2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)滿分期末沖刺卷03 解三角形（江蘇精編）（解析版）

專題03解三角形（共39題）

含平面向量、三角恒等變換與解三角形綜合題

一、單選題

1.（河南省新鄉(xiāng)市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題）在AABC中,tanAsinB<cosB，則AA6c

的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

【答案】c

?八sinAsinB八

【解析】：tanAsinB<cosB,---------<cosB,

cosA

若A是鈍角，此不等式顯然成立，三角形為鈍角三角形，

若A是銳角，貝ijsinAsinB<cosAcos8,cosAcosB-sinAsinB=cos（A+8）>0,

TTIT

4,8是三角形內(nèi)角，；.0<4+8<一，從而。=%—（4+8）>一，。為鈍角，三角形仍然為鈍角三角形.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

易錯點(diǎn)睛：本題考查三角形形狀的判斷.解題過程中，由sm"sm』<cos8常常直接得出

cosA

sinAsin5<cosAcos5,然后可判斷出。是鈍角，三角形是鈍角三角形，也選擇了正確答案，但解題過程存

在不全面.即應(yīng)該根據(jù)A角是銳角還是鈍角分類討論.實(shí)際上就是不等式性質(zhì)的應(yīng)用要正確.

2.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且一/+缶,，

則角B的大小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【解析】

由/=從一02+血4。利用余弦定理可得853=正，結(jié)合B的范圍，即可得3的值.8c中，

2

,/a2=b2-c2+y[2ac<

可得：a1+（r-b1=>[2ac>

?-?由余弦定理可得：

ci~+c~—b~\p2.ctcyf2

cosB------------=------=——，

laclac2

?.?8e（O㈤，

.?.8=45'，

故選：A.

3.（2021?江蘇南通市?啟東中學(xué)高一月考）若出。+1,。+2是銳角三角形的三邊長，則。的取值范圍是（）

A.1<?<3B.a>1

C.a>3D.0<?<1

【答案】c

【解析】

根據(jù)大邊對大角，只需邊長。+2對應(yīng)的角為銳角，由余弦定理即可求出.因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以最大邊長

a+2對應(yīng)的角為銳角，設(shè)該角為6.

a-+（。+1）-—（a+2）一，

所以cos6=———/—\——上>0,即。2一2?！?>（）,解得。>3或。<一1（舍去）.

2a（a+1）

故選：C.

4.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的

斜度為15。，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若CO=50m,山坡對于地平面的

坡度為仇則cos。等于

A.3B.—C.J3-1D.J2-1

22

【答案】C

【解析】

在AABC中，由正弦定理得AC=100拉，再在AAOC中，由正弦定理得解.在AABC中，由正弦定理得

ABAC

sin30°sin135°'

：.AC=WOy]2■

ACCD

在AAOC中，-----------=-------,

sin（e+90'）sin150

cosO=sin（O+9O0）=sin"=百_?

CD

故選：C

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：解一個三角形需要已知三個幾何元素（邊和角），且至少有一個為邊長，對于未知的幾何元素，放到

其它三角形中求解.

5.（專題12寒假班復(fù)習(xí)-2020-2021學(xué)年新教材高一數(shù)學(xué)寒假輔導(dǎo)講義（滬教版2020））在A48c中，若

sinAcos（——5）=1-sin（----A）cosB,則這個三角形是（）

22

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

7T7T

利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計算可得；解：因?yàn)閟inAcos（--5）=l-sin（一一A）cosfi

22

所以sinAsin5=1-cosAcosB

所以cosAcos3+sinAsin8=1

所以cos（A_5）=l

因?yàn)锳Bw（0,;r）,所以A-8=0,即A=B

所以三角形為等腰三角形；

故選：D

6.(2021?江蘇蘇州市?星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)在3c中，由角A,B，。所對的邊分別為。，b，。，且

c-2(acosB-hcosA),則tan(A-B)的最大值為()

A6R6c1D6

23

【答案】D

【解析】

根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到tan4=3tan8,再根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式，

即可求解.因?yàn)樵?43。中，c=2(。cosB-bcosA)

由正弦定理可得2sinA?cosB-2sincosA=sinC.

因?yàn)镃=〃-(A+3),可得sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB=3cosAsinB,即tanA=3tanB,

..n、tanA-tanB2tanB2'百

tan(A-B)=-------------=-------1—=-------------<—

所以1+tanATan81+3tan-B1,口3?

-----F3tanB

tanB

因?yàn)閠anA=3tan3,可得tanB>0,所以---+3tanB>2J---3tanB=273,

tanBVtanB

、/

當(dāng)且僅當(dāng)tanB=X23,即8=7—i，C=n~,A=7一t時取

3623

所以tan（A-B）4號，即tan（A-B）的最大值為手.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用"角轉(zhuǎn)邊''尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦

定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，同時注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

7.（2020?江蘇高一期中）在ZV3C中，角的對邊分別為4,dc,若竺一=任一=竺七（2為非零實(shí)

Z34

數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)％=1時，413。是銳角三角形B.當(dāng)攵=2時，AABC是銳角三角形

C.當(dāng)左=3時，AABC是鈍角三角形D.當(dāng)攵=5時，ZV18C是直角三角形

【答案】D

【解析】

由正弦定理化簡己知可得a:b:c=4:3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分

析各個選項(xiàng)即可得解.對于A,左=1時，可得：a:A:c=l:3:4,可得a+=這樣的三角形不存在，故錯

誤；

對于3，后=2時.，可得：a:0:c=2:3:4,可得C為最大角，由余弦定理可得cosC=二+’=-l<。,

lab4

可得AABC是鈍角三角形，故錯誤；

/724-A2—r21

對于c,Z=3時，可得：a:b:c=3:3:4,可得。為最大角，由余弦定理可得cosC=M^--=->0,可

2ab9

得A48C是銳角三角形，故錯誤；

對于O，攵=5時，可得：a-.b-.c=5:3A,可得/=尸+02,即A為直角，可得AA3C是直角三角形，故

正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用4+3+。=兀這個結(jié)

論.

8.（第“章解三角形（基礎(chǔ)過關(guān)）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元測試定心卷（蘇教版2019必修第二冊））已知

AI-CC

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足a?+c、2+ac—尸=0，則cos~----->J3sin—cos—的

222

取值范圍為（）

3百、3

---------)

4454

33

452

【答案】B

【解析】

利用余弦定理求出B的值，再根據(jù)題意利用三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得對應(yīng)的取值范圍.由

a2+c2+ac—b2=0?可得a?+/一匕,=-ac，

〃242_人21

由余弦定理得cosB=<^——=

2ac2

24

因?yàn)?￡(0,冗),可得Z?￡—，

3

T7rh2A/T.CC1石.1\/3.7t1

又由cos---A/3sin—cos一=—(cos2+1)----sinC=—cosA----sin(---A)+一

222222232

--cosA+—sinA+-=-sin(A--)+-.

442262

因?yàn)?<A<一，所以---<A----<—,所以—vsin(A---)<一，

3666262

所以,v'sin(A—工)V』,

42624

AZ-?Z-?1Q

即cos2——5/3sin—cos—的取值范圍為(―,—).

故選：B.

9.（江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期3月學(xué)情調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題）己知A是銳角

△ABC的一個內(nèi)角，且滿足cos(A+w)=§,則sin(w-A)=()

A373-4D3g+464-3』「36-4-3百+4

A?-----------B.------------C.----------D.-----------或--------

1010101010

【答案】A

【解析】

447171TC\TC'

根據(jù)題意得sin(A+—)=—,又一一A=一一(A+一),展開計算sin二一A即可.因?yàn)锳是銳角，所以

65636\6

.._7C.LL,1An/兀21、

AG(0,—),所以A+工￡(二,^-),

2663

(4乃、3.re4

因?yàn)閏os1A+，所以sm(A+w)=M

冗乃7C

又因?yàn)锳=——(A+—),

636

所以sin---A=sin(---(Ad——))=sin—cos(A+—)—cos—sin(Ad——)

I6J363636

芻os(A+2)」sin(A+4與3百-4

2626252510

故選：A.

【點(diǎn)睛】

（1）給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出

相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可.

（2）通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函

數(shù)；②己知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是選正、余弦皆可；若角的范圍是（0,乃）,

選余弦較好；若角的范圍為（-I，］）,選正弦較好.

10.（2021?吳江市高級中學(xué)高一月考）圭表（圭是南北方向水平放置測定表影長度的刻板，表是與圭垂直的桿）

是中國古代用來確定節(jié)令的儀器，利用正午時太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令.已知冬至和夏至正午時,

太陽光線與地面所成角分別為a,夕，表影長之差為/,那么表高為（）

夏至?

冬至

/(tana-tan/?)ZtanatanP

tanatan(3tana-tan/3

、/(tan/一tana)Itanptana

tan(3tanatan1一tana

【答案】D

【解析】

由題意作圖，在八48中，然后根據(jù)正弦定理表示出AC,然后在直角三角形中，利用正弦值表示出表高A8,

上下同時除以cosacos/?即可.如圖，在△ACD中，ZCAD=j3-af所以由正弦定理得,

ACCD

sinasin(夕一a)

/?sina

可得AC=

sin(/7-a)

…c/《in/?sinaItanatanB

故選：D

11.（2021?江蘇高一單元測試）如圖，AABC中，AC=473.cosA="，。為AABC外一點(diǎn)，且

3

ZD=2ZA.DC=2,△BCQ的面積為4&，則AB=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出sinA的值，再利用二倍角公式結(jié)合NZ）=2NA可求出sin。,cos。的值，由

△BC。的面積為4、歷，求出8。的值，在△BCQ中，利用余弦定理可求出8C的值，在AABC中，利用余

弦定理可求出AB的值：cosA=立，???sinA=^.又ND=2Z4,

33

sin￡）=sin2A=2sinAcosA=2xx—=,

333

cosD-cos2A=2cos2A-l=2x—1=一’.故的面積

3

S=LcDxBDsinD=Lx2xBDx^!^=4母,解得BD=6.則在△8CO中，由余弦定理可得

223

BC2=BD2+CD2-2BD-CDcosD=62+22-2x6x2xl-^\=4S,得BC=4A/L

解法一：在AABC中，由余弦定理可得3c2=AC2+AB2-2AC-ABCOSA，即

48=（46『+.2—2X46XA3X*,得AB=8.

解法二：???BC=AC=4K，所以AB=2ACCOSA=2X46X組=8.

3

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利

用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的關(guān)系，具體解題思路：（1）把平面圖形拆分成若干個三角形，然后在

各個三角形內(nèi)利用正弦定理或余弦定理求解；（2）尋找各個三角形之間的聯(lián)系，使用共同條件，求出結(jié)果.

12.（2021?江蘇高一單元測試）在AABC中，B=一,C=——,AC=246,AC的中點(diǎn)為。，若長度為3的

412

線段PQ（尸在。的左側(cè)）在直線上移動，則AP+OQ的最小值為

、病+2而回+3廂

2

,而+4行730+5710

一T~2

【答案】B

【解析】

先根據(jù)正弦定理求得BC,AB,以BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)對稱性和兩點(diǎn)間的距離公式,

2屈_BC_AB

求得所求的最小值.由正弦定理可得F=7/3=V2+V4=6,AB=30+瓜

224

以BC所在直線為x軸，則A（0,3+百），P（?,0）,2（a+3,0）,。（^）

則AP+OQ表示x軸上的點(diǎn)P與A和（一3+J,的距離和，

利用對稱性，（一等8,檸巨）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E（—帶叵，—檸8），

可得AP+DQ的最小值為4￡=回+3匹

2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查距離和的最小值的求法，考查坐標(biāo)法，屬于中檔題.二、多選題

13.（2021?江蘇高一單元測試）在AA8C中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,8=45°

C.a=6,6=36，8=60°D.a=20,b=30,A=30°

【答案】BC

【解析】

利用正弦定理，結(jié)合三角形個數(shù)的判斷，判斷各選項(xiàng)的正誤.解：對于A,：b=7,c=3,C=30。，

7xl

7

二由正弦定理可得：.DOsinC2無解；

c36

對于B,h=5,c=4,8=45°,

由正弦定理可得：.「csinB4xv2V2,,且c<b,有一解；

h55

對于C,b=36,8=60。，

￡6

，由正弦定理可得：.人^sinB214cco，此時C=30。，有一解；

sinA=------=----告-=1,A=90

b3A/3

對于。，Va=20,*=30,A=30。，

由正弦定理可得：.口bsinA531,且。則力sinA<a</?,

sinB=------=-----=一<I

a204

有兩個可能值，即有兩解，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

易錯點(diǎn)睛：利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)時需要注意：

(1)正弦值的范圍：(0,1)；

(2)利用正弦定理求解出正弦值e(O,l)后，注意結(jié)合“大邊對大角，小邊對小角”對結(jié)果進(jìn)行取舍.

1T

14.(2021?江蘇蘇州市?高一期中)在AAHC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=一,8c邊上的高

4

等于巴，則以下四個結(jié)論正確的是()

3

.—2x/5n.3「\/10c*4anb22a~

A.cosC=----B.sinA=----C.tanA=3D.b-c=—

5103

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)條件可以求得a，C,間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理，余弦定理邊角互化得到其余角或邊的關(guān)

a

系：.03aV2,

sinB=—=—=——

c3c2

??c=---a，

3

2

a2+

a+Cb

由余弦定理知：co^B=~=

2ac2a.也a'2

3

解得22j2i

b=^a，b-c2

--3--a=—af選項(xiàng)D正確;

3IJ3

由正弦定理有：sinB=—sinA=—.則sinA=2叵，選項(xiàng)B正確;

3210

易知c=典匕，B=~,則C＜工nA＞工，

5442

tanA=—3,選項(xiàng)C錯誤.

..nV2Vs2舊耕飾ATpjft

sinCr-------sinB=-----------=——=＞cosC=------，述項(xiàng)A止確；

55255

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正弦定理，余弦定理邊角轉(zhuǎn)化，求得邊角關(guān)系.

cosBb3P

15.（2020?全國）在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知-----=-------,S.=—

cosC1a-cfARcr4

且b=y/3，則（）

]A/3

A.cos6=2B.cosB=—C.a+c=>/3D.a-\-c-2\/3

【答案】AD

【解析】

利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡上*=—^—,結(jié)合sinA/0,可求COS8=L,結(jié)合范圍

cosC2a-c2

3e（0,〃），可求8=（,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理可得

..cosBhsin3

a+c=r2.?==，

“十c八/cosC2a—c2sinA-sinC

整理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

可得sinBcosC+sinCeos8=sin（3+C）=sinA=2sinAcosB,

TA為三角形內(nèi)角，sinAwO,

，COS8=1,故A正確，B錯誤,

2

BG（0,7V）,

??產(chǎn)

S&ABC=,且"=3,

,3731.D1G6

,,---——cicsinID——x6/xcx—=—ac，

42224

解得公=3,

由余弦定理得3=cr+c~—cic=(a+c)~-3ac=(a+c)—9,

解得a+c=2有，故C錯誤，D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

16.(2021?江蘇蘇州市?星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)對于三角形A8C,有如下判斷，其中正確的判斷是()

A.若siMA+si^SVsidC,則三角形ABC是鈍角三角形

B.若A>8,sinA>sinB

C.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的三角形ABC有兩個

D.若三角形ABC為斜三角形，則tanA+tan8+tanC=tanAtanBtanC

【答案】ABD

【解析】

對于A,先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，再利用余弦定理可判斷三角形的角的大??；對于B,由三角形中

大角對大邊，再結(jié)合正弦定理判斷：對于C,利用余弦定理求解即可；對于D,利用三角函數(shù)恒等變換公式判斷

對于A,因?yàn)閟iMA+si/BVsidC,所以由正弦定理得a2+/j2<c2,所以cosC=——<0,所以。為

2ab

鈍角，所以三角形ABC是鈍角三角形，所以A正確；

對于B,因?yàn)锳>B,所以a>b,所以由正弦定理得sinAAsinB,所以B正確；

對于C,由余弦定理得，b1=cr+(T-2izccosfi=64+100-2x8xl0x^=84,所以。=2j^i，所以符

合條件的三角形ABC有一個，所以C錯誤;

tanB+tanC

對于D,因?yàn)閠an(8+C)=

1-tanBtanC

所以tanB+tanC=tan(B+C)(l-tanBtanC)

因?yàn)閠an(3+C)=tan(4—A)=—tanA,

所以tan5+tanC=tan(B+C)(l—tanBtanC)=tanAtanBtanC-tanA,

所以tanA+tanB+tanC=tanAtan3tanC，所以D正確，

故選：ABD

三、填空題

17.（江蘇省張家港市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）己知對任意平面向量而=（x,y）,把而繞其

起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角度得到向量衣=（xcos。-ysin（9,xsine+ycos。）,叫做把點(diǎn)B繞著A沿逆時針方向

旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P.而=0,、國沿順時針方向旋轉(zhuǎn)已得到的向量而=.

【答案】（6,1）

【解析】

先根據(jù)題意分析出。=-看，代入即可求解.而=（1,6卜分順時針方向旋轉(zhuǎn)看，相當(dāng)于逆時針方向旋轉(zhuǎn)

0=--,

6

按照題意：

AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos，)

故答案為：（、回,1）

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：新定義題（創(chuàng)新題）解答的關(guān)鍵：對新定義的正確理解.

57r7i

18.（2021?江蘇高一單元測試）在AABC中，若AB=2，NB=—,ZC=-,則BC=.

124

【答案】娓

【解析】

由內(nèi)角和求得A,然后由正弦定理求得3C.A=7v-B-C=7t----=-

1243f

由正弦定理得也=匹，所以BC=—=*=".

sinCsinAsinCsin^

.4

故答案為：y/6?

19.（2021?江蘇揚(yáng)州市?揚(yáng)州中學(xué)高一月考）己知在△ABC中，。是的中點(diǎn)，5c=4,AD=2貶,

71

NABC=—,則△ABC的面積為.

4

【答案】26+2

【解析】

首先在△A3。中，利用正弦定理求再求sin/BZM,最后根據(jù)面積公式求解.在△A5Z）中，由正弦

BDAD171

定理得,解得sinN8A￡)=—,故NBAD=—

sinNBADsinNABD26

近

sinZBDA=in(ZBZBAD)=sin-cos-cos-sin-=R+

S++4

所以SAAB。=^BDADsinABDA=6+1,由。為BC的中點(diǎn)所以SAABC=2sA謝=2上+2.

故答案為：2百+2

20.（2019?江蘇南通市?高一月考）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A8=2,8C=6,AO=C￡>=4,則四邊形

A3CZ）的面積為.

【答案】86連接8。,圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，A+C=7U,利用余弦定理,

得62+42-2x4x6cosC=22+42-2x4x6cos(^-C),

1?712萬

cosC=—,0<C<zr,.,.C=—,4=—,

233

四邊形面積S=—x6x4xsin60°+—x4x2xsin120°=8V3.

22

故答案為：8省.

21.(2021?江蘇高一單元測試)費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120。

時，費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)對三角形三邊的張角相

等，均為120。.已知△ABC的三個內(nèi)角均小于120。，P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，S.PA+PB+PC=3,則AABC面積的

最大值為.

【答案】巫

4

【解析】

運(yùn)用基本不等式推得B4.PB+以.PC+P8/CW3,再由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式可得面積最大值.解析..目

=(PA+PB+PC)2=F!A2+PB2+PC2+2(PA-PB+PA-PC+PB-PQ>3(PA-PB+

PAPC+PBPC),：.PA-PB+PA-PC+PB-PC<3.：.S^ABC=^PA-PB+PA-PC+

PBPC)sinl20°<—,當(dāng)且僅當(dāng)%=PB=PC時，等號成立.

故答案為：空.

4

【點(diǎn)睛】

(1)在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：①從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；②

從式子結(jié)構(gòu)來選擇；

(2)運(yùn)用基本不等式求最值是求最值問題中常見的思路.

22.(2020?江蘇連云港市?贛榆一中高一月考)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

(Z?+c):(c+fz):(a+/?)=4:5:6,給出下列結(jié)論：

①AABC的邊長滿足28=a+c；

②A從急>0；

④若》+c=8,則△ABC的面積是叵，

4

其中正確的結(jié)論序號是.

【答案】①④

【解析】

7531

由已知可設(shè)。=一左為=二左,。=二左，即可判斷①；由余弦定理可得cosA=一—<0,即可判斷②、③；求得

2222

8=5,c=3后，由三角形面積公式即可判斷④.由已知可設(shè)8+c=4%,c+a=5左,。+8=6%（攵>0）,

753

則a=—%/=—k,c=一Z,

222

73

對于①，a+c=-k—k=5k=2b,故①正確；

22

25,9口49,

>22_2—k2H—k----k2]

對于②，由余弦定理可得cos4=--=幺=/----J~/一=--<0,

2"2x2k2

22

所以A從=/?ccosA<0，故②錯誤；

對于③，由cosA=—,Ae（0,4）可得A=—豐-----------n,故③錯誤；

2''37+5+3

53

對于④，若。+c=8,則一Z+二4=8,解得A=2,所以b=5,c=3,

22

又A=所以=LbcsinA=LX5X3XY^=史叵，故④正確.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理、三角形面積公式及平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中

檔題.

23.（2020?江蘇南通市?啟東中學(xué)高一開學(xué)考試）在RdABC中，已知NC=90。，CDA.AB,垂足為。.若AC：BC

=3：2,則BD：AD的值為.

【答案】4:9

【解析】

（、2

先根據(jù)射影定理得到CB?=BDAB，再整理得到變=（生]，最后求出BO：AD的

AD

值即可.解：因?yàn)镹C=90。，CDJ.AB,

所以AC2=AOA8，CB?=BDAB，

所以翳號霹

因?yàn)?C：BC=3:2,

8/fc4

所以■i-

一----

AVIAc9

故答案為：4：9

【點(diǎn)睛】

本題考查射影定理，是基礎(chǔ)題.

24.（2020?江蘇南京市?金陵中學(xué)高一期末）如圖，三個全等的三角形△ABE，ABCD,VC4E拼成一個等邊

三角形ABC,且△￡＞石廠為等邊三角形，若EF=2AE,則tanNACE的值為.

【答案】2

7

【解析】

首先設(shè)AE=x,NCBD=ZACE=6,ACBD中,CD=AE=x,BD=3x,ZBCE=60-ZAC￡=60-，

利用正弦定理表示tanZACE的值.設(shè)AE=x,EF=2AE=2x,

因?yàn)槿切巍癢/，ABCD，VC4七互為全等三角形，且AABC是等邊三角形，

所以NCBZ）=ZACE=e，CD=AE=x,

B￡>=AF=AE+即=3x，且ZBCE=60-ZACE=60-8,

CDBD

在汨中，根據(jù)正弦定理有

sinNCBDsinZBCD

x_3x

所以sin。sin（60°-6）'

所以3sin。=sin(6(X—。)=-^cose-；sine，

7.V3八sin^3

即Hn一sm6=——cos6，tan8=------=——?

22cos67

故答案為：昱

7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，屬于中檔題型.

25.(2020?江蘇省海州高級中學(xué)高一月考)在8c中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知

asin12--hsin2—=-,且a—h=4,AABC的最大內(nèi)角為120°,則AA5c的面積為.

【答案】今叵

4

【解析】

由三角恒等變換和正弦定理，求得a+8=2c；再根據(jù)題意求得&是最大邊，A是最大的內(nèi)角；利用余弦定理求

BAC

出c、Z?的值，計算△ASC的面積.△ABC中，由asin?—F/?sin~—=—，

222

1-cosB,1-cosAc

所以-------+b?-------=-,

222

由正弦定理得sinA(l-cos8)+sin8(1—cosA)=sinC；

又sinC=sin(A+B),

所以sinA-sinAss8+sin4-cosAsin8=sinAcosB+cosAsin8,

所以sinA+sin5=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sin(A+B)=2sinC,

即sinA+sinB=2sinC；

再由正弦定理，得a+b=2c；

又。一。=4,所以。=c+2,b=c-2；

所以。是最大邊，A是A43c中最大的內(nèi)角，

則4=120。，

222

由余弦定理得a=b+c-2AcosA，

即(c+2)2=(c-2)2+c2-2(c-2)c4--),

2

解得c=5,所以匕=3；

所以AABC的面積為必死=卜。疝4=93乂5*[=苧.

故答案為：比8.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換公式、正弦定理和三角形的面積應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

26.(2020?江蘇淮安市?淮陰中學(xué)高一期末)AA6c的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為。，b,C,其中。=2,

若(sin8+sinC)2-sin2(B+C)=3sinBsinC,則AABC面積的最大值是.

【答案】&

【解析】

根據(jù)卜布5+國11。)2—5抽2(5+。)=35由35皿。，利用正弦定理得到。2+。2_/=bc,再利用余弦定理

7T

求得A=—,然后由余弦定理結(jié)合基本不等式得到be44,再利用三角形面積公式求解.因?yàn)?/p>

3

(sinB+sinC)2-sin2(B+C)=3sinBsinC

所以(He)?-a?=3bc,即以+c2-02=bc，

因?yàn)锳e(0,萬),

冗

所以A=一,

3

由余弦定理得：cc=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc>bc>

所以匕c<4,

所以^AABC=gbesinA<y/3,

故AAHC面積的最大值是百，

故答案為：乖)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

27.（2020?江蘇省祁江中學(xué)高一期中）2019年10月1日，在慶祝新中國成立70周年閱兵中，由我國自主研制的

軍用飛機(jī)和軍用無人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目.飛行員高超的飛行

技術(shù)離不開艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析.一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測站觀測到一架參閱直升飛機(jī)以720千米

/小時的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測到該飛機(jī)在北偏西60°的方向上，1分鐘后第二次觀測到

該飛機(jī)在北偏東75°的方向上，仰角為30'，則直升機(jī)飛行的高度為千米.（結(jié)果保留根號）

地面''、息《二一”

觀測站

【答案】空

5

【解析】

根據(jù)飛行時間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次觀察的方位角及三角形知識可得.如圖,

根據(jù)己知可得ZABF=60°,ZCBF=75°,NCBD=30°,

設(shè)飛行高度為x千米，即CO=x，則8c=Gx

在直角三角形中，NCBF=75°,8C=Jir,所以CF=Jixsin75°，B/=Gxcos75°;

在直角三角形A3產(chǎn)中，同理可求AF=3xcos750；

因?yàn)轱w行速度為72近千米/小時，飛行時間是1分鐘，所以￡0=4。=%也=逑，

605

所以AF+b=JIrsin750+3jccos75°=g^，解得》=友，故答案為氈.

555

【點(diǎn)睛】

本題主要考查以現(xiàn)實(shí)問題為背景的解三角形問題，準(zhǔn)確理解方位角是求解本題的關(guān)鍵，融合了簡單的物理知識,

側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

717tn

28.（2021?江蘇高一單元測試）如圖，在平面四邊形ABC。中，ZBAC=ZADC=—,NABC=—,ZADB=—,

2612

則tanZACD^

【答