經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解

經(jīng)典截長(zhǎng)補(bǔ)短法巧解截長(zhǎng)補(bǔ)短法是證明幾何題中的重要方法之一，通常用于證明線段之間的數(shù)量關(guān)系。其中，截長(zhǎng)法可以通過(guò)過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線或在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相等的線段來(lái)證明數(shù)量關(guān)系。而補(bǔ)短法則可以通過(guò)延長(zhǎng)短邊或旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起來(lái)證明數(shù)量關(guān)系。例如，在正方形ABCD中，若DE=DF，DG垂直于CE交CA于G，GH垂直于AF，交AD于P，交CE延長(zhǎng)線于H，要證明三條粗線DG、GH、CH的數(shù)量關(guān)系與另一短邊相等。對(duì)于另一個(gè)問(wèn)題，正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，且∠EAF=45°，要證明EF=DE+BF。我們可以通過(guò)延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG，再利用相似三角形證明DE=AG，從而得出EF=DE+BF的結(jié)論。另外一個(gè)問(wèn)題是，正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，且∠EAF=45°，要求出△AEF的面積。我們可以通過(guò)延長(zhǎng)AD和AF相交于點(diǎn)G，再利用相似三角形證明AE=AG和AF=AG，從而得出△AEF的面積為1/2×AE×EF=1/2×AG×(AG+GF)。又AG=AF=AE所以三角形EAG和EAF是全等的（SAS）。根據(jù)題目給出的圖形，我們可以得到EF的長(zhǎng)度為BF-DE，或者DE-BF，具體取決于我們?cè)贐C或者DC上截取什么長(zhǎng)度。因此，我們可以對(duì)題目中的每個(gè)圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形和推導(dǎo)，得到EF的長(zhǎng)度為BE+FC或者CG+FC，具體取決于我們?cè)贏C或者CD上截取什么長(zhǎng)度。在Rt$\triangle$ADG中，$\angle$GAD=30°，AD=3；$\angle$AGD=60°，AG=2。設(shè)EH=x，在Rt$\triangle$EGH和Rt$\triangle$EHA中，$\angle$AGD=60°，$\angle$HAE=45°。由三角形的正弦定理可得，$HG=\frac{3}{\sqrt{3}},AH=x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，所以$AG=HG+AH=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。又因?yàn)?\triangle$EAF和$\triangle$EAG共邊EA，且$\angle$EAF=$\angle$EAG=90°，所以$\triangle$EAF和$\triangle$EAG全等，所以S$\triangle$EAF=S$\triangle$EAG=EH$\times$AG$\div2=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，點(diǎn)E在BD上，AE平分$\angle$DAC。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以$\angle$ADC=90°，BD平分$\angle$ADC，AC$\perp$BD，所以$\angle$ADB=$\angle$ADC/2=45°。因?yàn)锳E平分$\angle$DAC，EO$\perp$AC，EG$\perp$AD，所以$\angle$EAO=$\angle$EAG，$\angle$DGE=$\angle$AOE=$\angle$AGE=90°，又AE=AE，所以$\triangle$AEO全等于$\triangle$AEG（AAS），所以AG=AO，EO=EG。又因?yàn)?\angle$ADB=45°，$\angle$DGE=90°，所以$\triangle$DGE為等腰直角三角形，DG=EG=EO，AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2，即AC/2=AD-EO。正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長(zhǎng)線上，CM=AN，點(diǎn)E在BD上，NE平分$\angle$DNM。按照上一個(gè)問(wèn)題的思路，可得到$\triangle$GNE全等于$\triangle$FNE（AAS），$\triangle$DGE為等腰直角三角形，AG=AD-DG=AD-EF。因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，$\angle$ABC=$\angle$GAQ=$\angle$BCM=90°，BD平分$\angle$ABC，BC=BA，$\angle$ABD=$\angle$ABC/2=45°，又$\angle$EQB=90°，$\triangle$EQB為等腰Rt三角形，$\angle$BEQ=45°。因?yàn)?\angle$GAQ=$\angle$EGA=$\angle$EQA=90°，所以四邊形AGEQ為矩形，$EQ=AG=AD-EF$，$EQ\parallelAG$，$\angle$QEN=$\angle$ENG，又$\angle$ENG=$\angle$ENF，所以$\angle$QEN=$\angle$ENF。由BC=BA，$\angle$BCM=$\angle$BAN=90°，CM=AN，所以$\triangle$BCM全等于$\triangle$BAN（SAS），BM=BN，$\angle$CBM=$\angle$ABN，$\angle$ABC=90°=$\angle$ABM+$\angle$CBM=$\angle$ABM+$\angle$ABN=$\angle$MBN，又BM=BN，所以$\triangle$MBN為等腰直角三角形，MN=$\sqrt{2}BM=\sqrt{2}BN=\sqrt{2}AD/2=\sqrt{2}/2$。又因?yàn)?\triangle$NEF和$\triangle$NEA共邊NE，且$\angle$NEF=$\angle$NEA=90°，所以$\triangle$NEF和$\triangle$NEA全等，所以EF=EA=AD-$\sqrt{2}$MN=AD-$\sqrt{2}$/2。所以MN/2=AD-EF。根據(jù)題目所給信息，可以得出三角形MBN是等腰直角三角形，因?yàn)锽P垂直于斜邊MN于點(diǎn)P，所以三角形NPB也是等腰直角三角形。由此可以得到BP等于MN的一半，且角PNB等于45度。角BNE等于角ENF加上角PNB，角BEN等于角QEN加上角QEB。因?yàn)榻荙EN