．在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5．不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；6．證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7．在衍生證券有效期內(nèi),無風(fēng)險利率r為常數(shù)。(三)布萊克——斯科爾斯微分方程的推導(dǎo)

1、基礎(chǔ)證券的運(yùn)動模型：由于假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運(yùn)動，因此有：dS＝μSdt十σSdz其在一個小的時間間隔Δt中，S的變化值ΔS為：ΔS=μSΔt+σSΔz……（1）2、衍生工具的運(yùn)動模型：

假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的

函數(shù)，由伊藤引理可得：3、構(gòu)建無風(fēng)險組合：從上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同，都等于。因此只要選擇適當(dāng)?shù)难苌C券和標(biāo)的證券的組合就可以消除不確定性。為了消除Δz，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令Π代表該投資組合的價值，則：4、無套利定價由于式(5)中不含有Δz，該組合的價值在一個小時間間隔Δt后必定沒有風(fēng)險。因此該組合在Δt中的瞬時收益率一定等于Δt中的無風(fēng)險收益率。否則的話，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險收益率。因此，在沒有套利機(jī)會的條件下：ΔΠ＝rΠΔt……（6）把式(3)和(5)代入（6）得:5、這就是著名的布菜克——斯科爾斯微分分程,

它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。6、注意(1)組合的風(fēng)險性當(dāng)S和t變化時，的值也會變化，因此上述投資組合的價值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng)險的，它只是在一個很短的時間間隔Δt中才是無風(fēng)險的。在一個較長時間中，要保持該投資組合無風(fēng)險，必須根據(jù)t的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量。當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克——斯科爾斯微分方程并不要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因為它只關(guān)心Δt中的變化。(2)風(fēng)險中性定價原理從式(7)可以看出，衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(S)、時間(t)、證券價格的波動率(σ)和無風(fēng)險利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量——風(fēng)險收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率μ并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。在所有投資者都是風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，這是因為風(fēng)險中性的投資者并不需要額外負(fù)擔(dān)外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險。在風(fēng)險中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。應(yīng)該注意的是，風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克——斯科爾斯微分方程而作出的人為假定。但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資考風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。二、布萊克——斯科爾斯期權(quán)定價公式

1973年，布萊克和斯科爾斯成功地求解了他們的微分方程，從而獲得了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確公式。在風(fēng)險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(T時刻)的期望值為：其中，表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：在風(fēng)險中性條件下，我們可以用r取代下式中的μ

N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，有：N(—x)＝1—N(x)。對B-S公式理解：（1）上式右邊的第二項-e-r(T-t)XN(d2)，是構(gòu)建無套利組合時加入的一個單位衍生證券空頭的現(xiàn)值，風(fēng)險中性條件下的貼現(xiàn)值。由于該頭寸是空頭，所以符號為負(fù)，可以理解為組合中的負(fù)債價值。N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，即是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率；XN(d2)是執(zhí)行價格乘以行權(quán)的概率，是概率折扣后到期行權(quán)獲得的價值，是T時刻的終值；e-r(T-t)XN(d2)是上面終值X風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值，它構(gòu)成當(dāng)前期權(quán)價格的一部分；（2）上式右邊的第一項SN(d1)，是構(gòu)建無套利組合時加入的若干個單位的標(biāo)的證券的多頭的現(xiàn)值。由于該頭寸是多頭，所以符號為正，可以理解為組合中的資產(chǎn)價值。無套利資產(chǎn)組合中必然同時存在多頭和空頭，否則風(fēng)險無法對沖。

Δ＝N(d1)可以看作是組合中股票的數(shù)量（不超過1），SN(d1)就是股票的市值。

SN(d1)＝e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值?？紤]到在風(fēng)險中性條件下，ST實(shí)際上是S按無風(fēng)險利率增長在T時刻的終值：ST=Ser(T-t)

或S＝e-r(T-t)ST

因此SN(d1)可以變換為：SN(d1)＝e-r(T-t)STN(d1)期權(quán)定價公式可以相應(yīng)表示為：（3）d1和d2的性質(zhì)當(dāng)股票價格S變得很大時，d1和d2變得很大，N（d1）和N（d2）趨近于1，則：看漲期權(quán)價格f為：S-Xe-r(T-t)

看跌期權(quán)價格p為0，因為N（-d1）和N（-d2）趨近于0。

當(dāng)股價波動率σ趨近于0時，有兩種情況：當(dāng)S>Xe-r(T-t)時，d1和d2趨向于正無窮大，N（d1）和N（d2）趨近于1，看漲期權(quán)價格f為：S-Xe-r(T-t)；看跌期權(quán)價格p為：0

當(dāng)S<Xe-r(T-t)時，d1和d2趨向于負(fù)無窮大，N（d1）和N（d2）趨近于0，看漲期權(quán)價格f為0；看跌期權(quán)價格p為：Xe-r(T-t)–S總之，只要σ趨近于0，一定有：看漲期權(quán)價值總為：MAX（S-Xe-r(T-t)，0）；看跌期權(quán)價值總為：MAX（Xe-r(T-t)–S，0）；歐式看跌期權(quán)定價在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C＝c，因此式(10)也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：p＝Xe-r(T-t)N(—d2)—SN(—d1)(11)由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價還沒有得到一個精確的解析公式。美式看跌期權(quán)可以用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式

到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價公式是什么呢？實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價并不復(fù)雜。(一)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式

在收益己知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失，因此，我們只用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。σ表示風(fēng)險部分遵循隨機(jī)過程的波動率。直接套用公式（10）和（11）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。當(dāng)標(biāo)的證券己知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q(單位為年)時，將Se-q(T-t)代替式(10)和(11)中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。從而使布萊克——斯科爾斯的歐式期權(quán)定價公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價指數(shù)期權(quán)的定價。對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價公式：

例1假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為7％，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10％，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動，其波動率為10％，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。由于英鎊會產(chǎn)生無風(fēng)險收益,現(xiàn)在的1英鎊等于6個月后的e0.1×0.5英鎊,而現(xiàn)在的e-0.1×0.5英鎊等于6個月后的1英鎊，因此可令S＝1.5000×e-0.1×0.5,并代入式（10）可求出期權(quán)價格：

通過查累積正態(tài)分布函數(shù)N(x)的數(shù)據(jù)表，我們可以得出：c=1.4268×0.4298—1.4484×0.4023＝0.0305＝3.05美分因此，6個月期英鎊歐式看漲期權(quán)價格為3.05美分。(二)有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價

1．美式看漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜。布萊克提出了一種近似處理方法。方法：先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。例2假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標(biāo)的股票波動率為每年30％，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10％，求該期權(quán)的價值。首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)前面的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：在本例中，D1=D2＝1.0元。第一次除權(quán)日前不等式右邊為X[1-e-r(t1-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.5)＝2.4385由于2.4385＞1.0元，因此在第一個除權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行.第二次除權(quán)日前不等右邊為：X[1-e-r(T-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.0833)＝0.4148由于0.4148＜1.0元，因此在第二個除權(quán)日前有可能提前執(zhí)行然后，要比較1年期和11個月期歐式看漲期權(quán)價格。對于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：1.0×e-0.1×0.4167十1.0×6—0.1×0.9167＝1.8716元因此S-I=48.1284，代入式(10)得：c12＝48.1284N(d1)一50e—0.1×1N(d2)＝48.1284N(d1)一45.2419N(d2)其中d1=[1n(48.1284／50)十(0.1十0.09／2)×1]/[0.3×√1]=0.3562d2=0.3526-0.3×√1＝0.0562由于N(0.3562)＝0.6392N(0.0562)＝0.5224c12＝48.1284×0.6392—45.2419×0.5224＝7.1293元對于11個月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：1.0×e-0.1×0.4167=0.9592元因此S-I=9.0408元，代入式(10)得c11＝49.0408N(d1)一50e—0.1×0.9167N(d2)＝49.0408N(d1)一45.6203N(d2)其中：d1=[1n(49.0408／50)十(0.1十0.09／2)×0.9167]/[0.3×√0.9167]=0.3952d2=0.3952-0.3×√0.9167＝7.2824c11＝49.0404×0.6536—45.6203×0.543＝7.2824由于C11＞C12，因此該美式看漲期權(quán)價值近似為7.2824元

2、美式看跌期權(quán)由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只