γ能譜的數(shù)據(jù)處理

優(yōu)質(zhì)文本優(yōu)質(zhì)文本#/84間還要多。下面給出用峰區(qū)內(nèi)協(xié)方差法編制的尋峰子程序pkfd7。SUBROUTINEPKFD7(TRH”TRH2，TRH3，MB,MF,NP3)LOGICALIWTESTDIMENSIONSPA(256),DIF1(256)COMMON/CURRP/FW,SG，CDL，CDR，STEP，NOSP，NPK，NPS，NPF，NN，NMCOMMON/FPDATA/IP(15)，RP(10)COMMON/PSCB/NCSH，CHPK(15)，CSIGMA(15)，CCDL(15)，CCDR(15)1CSTEP(15)COMMON/ARRAY/SP(21OO),PKL(160)，T(128)FSIG(M1)=.1*SQRT(4.*(SPA(M1+2)+SPA(M1_2))+SPA(M1+1)+SPA(M1_1))IG=MBNSP=25610IF(IG.GE.MF)GOTO700CALLGETCRP(SPA,IGNSP,MF)CALLDIFER1(SPA,DIF1,NSP)NSP]=NSP_3iw=trh2I=3IWTEST=IW.LT.1050DO300L]=I,NPS]IF(DI1(L1).LE.0)GOTO300IF(SPA(L1).LE.0.001)GOTO300IF(SPA(L1+]).LT.SPA(L1))GOTO300IF(DIF1(L11).LE.DIF1(L1)_FSIC(L1))GOTO300DT=TRH1*SQRT(SPA(I1))IF(DIF1(L1).LE.DT)GOTO300DT^TRHJSRTCSPAg丿)IF(DIF1(L1]).LE.DT1)GOTO300GOTO310300CONTINUEGOTO500310IPKSTA=L]ISTOP=NSPIF(.NOT.IWTEST)ISTOP=NSP]320IF(L1+2.GT.ISTOP)GOTO600

330IF(SPA(叫).LE.0.001)GOTO200IF(DIF])(M1).GE.0.0)GOTO390SIGF=0.0IF(M].LT.NSP_2)SIGF=FSIG(M1)IF(DIF1(M^1).GT.DIF1(M1)+SIGF)GOTO390IF(IWTEST)GOTO340IF(DIF1(M1).GT.DIF1(MU1)+SIGF)GOTO390340IF(—DIF1(M1)—SIGF.LE.SQRT(SPA(M1))GOTO200390IF(M1.EQ.ISTOP)GOTO600M=M11+1GOTO330200IPKEND=M]W=IPKEND—IPKSTAIF(W.LE.TRH2)GOTO230IPKST]=IPKSTA+IGIPKEN1=IPKEND+IGGOTO250230I=IPKENDGOTO50250CALLPKFD2(TRH3，TRH2，TRH3，IPKST1,IPKEN1,NP3)GOTO230500IG=500IG=NSP+IG—10GOTO10600IF(IPKSTA.LE.100)GOTO650IG=IPKSTA+IG—10GOTO10650IG=IG+100GOTO10700RETURNEND(5)線性擬合尋峰方法[11]前面討論的匹配濾波器尋峰方法由于有很強(qiáng)的抑制統(tǒng)計(jì)漲落的能力，能夠在很高的本底上探測(cè)弱峰而假峰出現(xiàn)的幾率小。但是匹配濾波器尋峰方法分辨重峰的能力較差。吸取匹配濾波器方法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)用一階導(dǎo)數(shù)法和線性擬合雙重峰的技術(shù)來提高分辨重峰的能力，形成了一種新的尋峰方法，稱為線性擬合尋峰方法。首先分析匹配濾波器法分辨重峰能力較差的原因。圖5-1-12畫出了譜曲線和由式(5.1.17)計(jì)算得出的Rm與m的關(guān)系曲線。譜曲線中有五個(gè)峰，峰1是個(gè)單峰，峰2、峰3和峰4、峰5是兩個(gè)重峰。由圖5-1-12看出，Rm的局部極值只有三個(gè)超過了閾值TRH,因而用匹配濾波器法

只能找到三個(gè)峰，即mp1、mp2、mp4。錯(cuò)誤地把第四和第五兩個(gè)峰當(dāng)成了一個(gè)峰，漏掉了第三個(gè)峰。由Rm的圖形可以看到，在mp3的位置Rm仍然有一個(gè)局部極值。不過此局部極值淹沒在第二個(gè)峰產(chǎn)生的負(fù)尾巴中，mp3處的Rm值沒能超過尋峰閾值。但是mp3處的5Rm超過3閾值TRH。對(duì)于由第四、第五兩個(gè)峰疊加而成的重峰，其特點(diǎn)是峰的寬度較大。為了能夠找到全部的峰位，可以米用下述方法。第一步，對(duì)譜數(shù)據(jù)用匹配濾波器進(jìn)行變換，并求出每點(diǎn)的Rm值。第二步，用一階導(dǎo)數(shù)法在Rm中找出所有的局部極大點(diǎn)。若極大值超過閾值，則該點(diǎn)處至少存在一個(gè)峰。第三步，對(duì)Rm的局部極大值沒有超過閾值，而其凈高度5Rm超過閾值的點(diǎn)進(jìn)行峰凈面積判定。如果在峰寬度之內(nèi)，扣除本底之后的凈面積大于總面積誤差的若干倍，則在此Rm局部極大值所對(duì)應(yīng)的道址存在一個(gè)真峰。第四步，對(duì)每個(gè)已經(jīng)找到的峰進(jìn)行寬度檢驗(yàn)。在Rm曲線中，每個(gè)峰位兩側(cè)負(fù)的極小點(diǎn)間的距離W反映出峰的寬度的大小。當(dāng)W大于某一數(shù)值時(shí)，認(rèn)為該峰是一個(gè)重峰，否則該峰是一個(gè)單峰，這個(gè)臨界寬度選為2.3FWHM比較合適。判定重峰區(qū)之后，下一步的問題是如何確定重峰區(qū)中各個(gè)組分峰的峰位。文獻(xiàn)［12］中介紹了一種線性擬合重疊高斯峰的方法。這種擬合方法不需要迭代初值，即不需要預(yù)先確定峰位，而擬合的結(jié)果中包含有各個(gè)組分峰的準(zhǔn)確峰位。用這種方法可以確定重峰區(qū)中相互靠得很近的組分峰的峰位。在線性擬合尋峰方法中，使用匹配濾波器進(jìn)行譜變換，可以提高探測(cè)弱峰的能力，降低假峰出現(xiàn)的幾率；引入線性擬合重疊高斯峰技術(shù)，可以提高分辨重峰的能力，克服匹配濾波器尋峰方法的弱點(diǎn)。所以線性擬合尋峰方法是一種比較好的尋峰方法。圖5-1-13是線性擬合尋峰方法的程序框圖。圖5-1-12采用匹配濾波器進(jìn)行譜變換之后Rm值與道址關(guān)系曲線

圖5-1-13線性擬合尋峰程序框圖2.幾種常用尋峰方法的比較前面敘述了幾種常用的尋峰方法的基本原理，下面對(duì)這幾種尋峰方法的性能和優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。(1)尋找弱峰的能力由于譜數(shù)據(jù)中存在很大的統(tǒng)計(jì)漲落，在尋峰過程中必然導(dǎo)致兩類誤差。第一類誤差是由于統(tǒng)計(jì)漲落而造成的假峰。設(shè)尋峰過程中出現(xiàn)假峰的概率為P0。第二類誤差是由于很弱的真峰被統(tǒng)計(jì)漲落淹沒，使尋峰程序漏失了真峰。設(shè)P1為尋峰程序能探測(cè)出弱峰的概率。P0、P1與尋峰方

法、尋峰閾值、峰高與本底的比值等因素有關(guān)。對(duì)于好的尋峰方法，應(yīng)用較小的P0和較大的P1,即能探測(cè)出較多的弱峰而假峰出現(xiàn)的幾率較小。同時(shí)也要求在改變尋峰閾值時(shí)P0、P1的變化比較緩慢，以使這種尋峰方法有更大的適用范圍和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［13］中從理論上計(jì)算出假峰出現(xiàn)的概率P0。假定譜數(shù)據(jù)是只包括常數(shù)本底的白噪聲時(shí)Po=Po=Jfds卜drEXP[—2(S2—2tsr+r2)]—gf2(5.1.45)其中，f=trh?[-912何1)2]-2,tViqq=B藝C2，Q=q=B藝CC，C.為濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)，TRH為尋峰11j1221jj—1Jj=—Kj=—K閾值，B為本底譜的高度。在匹配濾波器、廣義二階差分濾波器等三種不同尋峰方法的情況下，由式(5.1.45)計(jì)算出的P0與TRH的關(guān)系如圖5-1-14所示。由圖可以看出，提高尋峰閾值可以有效地降低假峰出現(xiàn)的概率。在相同的尋峰閾值的情況下，使用匹配濾波器尋峰方法假峰出現(xiàn)的概率最小。雖然提高尋峰閾值能夠降低假峰出現(xiàn)的概率，但是必然會(huì)使真峰漏失的概率增大，即探測(cè)出弱峰的概率P1降低。為了評(píng)價(jià)不同尋峰方法探測(cè)弱峰的本領(lǐng)，以實(shí)驗(yàn)的方法做出P1與P0的關(guān)系曲線。實(shí)驗(yàn)是用計(jì)算機(jī)生成的模擬實(shí)驗(yàn)譜進(jìn)行的。模擬譜中各道計(jì)數(shù)=B+XHEXP[-j==B+XHEXP[-j=1(m—m)2pi—2q2]+R(m)<B+XPHEXP[1-2q2(m-m)2pj——]>2q2(5.1.46)其中ym是m道的譜數(shù)據(jù)，B=2500為各道的本底計(jì)數(shù)，是一個(gè)常數(shù)，q=4為高斯峰函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，mpj為峰位，Np為峰的個(gè)數(shù)，H為峰高，R(m)是均值為零、方差為1的符合正態(tài)分布的偽隨機(jī)數(shù)系列。圖5-1-14假峰出現(xiàn)的幾率與尋峰閾值TRH的關(guān)系曲線匹配濾波器尋峰方法；廣義二階差分尋峰方法；矩形濾波器尋峰方法。

以不同的尋峰方法編制成FORTRAN程序，在不同的相對(duì)峰高a=H、帀的情況下對(duì)模擬譜尋峰，計(jì)算出P0和P],其曲線如圖5-1-15所示。wnIL—亠_wnIL—亠_]fLu-11圖5-1-15圖5-1-15不同尋峰方法P1與P0關(guān)系曲線圖5-1-16計(jì)算機(jī)生成的二重峰模擬譜曲線由圖可見，匹配濾波器法具有最好的探測(cè)弱峰的能力，曲線比較平緩。在假峰出現(xiàn)的概率較小的P1較大，仍然能夠找到大部分弱的真峰。一階導(dǎo)數(shù)尋峰方法尋找弱峰的能力最差。（2）分辨重峰的能力能否分辨出相距很近的峰是衡量尋峰方法好壞的另一個(gè)重要指標(biāo)。以計(jì)算機(jī)生成的模擬譜對(duì)各種尋峰方法檢驗(yàn)表明，各種尋峰方法分辨重峰的能力有很大的差別。仍然用公式（5.1.46）生成模擬譜。設(shè)置不同的峰位mp和峰高H可以得到幾組模擬譜數(shù)據(jù)。對(duì)于二重峰（圖5-1-16）峰高比分成1:1、1:0.5、1:0.25、1:0.1（各組分峰的峰高為20000、10000、5000、2000）四組，每組譜數(shù)據(jù)中峰位距離又分成0.5q、Q、1.5Q、2q、2.5Q、3Q、3.5Q、4q、4.5Q、5q（Q=4）共十種情況。三重峰（圖5-1-17）中，組分峰的峰高比分成1:0.5:1、1:0.25:1（組分峰的峰高分別為20000、10000、50000）兩組。每組譜數(shù)據(jù)中峰距又分成q、1.5q、2q、2.5q、3q、3.5q、4q、4.5q、5q（q=4）共九種情況。用模擬譜對(duì)幾種不同的尋峰方法進(jìn)行檢驗(yàn)，各種不同尋峰方法能夠分辨出的最小峰位距離列于表5.6中。由表中的數(shù)據(jù)可以看出，線性擬合尋峰方法有圖5-1-17計(jì)算機(jī)生成的三重峰模擬譜曲線由上面的討論可知，不同的尋峰方法各有各自的特點(diǎn)。匹配濾波器法尋找弱峰的能力最強(qiáng),

假峰出現(xiàn)的概率小，適于弱放射性核素的分析。而線性擬合法具有最好的的分辨重峰的能力，適用于通用的Y譜分析系統(tǒng)中。矩形濾波器法和一階導(dǎo)數(shù)法雖然尋峰能力較差，但計(jì)算方法簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快，適用于運(yùn)算速度比較慢的微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)。表5.6幾種常用的尋峰方法分辨重峰能力的比較能分辨的最、小峰距方法、二重峰一重峰峰高比峰高比1:11:0.51:0.251:0.11:0.5:11:0.25:1線性擬合法O1.5Q1.5Q3.5Q3Q3.5Q協(xié)方差法1.5Q2.5Q2.5Q3.5Q3.5Q4Q匹配濾波器法2.5Q2.5Q3.5Q4Q4Q矩形濾波器法2.5Q3Q3.5Q3.5Q4.5Q一階導(dǎo)數(shù)法4Q4.5Q4.5Q45Q三、本底扣除在能譜曲線中，我們感興趣的峰常常是疊加在很高的本底譜上。在譜定量分析的過程中，為了計(jì)算某種能量射線的強(qiáng)度需要求出峰的凈面積為了計(jì)算峰的凈面積，必需扣除峰區(qū)內(nèi)的本底。這里我們討論的本底不是指被測(cè)樣品之外的其它放射源的干擾，而是指由被測(cè)射線與探測(cè)器（或其周圍介質(zhì)）通過不同的物理過程產(chǎn)生的或被測(cè)樣品在射線的作用下通過不同的激發(fā)過程而造成的干擾。例如在Y能譜分析中，一般利用光電峰的面積來計(jì)算核素的活度。但是光電峰常常疊加在更高能量的Y射線的康普頓電子譜上。各種更高能量的Y射線在探測(cè)器中產(chǎn)生的康普頓電子譜疊加在一起構(gòu)成了本底譜。又如在帶電粒子激發(fā)的X射線測(cè)量中，我們測(cè)量的是入射粒子在樣品中激發(fā)出的特征X射線的能量和強(qiáng)度，但是入射粒子產(chǎn)生的軔致輻射、樣品中二次電子的軔致輻射、被測(cè)樣品中由核激發(fā)態(tài)產(chǎn)生的Y射線引起的康普頓散射等等都能產(chǎn)生很強(qiáng)的本底?？鄢镜椎姆椒煞譃槎N：一種是設(shè)法求出本底譜在整個(gè)測(cè)量能區(qū)中的分布模式，從整個(gè)譜數(shù)據(jù)中逐道減去本底在該道的計(jì)數(shù)。得到不包含本底的譜數(shù)據(jù)，這種方法稱為全譜本底扣除法。另一種方法是在包含有我們感興趣的峰的一個(gè)很窄的譜段中,認(rèn)為本底譜是按直線或多項(xiàng)式規(guī)律分布，在這個(gè)譜段中從譜數(shù)據(jù)中逐道減去由直線或多項(xiàng)式分布模擬的本底數(shù)據(jù)。這種方法稱為峰區(qū)本底扣除法。1.全譜本底扣除法使用全譜本底扣除法扣除本底必須首先求出在整個(gè)譜的范圍內(nèi)各道的本底值，然后逐道由譜數(shù)據(jù)中減去各道的本底計(jì)數(shù)，才能得到扣除本底之后各道譜數(shù)據(jù)。在某些物理測(cè)量中，可以寫出本底譜分布的解析表達(dá)式。例如在電子激發(fā)的X射線分析中，入射電子在靶中與原子核的庫(kù)倫場(chǎng)作用時(shí)產(chǎn)生的軔致輻射是造成本底的主要因素。軔致輻射譜是隨能量變化的連續(xù)譜，可以寫出軔致輻射譜的解析表達(dá)式。但是在很多物理測(cè)量中要找到一個(gè)能夠在全譜范圍內(nèi)描述本底分布的

解析表達(dá)式是很困難的。在這種情況下，可以設(shè)法從所測(cè)得的能譜數(shù)據(jù)中找出本底分布的規(guī)律。其基本思想是在譜數(shù)據(jù)中找出位于各個(gè)峰區(qū)之外并且能夠反映出本底大小的足夠多的數(shù)據(jù)點(diǎn)。以一定的方法把這些數(shù)據(jù)點(diǎn)連接起來形成本底譜。然后再由譜數(shù)據(jù)中減去本底譜得到扣除本底之后的譜數(shù)據(jù)。下面以用Ge（Li）探測(cè)器測(cè)得的Y譜為例來討論這種本底扣除方法[14]用Ge（Li）探測(cè)器測(cè)量Y能譜時(shí)，形成本底譜的因素有兩個(gè)：第一是高能Y光子在探測(cè)器中的康普頓散射產(chǎn)生的康普頓譜邊緣和平緩的康普頓坪。另一個(gè)因素是Y光子的能量在探測(cè)器靈敏感區(qū)中全部被吸收之前，由于小角散射產(chǎn)生能量損失，致使全能峰在低能部分產(chǎn)生一個(gè)拖長(zhǎng)的尾部。我們把這部分能量吸收不完全的光子造成的低能尾部也看成是峰下本底的一部分，在本底扣除的過程中對(duì)它進(jìn)行校正。在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)低能尾部事件在每道計(jì)數(shù)中所占的比例是該峰內(nèi)比這一道高的全部峰凈計(jì)數(shù)的函數(shù)。因此，低能尾部事件造成的本底的分布函數(shù)應(yīng)是峰凈計(jì)數(shù)分布（峰區(qū)內(nèi)譜曲線減去康普頓電子譜）的積分函數(shù)。峰區(qū)內(nèi)的本底分布可以看成是連續(xù)的康普頓電子譜（可以近似地用直線來模擬）和峰凈計(jì)數(shù)的積分函數(shù)兩部分疊加而成的連續(xù)曲線。圖5-1-19用插入新的極小值的方法修正本底譜圖5-1-19用插入新的極小值的方法修正本底譜在整個(gè)譜區(qū)內(nèi)本底分布的具體計(jì)算步驟如下。①對(duì)譜數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。②把整個(gè)譜分割成若干個(gè)相鄰的譜段，每個(gè)譜段的寬度取為整個(gè)譜中峰的平均FWHM的三倍或五倍。在每個(gè)譜段中找出譜數(shù)據(jù)的最小值，并把最小值所對(duì)應(yīng)的道址記錄下來。為了不丟失能代表本底譜的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這個(gè)步驟可以用不同的譜段寬度重復(fù)地進(jìn)行二次。第一次譜段寬度為3FWHM，第二次為5FWHM。③剔除重峰區(qū)中兩個(gè)峰之間的谷點(diǎn)。當(dāng)很多個(gè)峰重疊在一起時(shí)，尤其是重峰區(qū)較寬時(shí)，可能會(huì)把重峰區(qū)中峰谷誤認(rèn)為是本底點(diǎn)（圖5-1-18）。因此，在第二步中找出的各最小點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離小于2FWHM時(shí)，把相鄰的兩個(gè)點(diǎn)中計(jì)數(shù)高的那一點(diǎn)作為重峰區(qū)中的峰谷予以以剔除。④把找到的最小點(diǎn)用直線聯(lián)成本底曲線。如果在任何一個(gè)0.5FWHM的區(qū)間內(nèi)，直線段上的各個(gè)點(diǎn)都高于譜數(shù)據(jù)，則認(rèn)為這個(gè)線段不符合真正的本底譜，必需加以修正。如圖5-1-19所示，A、B、C三個(gè)點(diǎn)是第二步中找到的最小點(diǎn)，虛線是由直線連接而成的本底譜曲線。在BC區(qū)間內(nèi)（BC>0.5FWHM）,由直線連接而成的本底譜中的各點(diǎn)都比譜數(shù)據(jù)大，則在本底譜與譜數(shù)據(jù)之間相差最大的點(diǎn)D插入一個(gè)新的最小值。用直線連成修正之后的本底譜如實(shí)線所示。進(jìn)行上述修正可以使由直線連成的本底譜更接近于真實(shí)的本底譜。⑤在每個(gè)區(qū)間內(nèi)由譜數(shù)據(jù)和直線本底之差計(jì)算積分函數(shù)，把積分函數(shù)規(guī)一化，使它和直線本底疊加之后，在區(qū)間的兩個(gè)邊界上（即上兩步驟中找出的最小點(diǎn)）本底數(shù)值維持不變。然后再一次采用第四步驟中的方法對(duì)本底譜進(jìn)行修正。⑥最后對(duì)由上述步驟計(jì)算出的本底譜數(shù)據(jù)進(jìn)

行平滑處理，就得到了比較符合實(shí)際情況的本底數(shù)據(jù)。上面討論了在整個(gè)譜區(qū)的范圍內(nèi)計(jì)算本底分布的方法。求得每道的本底數(shù)據(jù)之后，逐道地由譜數(shù)據(jù)減去本底數(shù)據(jù)，就得到了扣除本底之后的譜數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［14］中指出，采用上述方法扣除本底之后再進(jìn)行譜的定量分析，可以大大地提高分析精度，還可以更多地分析出譜中存在的弱成分。2.在峰區(qū)內(nèi)扣除本底的方法當(dāng)探測(cè)器的能量分辨率比較高，能譜曲線中峰的寬度比較窄時(shí)，最常用的方法是峰區(qū)內(nèi)扣除本底的方法。首先在峰位的兩側(cè)找出峰區(qū)的左、右邊界道址mL和mRO由于峰區(qū)的寬度很窄，可以用通過mL道和mR道兩點(diǎn)譜數(shù)據(jù)的一條直線來模擬峰區(qū)內(nèi)本底的分布(圖5-1-20中的虛線)描述本底分布的另一種方法是在峰區(qū)外每側(cè)各取若干點(diǎn)，用多項(xiàng)式對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)擬合，用擬合所得的多項(xiàng)式來模擬峰區(qū)內(nèi)本底的分布由譜數(shù)據(jù)逐道地減去用直線或多項(xiàng)式模擬的本底數(shù)據(jù)就得到扣除本底之后的譜數(shù)據(jù)。易而易見，在探測(cè)器能量分辨率很差、峰很寬時(shí)(例如用NaI探測(cè)器測(cè)得的丫譜)，用這種方法將會(huì)產(chǎn)生很大的誤差。使用峰區(qū)內(nèi)扣除本底的方法扣除本底時(shí)，若要獲得較好的精度，關(guān)鍵在于峰區(qū)左、右邊界道址的選擇。若峰區(qū)選得過窄，則用來模擬本底的直線偏高，扣除本底之后的譜數(shù)據(jù)偏小。當(dāng)峰區(qū)選得過寬時(shí)，峰區(qū)的左右邊界道可能落在鄰近的另一個(gè)峰的尾部上，也會(huì)造成本底扣除的誤差。圖5-1-20用直線來模擬峰區(qū)的本底分布下面我們討論確定峰區(qū)左、右邊界道的方法。對(duì)于一個(gè)單峰區(qū)，當(dāng)峰形在峰位兩側(cè)比較對(duì)稱時(shí)，可以由峰的FWHM計(jì)算峰區(qū)的左、右邊界道址。峰區(qū)的寬度取為3FWHNM,FWHNM的值可以根據(jù)峰位mp由測(cè)量系統(tǒng)的FWHNM刻度公式計(jì)算。由于峰形對(duì)稱，左、右邊界道和峰位的距離都是1.5FWHNM。m=INT(m—1.5FWHM+0.5)(5.1.47)LPmr=INT(m+1.5FWHM+0.5)(5.1.48)式中mp是峰位，符號(hào)INT的含義是取整數(shù)。當(dāng)峰形函數(shù)在峰位兩側(cè)不對(duì)稱時(shí)，峰位不在峰區(qū)的中點(diǎn)，需要根據(jù)峰形函數(shù)分別計(jì)算出左、右邊界道址。例如，對(duì)于存在有低能尾部的峰，其峰形函數(shù)可用式(5.1.490)來描述(參見圖5-1-21)。(5.1.49)y=HEXP[—(m—m)2/2q2],m三m—Jm(5.1.49)y=HEXP[J(2m—2m+J)/2q2],m

式中H為峰高，mp為峰位，b是高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，J為接點(diǎn)的道址和峰位之間的距離。在峰位的左側(cè)，有一個(gè)接點(diǎn)，其道址為mp—J。在接點(diǎn)的右側(cè)，峰函數(shù)是高斯函數(shù)。在接點(diǎn)的左側(cè)，峰函數(shù)用指數(shù)曲線來描述。這時(shí)峰區(qū)的左、右邊界道址為m=INT(m—1.12FWHM2/J—0.5J+0.5)(5.1.50)LPm=INT(m+1.5FWHM+0.5)(5.1.51)Rp圖5-1-21帶有低能尾部的峰函數(shù)的圖形另外一種確定峰區(qū)邊界的方法是用峰區(qū)外兩側(cè)譜數(shù)據(jù)中的平穩(wěn)點(diǎn)。這是一種根據(jù)譜的實(shí)際形狀來確定峰區(qū)邊界的方法。其基本思想是由峰位向兩側(cè)外推，當(dāng)譜形變得趨于平緩時(shí)，即認(rèn)為找到了相應(yīng)的峰區(qū)邊界道址。具體的計(jì)算公式見式(5.1.27)—(5.1.33)。計(jì)算峰區(qū)邊界點(diǎn)的第三種方法是用數(shù)字濾波器處理譜數(shù)據(jù)，由濾波之后的譜數(shù)據(jù)中的特征點(diǎn)來決定峰區(qū)的邊界道址。如圖5-1-6所示。經(jīng)過匹配濾波器濾波之后的譜數(shù)據(jù)在峰位兩側(cè)有兩個(gè)負(fù)的極小值?？梢园堰@兩個(gè)極小值所對(duì)應(yīng)的道址作為峰區(qū)的邊界道址。必需指出，上面討論的確定峰區(qū)邊界道址的方法都只適用于單峰區(qū)，確定重峰區(qū)邊界道址的方法將在以后進(jìn)行討論。在峰區(qū)內(nèi)扣除本底方法中，產(chǎn)生誤差的另一個(gè)原因是由于在邊界道中計(jì)數(shù)較低、統(tǒng)計(jì)漲落較大，從而造成了通過峰區(qū)邊界點(diǎn)的本底直線的不確定性。為了減小這種誤差，左右邊界道中的譜數(shù)據(jù)常常采用相鄰幾道譜數(shù)據(jù)的平均值，以減小統(tǒng)計(jì)漲落的影響。上面討論了扣除本底的二種方法：全譜本底扣除法和峰區(qū)內(nèi)本底扣除法。一般說來，這兩種方法都只適合于由Ge(Li)、Si(Li)等能量分辨率較高的探測(cè)得的能譜。在譜的定量分析中，首先用全譜本底扣除法扣除本底，然后再進(jìn)行尋峰、重峰分析等操作。這樣可以提高譜定量分析的精度，提高測(cè)量系統(tǒng)對(duì)弱成分的靈敏感度。但是這種方法的計(jì)算工作量比較大。在探測(cè)器的能量分辨率比較高，峰區(qū)的寬度不大時(shí)，使用峰區(qū)內(nèi)本底扣除法也能得到比較好的精度。因而峰區(qū)內(nèi)本底扣除法是目前Ge(Li)、Si(Li)探測(cè)器測(cè)譜定量分析中最廣泛使用的一種方法。四、直接法計(jì)算峰的凈面積峰凈面積的計(jì)算是能譜定量分析的主要內(nèi)容之一。在峰區(qū)內(nèi)譜曲線和橫軸之間所包圍的面積稱為峰的總面積(At);本底曲線之下所包圍的面積稱為本底面積(AB);峰的總面積減去本底面積就是峰的凈面積(An)o峰的凈面積和探測(cè)器所接收的某種能量的射線的強(qiáng)度成正比。

計(jì)算峰凈面積的方法有二種：第一種方法稱為直接法。在直接法中，首先確定峰區(qū)的左、右邊界道址mL、mR，在mL、mR范圍內(nèi)求出譜數(shù)據(jù)的各道計(jì)數(shù)和，得到峰的總面積。根據(jù)本底分布曲線求出峰區(qū)內(nèi)各道本底的計(jì)數(shù)和，得到本底面積。由峰總面積減去本底的計(jì)數(shù)和，得到本底面積。由峰總面積減去本底面積就得到峰的凈面積。計(jì)算峰凈面積的第二種方法是函數(shù)擬合法。在擬合法中，通常用一個(gè)角解析表達(dá)式即譜函數(shù)來描述峰區(qū)內(nèi)譜的分布。譜函數(shù)可以看成是若干個(gè)峰函數(shù)和本底函數(shù)的疊加。在峰區(qū)范圍內(nèi)，用最小二乘法以譜函數(shù)擬合譜數(shù)據(jù)，可以求出峰函數(shù)中的各個(gè)參數(shù)。在峰區(qū)范圍內(nèi)計(jì)算峰函數(shù)的定積分可以求出峰的凈面積。圖5-1-22峰的凈面積和本底面積直接法比較簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快。在峰的高度比較大，能量分辨率比較高，峰區(qū)比較窄的情況下能夠得到比較滿意的計(jì)算精度。但是一般說來，直接法只適于單峰的凈面積計(jì)算。在重峰區(qū)內(nèi)不能正確地計(jì)算出各個(gè)組分峰的凈面積。函數(shù)擬合法的計(jì)算過程比較復(fù)雜，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算精度高。在峰高比較小，本底比較大的情況下也能得到比較滿意的計(jì)算結(jié)果。函數(shù)擬合法不僅適合于單峰區(qū)，也適合于雙峰，特別是在重峰區(qū)內(nèi)能夠計(jì)算出幾個(gè)相互重疊的組分峰各自的凈面積。文獻(xiàn)［15］中介紹了很多種計(jì)算峰凈面積的方法。幾種方法的主要區(qū)別在于如何選擇邊界道址、如何扣除本底、各道計(jì)數(shù)相加時(shí)賦予各道計(jì)數(shù)相等的權(quán)重還是按計(jì)數(shù)大小而賦以不同的權(quán)重。這幾種方法各有特點(diǎn)，下面進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。1.全峰面積法（TPA法）在全峰面積法中，峰區(qū)邊界道址選在峰本身的貢獻(xiàn)很小而邊界道中的計(jì)數(shù)基本上反映本底計(jì)數(shù)的地方。當(dāng)譜的能量分辨率較高、峰區(qū)較窄時(shí)，一般以通過譜數(shù)據(jù)中峰區(qū)邊界點(diǎn)的直線來描述本底的分布。由峰區(qū)內(nèi)譜數(shù)據(jù)各道的計(jì)數(shù)和減去梯形本底面積得到峰的凈面積片一一厶圖5-1-23峰外本底扣除法計(jì)算凈面積

AN=ATAN=AT-AB-(ymL+y)(m-m+1)/2mRRL(5.1.52)式中，mL、mR是峰區(qū)的左、右邊界道址，y、y是mL、mR道的譜數(shù)據(jù)。由式(5.1.52)可LRmmLR以看出，對(duì)于一個(gè)疊加在高本底上的弱峰，凈面積AN的相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差很大。為了減少峰區(qū)邊界道計(jì)數(shù)y、y的統(tǒng)計(jì)漲落對(duì)峰凈面積計(jì)算的影響，可以把峰邊界道外側(cè)若干道的計(jì)數(shù)平均起LmR來作為邊界道計(jì)數(shù)來計(jì)算本底。如圖5-1-23所示，設(shè)在峰區(qū)左側(cè)取nL點(diǎn)，峰區(qū)右側(cè)取nR點(diǎn)。峰左側(cè)本底各道的計(jì)數(shù)和為ABL(5.1.53)ABL(5.1.53)m=+任峰右側(cè)各道的計(jì)數(shù)和為ABRm=mABRm=m+1Ry(5.1.54)則峰的凈面積為A=(2則峰的凈面積為A=(2Ry)—(-bl+-BR)(m—m+1)/2NmnnRLm=LR=(送y)—(紅+仏)ynn2m=LR(5.1.55)若取n=n=n，則有LRA=(送y)—N(A+A)Nm2nBLBRm=根據(jù)誤差傳遞公式可以計(jì)算出峰凈面積的統(tǒng)計(jì)方差(5.1.56)Q2AN—m、‘AL)2(Q2AN—m、‘AL)2(%+2n2LnR(5.1.57)當(dāng)nL=nR=n'N=m一m+1時(shí),

RLQ2AN=(送y)—(弓)2(A2BLm=mL+ABR)(5.1.58)由于全峰面積法計(jì)算區(qū)內(nèi)整個(gè)峰的面積，因此當(dāng)因測(cè)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率改變而引起峰的形狀的改變時(shí)或者在整個(gè)譜區(qū)內(nèi)各個(gè)峰的寬度不同時(shí)，都能夠得到可靠的計(jì)算結(jié)果。但是當(dāng)峰區(qū)很寬時(shí),峰區(qū)內(nèi)的本底分布不能用直線模擬，否則將產(chǎn)生比較大的誤差。對(duì)于Ge(Li)、Si(Li)等探測(cè)器來說，由于能量分辨率較高，一般峰區(qū)很窄。因此，全峰面積法是Ge(Li)、Si(Li)譜儀中使用最廣泛的計(jì)算峰凈面積的方法。2.Covel1法計(jì)算峰的凈面積在Covell方法中，峰區(qū)的邊界道不是選在峰位兩側(cè)譜曲線變化的平穩(wěn)點(diǎn)上，而是選在峰位兩側(cè)譜曲線斜率較大的點(diǎn)上(圖5-1-24)。以連接兩個(gè)邊界點(diǎn)的直線描述本底的分布，由峰區(qū)的總面積減去本底面積得出峰凈面積。設(shè)在峰位mp兩側(cè)各取N點(diǎn)計(jì)算出峰區(qū)邊界道址m=m—NLPm=m+NRp(5.1.59)(5.1.60)則凈面積為AL=(mRym)-(N+新mT+ymR)m=mL式中，y、y分別為峰邊界道址mT、LmRL凈面積的統(tǒng)計(jì)方差為q2=A+(N+1)(N-i)(yANN'22mR處的譜數(shù)據(jù)mL+ymR)(5.1.61)(5.1.62)圖5-1-24Covell方法計(jì)算峰的凈面積用Covell方法求得的峰凈面積比用全峰面積法計(jì)算的峰凈面積小。顯然，用Covell法計(jì)算出的Y譜光電峰的凈面積不等于在探測(cè)器內(nèi)產(chǎn)生光電作用的光子數(shù),但是這個(gè)凈面積與產(chǎn)生光電作用的光子數(shù)成正比。因此，如果譜儀系統(tǒng)在進(jìn)行效率刻度的時(shí)和譜定量分析都同樣地采用Covell法計(jì)算峰的凈面積，仍然可以正確地計(jì)算出Y射線的強(qiáng)度。Covell方法的優(yōu)點(diǎn)有二個(gè)：第一，由于峰區(qū)比較窄，本底分布可以更好地用直線模擬。特別是當(dāng)峰座落在康譜頓邊緣等非直線本底上的情況下，在較窄的峰區(qū)寬度內(nèi)用直線方程模擬本底的分布也能得到較好的計(jì)算精度。因此，Covell法不僅適用于由Ge(Li)、Si(Li)等探測(cè)器獲得的譜中峰凈面積的計(jì)算，而且也適用于由NaI探測(cè)器獲得的Y譜中峰凈面積的計(jì)算。第二，由于邊界道址中的計(jì)數(shù)y、y較大，其相對(duì)統(tǒng)計(jì)漲落較小，因而提高了本底扣除的精度，減小了LmR峰凈面積計(jì)算的誤差。在Covell方法中，峰邊界道的選擇對(duì)峰凈面積計(jì)算精度有很大的影響。從理論上說，存在著一個(gè)最佳的N值使得峰凈面積的相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差Qan/an最小。當(dāng)N取得比較大時(shí)，Covell法接近全峰面積法。當(dāng)N取得過小時(shí)，計(jì)算出的凈面積太小，其誤差也大。另一方面當(dāng)多道分析器系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率變化時(shí)，常常引起峰的形狀發(fā)生變化。一般當(dāng)計(jì)數(shù)率增高時(shí)，能量分辨率將顯著變壞，峰展寬，峰高降低。在Covell法中，由于邊界道選在峰兩側(cè)斜率較大的點(diǎn)上，峰形狀的改變將引起凈面積數(shù)值的變化，使得峰凈面積的計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率有關(guān)。在計(jì)數(shù)率變化時(shí)，峰凈面積的計(jì)算產(chǎn)生附加的誤差。在短半衰期核素的能譜測(cè)量中，注意到這一點(diǎn)是很重要的?？傊?，Covell法與全峰面積法相比各有優(yōu)缺點(diǎn)。前者對(duì)本底的形狀不敏感，適用于不同探測(cè)器測(cè)得的譜，但易受峰形變化的影響。全峰面積法正好相反，對(duì)本底的形狀比較敏感，但受峰形變化的影響較小。全峰面積法多用的能量分辨率較高的譜的定量分析中。3.Wason方法計(jì)算峰的凈面積Wason方法把全峰面積法和Covell方法結(jié)合起來。和全峰面積法一樣，以峰兩側(cè)的平穩(wěn)點(diǎn)之間聯(lián)成一條直線來模擬本底的分布，而峰區(qū)的左、右邊界道址的選擇方法和Covell法相同(圖5-1-25)。設(shè)決定本底分布的峰兩側(cè)平穩(wěn)點(diǎn)為mB、mB，峰區(qū)邊界點(diǎn)為mL、mR。圖5-1-25中陰blbrLR影部分所表示的峰凈面積為An=(送y)-(N+2)(y+y)(5.1.63)Nm2mBLmBRm=式中，y、y分別為本底邊界點(diǎn)mB、mB道中的譜計(jì)數(shù)。凈面積的統(tǒng)計(jì)方差為BLmBRBLBRQ2=(送y)-(N+￡)2(A+A)(5.1.64)ANm^^BLBR''m=在Wason方法中，峰區(qū)內(nèi)道數(shù)較少，因而本底分布的形狀對(duì)凈面積計(jì)算的影響較小。又由于本底取得較低，提高了峰凈面積和本底面積的比值。和Covell方法一樣，在Wason方法中由于峰邊界道選在峰兩側(cè)斜率較大的點(diǎn)上，峰凈面積對(duì)峰形的變化很敏感。當(dāng)由于測(cè)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率的變化或其它原因引起峰形狀有較大的變化時(shí)，峰凈面積的計(jì)算將會(huì)產(chǎn)生較大的附加誤差。圖5-1-25Wason法計(jì)算凈面積4.Quittner方法計(jì)算峰的凈面積在前面討論的三種計(jì)算峰凈面積的方法中都是用直線來模擬峰區(qū)內(nèi)本底的分布。在計(jì)算疊加在高本底上的弱峰時(shí)，這種模擬將產(chǎn)生很大的誤差。在Quittner方法中用三次多項(xiàng)式曲線來描述峰區(qū)內(nèi)本底的分布。首先在峰外兩側(cè)選取兩個(gè)平穩(wěn)的譜段進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合(圖5-1-26中峰兩側(cè)的實(shí)線)。在這二個(gè)似合譜段中選取兩個(gè)參考點(diǎn)mB、mB，其高度分別為y、y，LRmBLmBR擬合的二次曲線在參考點(diǎn)處的斜率分別是qL和qR。假定峰區(qū)內(nèi)的本底分布符合三次多項(xiàng)式，經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出第m道的本底TOC\o"1-5"\h\zd(、「―q,—2q3(y—y)*、B=y+q(m—m)+[RL+IbrIbl](m—m)2(5.1.65)mmBLLBLl+l(l+l)2BL(5.1.65)LRvLR7q+q3(y—y)+[-^L乩+IbrmB^](m—m)3(l+l)2(l+l)3BL'lr，'lr7式中B是第m道的本底值，lL、lR分別是峰兩側(cè)參考點(diǎn)和峰位間的距離。mlR峰的凈面積為AN=(5r(y+B)(5.1.66)Nm=在峰的凈面積和總面積相比很小的情況下，用Quittner方法計(jì)算峰凈面積要比Covell法精確。此外，由于用曲線來模擬峰區(qū)內(nèi)本底的分布，可以允許峰區(qū)寬度比較大。因而這種方法也可以用

于NaI譜中峰凈面積的計(jì)算。圖5-1-26Quitter法計(jì)算峰的凈面積Quittner方法的主要限制是在峰的兩側(cè)必需有較寬的平緩譜段，也就是該峰與鄰近峰的距離要比較遠(yuǎn)。在幾個(gè)峰之間的距離比較近時(shí)，用這種方法計(jì)算峰凈面積將產(chǎn)生較大的誤差。五、復(fù)雜譜的解析前面介紹了計(jì)算單峰凈面積的幾種方法。當(dāng)分析由多種放射性核素組成的混合樣品譜時(shí)，能譜曲線的形狀比較復(fù)雜。特別是相距很近的峰疊加在一起，形成了重峰。用計(jì)算單峰凈面積的方法不能計(jì)算出重峰中各個(gè)組分峰的凈面積。這時(shí)必須對(duì)復(fù)雜譜進(jìn)行解析才能求出各個(gè)組分峰的凈面積，從而計(jì)算出各種射線的能量和強(qiáng)度，確定混合樣品中各種核素的含量。復(fù)雜譜中的各道計(jì)數(shù)可以看成是各種能量的射線在該道產(chǎn)生的計(jì)數(shù)的線性疊加。由這個(gè)原理出發(fā)，形成了幾種不同的解譜方法。解譜的方法可以分為兩類：一類使用標(biāo)準(zhǔn)譜，包括剝譜法、逆矩陣法和最小二乘法解譜等;另一類不使用標(biāo)準(zhǔn)譜，常用的是函數(shù)擬合法。用標(biāo)準(zhǔn)譜的方法解譜時(shí)，首先必須知道被測(cè)樣品中存在著哪幾種核素，分別單獨(dú)測(cè)出每種核素的標(biāo)準(zhǔn)譜?？梢哉J(rèn)為被測(cè)樣品譜是各標(biāo)準(zhǔn)譜的線性疊加。計(jì)算出被測(cè)混合樣品中各種核素強(qiáng)度的比例關(guān)系。為了保證線性疊加的假定成立，標(biāo)準(zhǔn)譜和被測(cè)混合樣品譜必須在同樣的條件下測(cè)量。譜儀系統(tǒng)的能量分辨率、探測(cè)效率、能量刻度等必須保持不變，尤其是不應(yīng)隨計(jì)數(shù)率的不同產(chǎn)生顯著的變化。由于這些因素的限制，標(biāo)準(zhǔn)譜方法解譜大多用于不太復(fù)雜的譜的解析。使用標(biāo)準(zhǔn)譜解譜的方法讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn)[15]由Ge(Li)、Si(Li)等能量分辨率比較高的探測(cè)器測(cè)得的、X射線能譜的解析通常使用函數(shù)擬合法。在這種方法中，首先把譜劃分成若干個(gè)譜區(qū)間，每個(gè)譜區(qū)間包含若干個(gè)有意義的峰。在每個(gè)譜區(qū)間中寫出表征譜形的譜函數(shù)解板表達(dá)式。由測(cè)得的譜數(shù)據(jù)計(jì)算出譜函數(shù)中的各個(gè)參數(shù)。由這些參數(shù)可以計(jì)算出這個(gè)譜區(qū)間內(nèi)每個(gè)組分峰的凈面積，從而求出樣品中各核素的強(qiáng)度。函數(shù)擬合法解譜的最大優(yōu)點(diǎn)是不必預(yù)先知道樣品中含有的核素的種類。此外，在測(cè)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率等測(cè)量條件變化使譜形有較大的改變的情況下，這種方法仍然能夠達(dá)到比較滿意的精度。既不需要標(biāo)準(zhǔn)譜，也提高了譜數(shù)據(jù)處理的自動(dòng)化程度。這些優(yōu)點(diǎn)使函數(shù)擬合法解譜得到了廣泛的應(yīng)用。

最小二乘法函數(shù)擬合法解譜的基本原理在譜曲線的每個(gè)譜區(qū)間中包含有若干個(gè)疊加在本底上的峰。在不考慮譜數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)漲落時(shí)，在某一個(gè)譜區(qū)間中譜曲線可以用函數(shù)yi=F(i,P)，(i=0,1，……，n-1)(5.1.67)來描述。n為該譜區(qū)間內(nèi)譜數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，yi為不考慮統(tǒng)計(jì)漲落時(shí)譜區(qū)間內(nèi)第i點(diǎn)的譜數(shù)據(jù)，P=(P1，P2，…，PK)為待定參數(shù)向量，K個(gè)參數(shù)決定了譜曲線的形狀。這些參數(shù)包括本底函數(shù)中的本底參數(shù)和峰函數(shù)中的峰形參數(shù)。例如，我們假定本底函數(shù)用二次多項(xiàng)式描述，峰函數(shù)用高斯函數(shù)描述，則譜函數(shù)可以寫為(5.1.68)=F(i，P)=P1+P2i+P3i2(5.1.68)嘰EXP—(i?-P3j+2)2/2+3]j=1(i=0，1，，n—1)式中j為該譜區(qū)間內(nèi)峰的序號(hào)：Np為譜區(qū)間內(nèi)峰的個(gè)數(shù)；P1，P2,P3是描述本底曲線形狀的本底參數(shù)；P3+1為第j個(gè)峰的峰高；P3j+2為第j個(gè)峰在該區(qū)間內(nèi)的位置；P3j+3為第j個(gè)峰高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，代表了第j個(gè)峰的寬度。寫出譜函數(shù)表達(dá)式之后，把譜函數(shù)和測(cè)得的譜數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以求出K個(gè)待定參數(shù)。在最小二乘法意義上的函數(shù)擬合就是求解待定參數(shù)P,使?jié)M足各點(diǎn)譜數(shù)據(jù)yi和譜函數(shù)的殘差平方和為最小，即：Q=y.-F(i,P)]2(5.1.69)iii=0為最小。Q稱為目標(biāo)函數(shù)：Wi為第i點(diǎn)的權(quán)重因子，在初次擬合時(shí)可取Wi=1/yi；y.為測(cè)得的譜在譜區(qū)間中的第i個(gè)數(shù)據(jù)。為了使Q達(dá)到極小，各參數(shù)應(yīng)滿足如下的方程組：電麗1(5.1.70)<(5.1.70)2即殘差平方和對(duì)各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是零，這個(gè)方程組稱為正規(guī)方程。求解正規(guī)方程，可以求出K個(gè)待定參數(shù)，這樣就求出了譜區(qū)間內(nèi)各個(gè)峰的峰位、峰高的峰寬度。對(duì)每個(gè)峰的峰函數(shù)積分，可以計(jì)算出譜區(qū)間內(nèi)各個(gè)峰的凈面積。求解正規(guī)方程的數(shù)值計(jì)算方法依正規(guī)方程的性質(zhì)不同而異。當(dāng)正規(guī)方程是一個(gè)線性方程組時(shí)(例如峰函數(shù)是高斯函數(shù)，而峰位和峰寬為已知量不參加擬合時(shí))，可以采用消去法或分解法等求解線性方程組的計(jì)算方法。當(dāng)正規(guī)方程是非線性方程組時(shí)，通常采用迭代法求解。應(yīng)用最多的是高斯-牛頓法的改進(jìn)算法：麥夸脫(Marquardt)法和變尺度法。迭代法是一種試探性的數(shù)值求解方法。我們以高斯-牛頓法來說明求解正規(guī)方程的步驟：先給P設(shè)定一組初始近似值P（o）,（j=1,2,…，K）,稱為迭代初值，并記真值與初值之差為A.，則jP=P(0)+Aj，jJ(j=l，2,于是確定件的問題化為確定修正值A(chǔ)j。對(duì)譜函數(shù)F（'，P）在p（0）附近作臺(tái)勞展開，并略去高次項(xiàng)可得dFF(i,P)-F+-°0dF1其中F=F(i,P(0),P(0),…P(0))0\12K7人dFA+oidF2(5.1.71)dFdF(i,P,P，…P)0=^^2K—dF.dP.JJP=P(0)11P=P(0)11(5.1.72)P=P(0)KK將式（5.1.71）代入式（5.1.69）可得dF人dF+亠A+.…0-dP1dF1K)]2(5.1.73)dQdPi將=2W事尋+…ji=01JSwdFKi=0idFKj如果設(shè)-Ewi討i-F0)]i=0j(5.1.74)ajiajyn-1dFdFi=0idFdFiiW些(y-F)i=0idFi0j(l,j=1,2,…,K)(5.1.75)可以得到下述方程組aA+aA++aA=a1111221kk1yaA+aA++aA=a211222kk2y(5.1.76)Wk1A1+ak2A2+…+akkAk=aky求解這個(gè)K階線性方程組可以求出A，進(jìn)而計(jì)算出P,于是P,=P（o）+A.（j=1,2,-K）（5.1.77）由于在臺(tái)勞展開的過程中略去了高次項(xiàng)，因而由式（5.1.77）算出的q并不是真值。為了更進(jìn)一步逼近真值，可以用求出的P.代替原來的初值Pj?，重復(fù)上述運(yùn)算而得到新的Aj，這個(gè)過程反復(fù)迭代直到IAJ的值小于預(yù)先給定的誤差為止。'J綜上所述，用高斯-牛頓法求解非線性最小二乘問題，可歸納為如下的步驟：人為地指定迭代初值P（0）,（j=1,2,-K），并記P=P（o）+A.,把求解pj化求解A.的jjjjJj問題。用臺(tái)勞展開式把求解Aj的問題線性化，變成求解一個(gè)線性方程組。以Aj修正P.作為新的初值，重復(fù)①、②的步驟直至滿足預(yù)先給定的誤差條件為止。在迭代過程中，如果AJ逐次減小，逐漸逼近P.的真解，則迭代過程是收斂的。但如果初值選得與真值相差較大，將使臺(tái)勞展開式嚴(yán)重失真，使迭代所得的P.更遠(yuǎn)離真解，這時(shí)迭代過程不收斂，出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。在能譜數(shù)據(jù)似合過程中，作為初值的峰位、峰高、峰寬和本底參數(shù)很難預(yù)先選得很精確。在迭代過程中可能會(huì)出現(xiàn)收斂速度很慢，甚至出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。為了放寬對(duì)迭代初值的限制，麥夸脫提出了改進(jìn)方案。麥夸脫法與高斯-牛頓法基本相似，其差別僅在于把迭代時(shí)求解A.的線性方程組改寫jS1+d）A1+ai2A2+…+aiKAK=氣(5.1.78)ai2A1+（a22+d）A2+…+a2KAK="2y(5.1.78)SK1A1+aK2A2+…+（aKK+d）AK=°K為與方程式（5.1.76）不同，這個(gè)方程在系數(shù)矩陣A的對(duì)角元中加入了一個(gè)常數(shù)d,稱為阻尼因子，加入阻尼因子之后，求解式（5.1.78）實(shí)際上是求解A.使jRF?FQ鼻￡W」yi-（F+詁A1+…+詁Ak）］2+d送A2「0暫1叭K冃j=Q+d送A2jj=1達(dá)到極小值。在迭代過程中不斷改變阻尼因子。開始d選取比較大的數(shù)值，使得麥夸脫法接近梯度法。理論上可以證明，只要d值選得足夠大，總會(huì)使殘差平方和Q值隨著迭代過程逐漸減少。但阻尼因子越大，步長(zhǎng)A越小，收斂速度越慢。為了加快迭代的速度，在迭代過程中按一定的比例逐漸地減小阻尼因子d。在d接近為零時(shí)，麥夸脫法退化為高斯-牛頓法。阻尼因子較大時(shí)，A很小，在這種情況下，以誤差條件來判定迭代結(jié)果的精度可能出現(xiàn)假收斂的現(xiàn)象。因此，只有在d逐漸減小到一定的數(shù)值以下時(shí)，才能進(jìn)行是否滿足收斂條件的判定。實(shí)際計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)表明，麥夸脫法可以允許初值有更大的選取范圍。在初值偏離真值20—30%的情況下，仍然能夠得到比較好的計(jì)算結(jié)果。這在進(jìn)行函數(shù)擬合時(shí)是很有利的。有關(guān)函數(shù)擬合計(jì)算方法更詳細(xì)的討論參見有關(guān)文獻(xiàn)［16］。在譜曲線的函數(shù)擬合中，譜的擬合區(qū)間中峰的個(gè)數(shù)決定了待定的擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)。在譜區(qū)間內(nèi)最多允許存在幾個(gè)峰取決于下面兩個(gè)因素：首先，當(dāng)擬合參數(shù)過多時(shí)，系數(shù)矩陣A可能呈現(xiàn)嚴(yán)重“病態(tài)”造成求解的困難。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)300個(gè)、待定參數(shù)達(dá)到45個(gè)時(shí)，麥夸脫法仍然有效。另一個(gè)需要考慮的因素是待定參數(shù)多時(shí)將占用更大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間，運(yùn)算時(shí)間也要增多，這就需要使用更大、更快的計(jì)算機(jī)。在用最小二乘法函數(shù)擬合法解譜時(shí)，為了能得到較好的精度，必須處理好以下幾個(gè)問題：首先是如何合理地劃分譜擬合區(qū)間，使得在譜區(qū)間中包含有應(yīng)該分解的重峰，但譜區(qū)間又不能太大，以節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和運(yùn)算時(shí)間。第二是正確地選擇峰函數(shù)和本底函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使得在不同的物理測(cè)量條件下，測(cè)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率不同時(shí)都能夠正確地反映出譜曲線的真實(shí)形狀，以提高函數(shù)擬合的精度。第三是如何正確地選擇迭代初值，使初值盡可能地接近解的真值，以加快迭代

收斂的速度，避免出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。第四是合理地選用迭代收斂判定條件，當(dāng)擬合結(jié)果不理想時(shí)，如何對(duì)擬合進(jìn)行改善。最后必須指出，在擬合區(qū)間內(nèi)找出全部有意義的組分峰的峰位是保證函數(shù)擬合結(jié)果的可靠性的先決條件。由式（5.1.68）可以看出，譜函數(shù)的解析表達(dá)式是建立在各個(gè)組分峰的基礎(chǔ)之上的。如果尋峰程序不能分辨出重峰中組分峰的個(gè)數(shù)，漏失了有意義的峰或出現(xiàn)了假峰，則譜函數(shù)表達(dá)式就不正確。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)擬合就不會(huì)導(dǎo)致正確的計(jì)算結(jié)果。下面我們對(duì)上述幾個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行討論,最后再簡(jiǎn)單地介紹適用于微型和小型計(jì)算機(jī)的非迭代函數(shù)擬合方法。擬合區(qū)間的劃分通常，譜數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合不是在整個(gè)能譜范圍內(nèi)進(jìn)行，而是把整個(gè)譜劃分成若干個(gè)小的譜區(qū)間（在每個(gè)譜區(qū)間內(nèi)包含有諾干個(gè)有意義的峰），這些譜區(qū)間稱為擬合區(qū)間。劃分譜區(qū)間的目的是為了提高擬合精度和節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存。由式（5.1.68）可以看出，譜函數(shù)包括兩個(gè)部分：本底函數(shù)和峰函數(shù)。在某些情況下（例如在電子激發(fā)的X射線能譜分析中），可以近似地寫出本底函數(shù)的理論模型。但是，在很多情況下，在整個(gè)譜范圍內(nèi)寫出本底函數(shù)的解析表達(dá)式是比較困難的。而在比較小的譜區(qū)間內(nèi)，本底函數(shù)可以近似地用多項(xiàng)式描述。顯然，在譜區(qū)間很大時(shí)，用多項(xiàng)式描述本底將會(huì)造成較大的誤差。此外，譜擬合程序在計(jì)算機(jī)內(nèi)運(yùn)行時(shí)，程序占用的內(nèi)存容量與參加擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和擬合區(qū)間內(nèi)峰的個(gè)數(shù)有關(guān)。在較小的擬合區(qū)間內(nèi)進(jìn)行擬合時(shí)，占用的內(nèi)存容量較小，這在使用小型或微型計(jì)算機(jī)時(shí)尤為重要。劃分?jǐn)M合區(qū)間在尋峰之后進(jìn)行，根據(jù)譜中各個(gè)峰位之間距離劃分?jǐn)M合區(qū)間。擬合區(qū)間的劃分原則如下：相互重疊的峰應(yīng)處于同一個(gè)擬合區(qū)間之內(nèi)。擬合區(qū)間的邊界應(yīng)位于本底點(diǎn)上。孤立的單峰自己占有一個(gè)擬合區(qū)間。擬合區(qū)間內(nèi)包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和峰的個(gè)數(shù)不應(yīng)超出擬合程序所允許的最大數(shù)值，否則必須進(jìn)行特殊的處理。根據(jù)上述原則，在不同的函數(shù)擬合程序中，可以采用不同的劃分?jǐn)M合區(qū)間的方法。例如在SAMPO程序［17］中，如果兩個(gè)峰位之間的距離小于6FWHM，則認(rèn)為這兩個(gè)峰是相互重疊的峰，應(yīng)放在同一擬合區(qū)間內(nèi)擬合。如果第三個(gè)峰的峰位與第二個(gè)峰的峰位之間的距離仍然小于6FWHM，則這三個(gè)峰的同一擬合區(qū)間內(nèi)進(jìn)行擬合，依此類推。以重峰中最左邊的一個(gè)峰的峰位向左再推移3FWHM作為擬合區(qū)間的左邊界道址；從最右邊的峰位向右推移3FWHM作為擬合區(qū)間的右邊界道址。在譜數(shù)據(jù)漲落比較大或探測(cè)器的峰函數(shù)拖有較長(zhǎng)的尾巴時(shí)，為了更精確地反映本底的形狀，可以把擬合區(qū)間再向外擴(kuò)展若干道，但是不能超過譜曲線的局部最小點(diǎn)，進(jìn)入另一個(gè)峰的下降段。又如在小型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的SPECTRAN-F程序⑶采用如下的方法劃分?jǐn)M合區(qū)間：對(duì)于任何兩個(gè)相鄰的峰，如果峰位距離小于3FWHM，則認(rèn)為是重峰，應(yīng)放在同一個(gè)擬合敬意中。在一個(gè)擬合區(qū)間內(nèi)，最多可以包含七個(gè)相互重疊的峰。如果擬合區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)孤立的單峰,由峰位向兩側(cè)各擴(kuò)散1.5FWHM得到擬合區(qū)間的左右邊界。和SAMPO程序相比，Spectran-F程序中的擬合區(qū)間要小得多，適合在內(nèi)存容量不大的小型計(jì)算機(jī)中運(yùn)行。3?譜函數(shù)的選擇函數(shù)擬合法解譜的主要思想是通過調(diào)整譜函數(shù)中的參數(shù)逼近原始譜數(shù)據(jù)，從而求解出一組最

優(yōu)化的參數(shù)。因此，預(yù)先假定的譜函數(shù)F(i,P)是不能夠反映譜曲線的真實(shí)形狀是非常重要的。如果譜函數(shù)曲線的形狀與實(shí)測(cè)的譜曲線之間相差較大，將會(huì)產(chǎn)生較大的似合誤差，特別是在計(jì)算重峰區(qū)中的弱組分峰時(shí)誤碼差更大。由射線和探測(cè)器相互作用的基本理論和電子學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)出發(fā)，寫出一個(gè)簡(jiǎn)單而又實(shí)用的譜函數(shù)的解析表達(dá)式是比較困難的。目前大都是使用經(jīng)驗(yàn)公式描述譜函數(shù)。在通用的Y射線或X射線譜儀中使用的譜函數(shù)應(yīng)滿足下述要求。在擬合區(qū)間內(nèi)，譜函數(shù)應(yīng)能正確地描述不同種類［如平面型Ge(Li)、同軸型Ge(Li)、高純Get和Si(Li)探測(cè)器］和不同性能探測(cè)器測(cè)出的能譜曲線的形狀。圖5-1-27中畫出了用同軸型Ge(Li)探測(cè)器測(cè)得的能量為1332keV的丫射線能譜曲線的一部分。由此圖可以看出，在峰頂附近，譜曲線近似地符合高斯曲線，由峰兩側(cè)的形狀可以看出在峰下有一個(gè)臺(tái)階狀的本底；在峰的低能一側(cè)有一個(gè)由于射線能量在探測(cè)器的靈敏區(qū)內(nèi)不完全吸收造成的拖長(zhǎng)的尾部。不同質(zhì)量的探測(cè)器測(cè)出的譜的形狀有明顯的差別。在由高質(zhì)量探測(cè)器測(cè)出的譜曲線中，峰的寬度比較窄，低能尾部比較小。當(dāng)探測(cè)器的質(zhì)量比較差時(shí)，峰的寬度比較寬、低能尾部也較高。對(duì)于不同類型和不同質(zhì)量的探測(cè)器，峰低能側(cè)尾部的開始點(diǎn)出現(xiàn)在0.01—0.5倍峰高的范圍內(nèi)。值得指出，既使對(duì)于同一個(gè)探測(cè)器，在使用了較長(zhǎng)的時(shí)間之后，其能量分辨率也會(huì)變壞，低能尾部將會(huì)抬高。譜函數(shù)能否正確地描述低能尾部的形狀對(duì)解譜的精度會(huì)產(chǎn)生很大的影響。例如，在一個(gè)很強(qiáng)的峰的低能側(cè)存在一個(gè)弱峰時(shí)，這個(gè)弱峰很可能疊加在強(qiáng)峰的低能尾部上。如果譜函數(shù)不能正確地描述探測(cè)器響應(yīng)的低能尾部的形狀，就不可能正確地計(jì)算出弱峰的大小。譜函數(shù)應(yīng)能適應(yīng)測(cè)量系統(tǒng)計(jì)數(shù)率的變化。當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)的平均計(jì)數(shù)率增高到每秒1萬次以上時(shí)，由于電子學(xué)系統(tǒng)中的脈沖堆積效應(yīng)，在峰的高能一側(cè)將產(chǎn)生明顯的拖長(zhǎng)的尾部。采用脈沖堆積排除電路、極-零補(bǔ)償、基線恢復(fù)器等電子學(xué)技術(shù)可以減少脈沖堆積效應(yīng)的影響，但不能完全消除。此外，電子學(xué)系統(tǒng)的漂移和能譜穩(wěn)定器的使用也會(huì)使峰高能側(cè)的尾部加大。因此，為了避免計(jì)數(shù)率變化帶來的誤差，譜函數(shù)應(yīng)能適應(yīng)由于計(jì)數(shù)率不同和電子學(xué)系統(tǒng)的漂移造成的峰形狀的改變。這在短壽命核素的測(cè)量中尤為重要。上面所述的兩個(gè)要求使得在解譜過程中對(duì)弱峰能夠達(dá)到比較高的靈敏度，對(duì)重峰有比較強(qiáng)的分辨能力。在兩個(gè)峰相距很近(例如峰位距離為FWHM)而峰高比又很大時(shí)(如兩峰的高度比為100)能夠正確地計(jì)算出弱峰的強(qiáng)度。譜函數(shù)表達(dá)式應(yīng)盡可能地簡(jiǎn)單，待定參數(shù)搶占數(shù)不能太多，以減小計(jì)算工作量，提高程序運(yùn)行的穩(wěn)定性和可靠性。這在使用小型或微型計(jì)算機(jī)解譜時(shí)更為重要。譜函數(shù)表達(dá)式中的某些參數(shù)在整個(gè)測(cè)量能區(qū)內(nèi)隨能量的變化應(yīng)是平緩的或者這些參數(shù)的變化對(duì)擬合結(jié)果的影響不大。這樣，在函數(shù)擬合之前我們就能夠比較準(zhǔn)確地估計(jì)出這些參數(shù)的值，或者將這些參數(shù)取為固定的常數(shù)，以減少計(jì)算工作量。在擬合區(qū)間之內(nèi)，譜函數(shù)可以看成為峰函數(shù)和本底函數(shù)的疊加。把譜曲線看成是連續(xù)曲線時(shí)F(x)=B(x)+豹S(x)(5.1.79)=1其中，在譜函數(shù)的連續(xù)函數(shù)表達(dá)式中x是自變量(道址)，S(x)代表峰函數(shù)，B(x)是本底函數(shù)，Np為擬合區(qū)間內(nèi)峰的個(gè)數(shù)。下面首先討論本底函數(shù)。在Y譜中形成本底的來源有三個(gè)。首先是其它輻射源產(chǎn)生的輻射本底，其次是更高能量的Y射線的康普頓散射。第三種來自被測(cè)的這種

能量Y射線本身，由于丫射線能量在探測(cè)器的靈敏區(qū)中沒有完全被吸收，造成某些計(jì)數(shù)分布在比全能峰能量更低的各道內(nèi)，形成了臺(tái)階狀的本底分布。雖然很多文獻(xiàn)都把臺(tái)階狀的分布看成是本底的一部分，但是這部分計(jì)數(shù)實(shí)際上是該種能量Y射線強(qiáng)度貢獻(xiàn)的一部分，因此臺(tái)階的高度與峰的凈高度成正比。在Y譜中，本底函數(shù)B(x)是由上述三種原因產(chǎn)生的本底的線性疊加。一般說來，輻射本底是一個(gè)常量，與道址無關(guān)；高能T射線的康普頓電子譜可以近似地用多項(xiàng)式分布描述；關(guān)于臺(tái)階狀的本底，文獻(xiàn)中提出了很多種經(jīng)驗(yàn)公式。文獻(xiàn)［18］中綜合了近年來發(fā)表的描述臺(tái)階狀本底的多種經(jīng)驗(yàn)公式，如表5.7所示。表中列出的函數(shù)是規(guī)一化之后的臺(tái)階狀函數(shù)。其中x是道址；X是峰位的道址；yi是第i道中譜的凈計(jì)數(shù)；W是峰的FWHM；b是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差；erf是誤差函數(shù)\-2nJx\-2nJxEXP(-t2)dt02erf(x)=2-erf(x)。表5.7臺(tái)階狀本底函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式*序號(hào)發(fā)表日期臺(tái)階狀本底函數(shù)表達(dá)式BS1969階躍函數(shù)fc；:BS21969V1—EXP[P(x一X)/2b2],x<X01,x>XBS319701厶X—Pb—x；+arctg-2兀'Pb1BS41970V1—1/[1+(x—X-)2],x<Xb0,x>XV,BS51977V1—1/[1+(—1)2],x<Xb0,x>XBo19731/[1+EXP[(x—X)/0.75W]S6BS71974erfc[—(x—X)/P]]BS819762erfc[(x—X)/j2b]BS91975V2[2—EXP2(x—X)/b]x<X2EXP2[—2(x—X)/b]x>X、2BS1019791—為y./為y.iii=xi=0*表中的P］,P2是待定的擬合參數(shù)。

這十種臺(tái)階函數(shù)按其形狀可以分為三類，圖5-1-28中畫出了以B、B和B為代表的三S1S4S8類臺(tái)階狀本底函數(shù)的圖形。函數(shù)B的形狀與B相似，而B、B、X、BB與B相S2S4S3S5S6S7S9S8似。圖5-1-28三類臺(tái)階狀本底函數(shù)曲線在早期的一些丫譜定量分析程序(如GAMMA-S、SPECTRAN-F、SAMPO等)中，沒有考慮臺(tái)階狀本底的存在，直接用多項(xiàng)式描述整個(gè)本底函數(shù)。文獻(xiàn)［18］指出，引入臺(tái)階狀的本底函數(shù)可以顯著地提高擬合質(zhì)量。采用同樣的峰函數(shù)，以同樣的擬合方法對(duì)由不同的探測(cè)器測(cè)量的光電峰進(jìn)行擬合表明，在其它條件相同的情況下，引入臺(tái)階狀本底函數(shù)可以使單位自由度的殘差平方和XR由2.97下降到1.92。但是采用幾種不同的臺(tái)階狀本底函數(shù)相比較，擬合質(zhì)量相差不大。值R得指出的是，當(dāng)一個(gè)弱峰位于一個(gè)強(qiáng)峰的低能側(cè)并和強(qiáng)峰重疊時(shí)，引入臺(tái)階狀本底函數(shù)可以大大地提高對(duì)弱峰的探測(cè)靈敏度和分析精度。綜上所述，本底函數(shù)B(x)可以用于個(gè)多項(xiàng)式(通常用一次或二次多項(xiàng)式)和臺(tái)階狀本底函數(shù)之和描述B(x)=P+Px+Px2+B(x)(5.1.80)1x3s引入臺(tái)階狀本底函數(shù)可以提高擬合質(zhì)量，但不同種類的臺(tái)階函數(shù)對(duì)擬合質(zhì)量的影響不大。因此，從簡(jiǎn)化擬合程序來說，應(yīng)盡量采用簡(jiǎn)單的臺(tái)階狀函數(shù)表達(dá)式。峰函數(shù)是譜函數(shù)表達(dá)式中的重要組成部分，所選用的峰函數(shù)是否能夠反映峰的真實(shí)形狀對(duì)擬合質(zhì)量有很大影響。前面已經(jīng)指出，一個(gè)單峰的形狀不僅和探測(cè)器的類型和質(zhì)量有關(guān)，測(cè)量系統(tǒng)的平均計(jì)數(shù)率、電子儀器的噪聲、成形濾波網(wǎng)絡(luò)的選擇、極-零補(bǔ)償、基線恢復(fù)和穩(wěn)譜器的使用等因素對(duì)峰的形狀也都有很大的影響。一般情況下，單峰的峰頂附近可以用高斯函數(shù)描述。在峰的兩側(cè)，則偏離高斯函數(shù)，出現(xiàn)拖長(zhǎng)的尾部。在峰位兩側(cè)高斯函數(shù)和尾部函數(shù)的連接點(diǎn)分別稱為左、右接點(diǎn)。左接點(diǎn)的位置和低能尾部的高度和探測(cè)器的類型和質(zhì)量有關(guān)。分辨率高、質(zhì)量好的探測(cè)器接點(diǎn)距離峰位比較遠(yuǎn)，接點(diǎn)道址內(nèi)的計(jì)數(shù)與峰高相比較小，低能尾部所占的面積對(duì)峰的凈面積貢獻(xiàn)不大。能量分辨低的探測(cè)器或探測(cè)器的質(zhì)量變壞時(shí)，接點(diǎn)道址距峰中心較近，接點(diǎn)道內(nèi)的計(jì)數(shù)較高，低能尾部的面積在峰的凈面積中占有較大的比例。右接點(diǎn)的位置和高能尾部的大小與譜儀系統(tǒng)的計(jì)數(shù)率和脈沖堆積的情況有關(guān)，當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)內(nèi)脈沖堆積嚴(yán)重、主放大器中的成形濾波網(wǎng)絡(luò)選用不當(dāng)、基線恢復(fù)器性能不良時(shí)，峰高能側(cè)的尾部將變大。在系統(tǒng)中使用穩(wěn)譜器時(shí)，也可能造成峰高能側(cè)的尾部變大。

近十年來，對(duì)峰函數(shù)的近似解析表達(dá)式進(jìn)行了大量的研究工作。一類研究工作是尋找能精確地表達(dá)峰形狀的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，盡可能地提高擬合質(zhì)量。這些央函數(shù)一般比較復(fù)雜，每個(gè)峰函數(shù)中包含有八個(gè)甚至十幾個(gè)待定的擬合參數(shù)。另一類研究工作是尋找一些比較簡(jiǎn)單的峰函數(shù)（有兩個(gè)到四個(gè)擬合參數(shù)），在一定條件下能夠達(dá)到比較滿意的擬合質(zhì)量。這些比較簡(jiǎn)單的峰函數(shù)適于在小型或微型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的擬合程序中采用。文獻(xiàn)［18］中列舉了近年來發(fā)表的和一些著名的丫譜分析程序中使用的15種峰形函數(shù),并對(duì)這些峰形函數(shù)的性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)比較。這些峰函數(shù)大致可分為幾類：①標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)②在峰區(qū)內(nèi)各段使用不同的函數(shù)，這幾個(gè)函數(shù)在接點(diǎn)處平滑地連接起來。例如，用兩個(gè)b不同的高斯函數(shù)分別描述峰兩側(cè)的形狀，這兩個(gè)高斯函數(shù)在峰頂處平滑地聯(lián)接起來。也可以在峰頂附近采用高斯函數(shù)，左、右接點(diǎn)之外用指數(shù)函數(shù)描述尾部的形狀，這三個(gè)函數(shù)在左、右接點(diǎn)處平滑地聯(lián)接起來。③高斯函數(shù)與不同數(shù)量、不同形式的尾部函數(shù)疊加。④采用變形的高斯函數(shù)和其它函數(shù)。表5.8列出了幾種典型的規(guī)一化之后的峰函數(shù)表達(dá)式。表5.8幾種典型的峰函數(shù)表達(dá)式序號(hào)PpS2PS3發(fā)表日期1969SPECTRANF(1978)SAMPO(1969序號(hào)PpS2PS3發(fā)表日期1969SPECTRANF(1978)SAMPO(1969)GAMANL臺(tái)階狀本底函數(shù)表達(dá)式EXP[—(x—X)2/2b-2]EXP[—(x—X)2/2b2，EXP[J(2x—2X+J)/2b2，EXP[—(x—X)2/2b2，EXP[J(2x—2X+J)/2b2，EXP[J'(2X—2x+J')/2b2,EXP[—(x—X)2/2b2]，C24WMC(1972)C24WMC(1972)EXP[—(x—X)2/2b2]+P^EXP[-P2(x—X)]{1—EXP￡(x—X)2/2b2}，x>XPS5(1973)PSPS5(1973)PS6HYPERMET(1976)EXP[—(x—X)2/2bf，EXP[-(x-X)2/2bg,e—(x—X)2/2b2+丄p2e(x-x)/P2x—X2bP51erfc(4—+5)+P32bP52P223e(x—X)/PerfC(+'畫卩。)2bp^2p4EXP[—(x—X)2/2b2]+片EXP[-(x-P2)2/2P32]PS7(1979PS7(1979)EXP[—(x—X)2/2b2]+片EXP[-(x-P2)/什]x>P2-警2P4為了比較不同峰函數(shù)的擬合質(zhì)量，文獻(xiàn)［18］中對(duì)由不同質(zhì)量的探測(cè)器測(cè)得的60Co的能量為1332keV的單峰，以相同的擬合方法、不同的峰函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，計(jì)算出的單位自由度殘差平方和xR列于表5.9中。D］、D2、D3是三個(gè)質(zhì)量不同的探測(cè)器，D1是靈每區(qū)體積為65cm3的同軸Ge（Li）探測(cè)器；已經(jīng)使用了九年，峰的FWHM為2keV，在峰的低能側(cè)有比較大的尾部；

D2是新的同軸Ge（Li）探測(cè)器，體積為120cm3，峰的FWHM為2keV，在峰低能側(cè)的尾部也比較大；D3是13cm3的平面型Ge（Li）探測(cè)器，峰的FWHM為1.7keV,用它測(cè)得的譜中峰的低能尾部最小。由表5.9中可以看出：①采用高斯函數(shù)作為峰函數(shù)時(shí)擬合質(zhì)量最差。當(dāng)使用較好的探測(cè)器時(shí)，擬合質(zhì)量得到改善。由此說明在峰函數(shù)中引入一些參數(shù)來描述峰形狀中的拖長(zhǎng)的尾部對(duì)改善擬合質(zhì)量是非常重要的。在探測(cè)器的質(zhì)量比較差時(shí)，這一點(diǎn)尤為重要。②在表5.8中列舉的峰函數(shù)中，當(dāng)采用擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)多的峰函數(shù)時(shí)，能得到更好的擬合質(zhì)量。此外，需要指出，在計(jì)算表5.9中的結(jié)果時(shí)，譜數(shù)據(jù)是在低計(jì)數(shù)率（約2000計(jì)數(shù)/秒）的情況下測(cè)得的，測(cè)量系統(tǒng)中使用了極-零補(bǔ)償電路和基線恢復(fù)器。在獲取的譜中，峰的高能側(cè)基本上沒有拖長(zhǎng)的尾部。因此，表5.9的數(shù)據(jù)中沒有包括由于計(jì)數(shù)率的變化所引起的高能尾部產(chǎn)生的影響。表5.9不同峰函數(shù)擬合結(jié)果比較峰函數(shù)序號(hào)待定參數(shù)個(gè)數(shù)x2RD1D2D3PS1360.049.913.2PS2440.126.513.5PS468.153.153.04PS776.572.522.76PS81.541.772.36上面討論了用不同的峰函數(shù)擬合一個(gè)單峰時(shí)擬合方差的大小。在實(shí)際應(yīng)用中需要考慮的另個(gè)重要的問題是在擬合一個(gè)重峰區(qū)時(shí)疊加在強(qiáng)峰兩側(cè)的弱峰的分析靈敏度和精度。設(shè)想當(dāng)一個(gè)很弱的峰疊加在一個(gè)強(qiáng)峰的尾部上時(shí)，如果選用的峰函數(shù)不能準(zhǔn)確地描述尾部的變化形狀，就不能正確地計(jì)算出弱峰的凈面積。在這方面，很多文獻(xiàn)的作者作了不少的工作。文獻(xiàn)［19］中，采用誤差函數(shù)描述臺(tái)階狀本底的分布，以高斯函數(shù)加上指數(shù)尾部作為峰形函數(shù)，對(duì)65Zn和46SC的能量為111.56keV和1120.3keV的兩個(gè)相互重疊的峰（峰距為1.8FWHM）進(jìn)行分析，在兩個(gè)峰的強(qiáng)度比為0.01時(shí)，計(jì)算每個(gè)峰的強(qiáng)度，系統(tǒng)誤差小于2%。文獻(xiàn)［20］中，采用不對(duì)稱高斯函數(shù)作為峰形函數(shù)，同時(shí)使用階躍函數(shù)或在低能部分按指數(shù)變化的臺(tái)階狀本底函數(shù)。當(dāng)兩個(gè)峰的距離為3FWHM、強(qiáng)度比為0.001時(shí)，射線強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果的系統(tǒng)誤差小于2%。甚至在分析由116mIn和59Fe產(chǎn)生的確良1093keV和1095keV的兩個(gè)峰時(shí)（峰距為FWHM），在兩個(gè)峰的強(qiáng)度相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，仍能得到滿意的計(jì)算結(jié)果。在選用峰函數(shù)時(shí)，不僅要考慮到擬合質(zhì)量，還需要考慮一些其它的實(shí)際因素，其中最主要的是在擬合過程中需要求解的參數(shù)的個(gè)數(shù)。在參數(shù)較少時(shí)，可以使用內(nèi)存容量較小、運(yùn)算速度較慢的小型或微型計(jì)算機(jī)，而且函數(shù)擬合的過程也比較穩(wěn)定。因此，對(duì)于通用的譜分析程序，一般選用含有3—5個(gè)擬合參數(shù)的峰函數(shù)。在計(jì)數(shù)率不高，測(cè)量系統(tǒng)中包含有脈沖堆積排除電路、基線恢復(fù)器和準(zhǔn)確地調(diào)整極-零補(bǔ)償電路的情況下，可以選用高斯函數(shù)附加低能尾部函數(shù)構(gòu)成峰函數(shù)。在計(jì)數(shù)率較高或系統(tǒng)中包含有能譜穩(wěn)定器的情況下，需要在峰函數(shù)中引入描述高能尾部的函數(shù)。迭代初值與迭代收斂條件的選取

在函數(shù)擬合法解譜過程中,求解非線性最小二乘問題通常使用迭代法。在迭代過程開始之前,首先要選取各個(gè)待定擬合參數(shù)的初值P=（P（0）,P（0）,,P（0））。還要規(guī)定迭代的收斂條件和迭代12K終止條件。當(dāng)收斂條件滿足時(shí)，就求得了各個(gè)擬合參數(shù)的估值。當(dāng)?shù)諗康乃俣群苈虻l(fā)散時(shí)，由迭代終止條件來中止迭代過程。圖5-1-29迭代初值選取方法示意圖在選取代初值時(shí)，應(yīng)使各參數(shù)的初值盡可能地接近這些參數(shù)的真值。這樣可以加快迭代收斂的速度，如果初值偏離真值太遠(yuǎn)，可能造成迭代發(fā)散，不能求出正確的結(jié)果。在函數(shù)擬合中也可以使用一些不需初值的計(jì)算方法估算初值，例如可以采用隨機(jī)嘗試法刪取初值。但是在Z、X射線能譜分析中，最常用的方法最藉助于尋峰和系統(tǒng)刻度的結(jié)果，以一些簡(jiǎn)單的方法近似地求出各個(gè)參數(shù)初值。下面我們以一個(gè)具體的例子來說明初值的選取方法。圖5-1-29中畫出了一個(gè)擬合區(qū)間中的譜曲線。假定峰函數(shù)選用高斯函數(shù)，本底函數(shù)選用二次多項(xiàng)式。在峰區(qū)內(nèi)由尋峰程序找到了兩個(gè)峰，其峰位的道址分別是mp1、mp2,峰區(qū)內(nèi)譜函數(shù)的離散量形式的表達(dá)式為y=P+Pi+Pi2+PEXP[—（i—P）2/2P2]i1234L\5丿6」（5.1.81）+PEXP[—（i—P）2/2P2]789（i=0，1，2,???n—1）其中，yi為擬合峰區(qū)內(nèi)第i點(diǎn)的譜數(shù)據(jù)。式（5.1.81）中共有9個(gè)特定的擬合參數(shù)。在選取擬合參數(shù)的初值時(shí)，首先用前面已討論過的確定峰區(qū)邊界的方法在譜數(shù)據(jù)中找出峰區(qū)的兩個(gè)邊界點(diǎn)（y、mL）、（y、mR），以通過這二點(diǎn)的直線近似地代替本底函數(shù)。用尋峰程序找到的峰位TOC\o"1-5"\h\zLmR?L<R.mp1、mp2計(jì)算出峰位參數(shù)P5、P8的初值；用H]、H2作為峰高參數(shù)P4、P7的初值；P6和P9代表高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，其初值可以根據(jù)峰位的道址由系統(tǒng)的峰形刻度參數(shù)計(jì)算出來。由此得出P（0）=ymLP（o）=（y—y）/（mR—mL）mmRLRLP（0）=03P（o）=y一[P（o）+P（0）（m一m）]mp112p1LP（o）=m—mp1LP（0）=0根據(jù)系統(tǒng)的峰形刻度曲線計(jì)算6P（0）=y—[P（0）+P（0）（m一m）]7mp212p2L

P(°)=m-mp2LP(0)根據(jù)系統(tǒng)的峰形刻度曲線計(jì)算上面以高斯峰函數(shù)為例討論了如何選取擬合參數(shù)9的初值。當(dāng)采用其它形式的譜函數(shù)時(shí)，也可以使用類似的方法選取擬合參數(shù)的初值。下面我們討論如何確定迭代程序中的收斂條件。在函數(shù)擬合的迭代過程中，在兩種情況下終止迭代。一種情況是滿足了迭代收斂條件，這時(shí)對(duì)擬合參數(shù)的估值達(dá)到了預(yù)先給定的精度，函數(shù)擬合取得了滿意的結(jié)果。另外一種情況是當(dāng)?shù)_(dá)到了預(yù)先設(shè)定的次數(shù)或連續(xù)幾次迭代都不能使迭代質(zhì)量得到明顯的改善時(shí)，也要使迭代過程中止。在后一種情況下，函數(shù)擬合過程即使再進(jìn)行下去也不能取得滿意的結(jié)果。出現(xiàn)這種情況一般是由于迭代初值選取不當(dāng)，譜函數(shù)的表達(dá)式與真實(shí)的譜形相差太大，尋峰程序漏失了真峰或混入假峰等因素造成的。在某些擬合程序中，以擬合參數(shù)的相對(duì)誤差小于某一數(shù)值作為迭代收斂條件。例如在SAMPO程序中，迭代的收斂條件為：在相鄰兩次迭代中，求出的各個(gè)擬合參數(shù)相對(duì)誤差小于10-8。此外，以最大迭代次數(shù)為100或連續(xù)四次迭代中單位自由度的殘差平方和X2沒有顯著的改善作為迭代的終止條件。在SAMPO程R序中，收斂條件是比較苛刻的，達(dá)到這個(gè)收斂條件需要花費(fèi)較多的運(yùn)算時(shí)間。但是SAMPO程序是在比較大的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的，這個(gè)問題并不大。對(duì)于在運(yùn)算速度比較慢的小型或微型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的擬合程序，為了減少運(yùn)算時(shí)間，收斂條件必需放寬。實(shí)際上，我們可以由各個(gè)擬合參數(shù)的物理意義出發(fā)，合理地分別規(guī)定每個(gè)參數(shù)的必需達(dá)到的精度。這樣，不僅迭代收斂條件容易滿足，而且也能使擬合結(jié)果達(dá)到滿意的精度。例如，在SPECTRAN-F程序中，迭代的收斂條件規(guī)定如下：由相鄰的兩次迭代求出的峰位值差小于0.01道。即18XjlVO.Ol(j=1，2…，竹)，Np為該擬合區(qū)間內(nèi)峰的個(gè)數(shù)。相鄰的兩次迭代求得的峰寬值相差小于千分之一，即|SqI/g<0.005。b為描述峰曲線峰頂部分的高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。相鄰的兩次迭代求出的各個(gè)峰的峰高的變化小于峰高的標(biāo)準(zhǔn)誤差的一半。當(dāng)峰高的標(biāo)準(zhǔn)誤差的一半小于2時(shí)，取為2。相鄰兩次迭代中，尾部接點(diǎn)J的變化小于Q/<2，即lSJI<qI?込。當(dāng)上述四個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，則認(rèn)為迭代過程收斂，各個(gè)參數(shù)的估值達(dá)到了滿意的精度。需要指出，在SPECTRAN-F中使用麥夸脫法求解非線性最小二乘問題時(shí)，為了避免出現(xiàn)由于阻尼因子d太大而造成假收斂,在迭代過程中只是在阻尼因子下降到小于一定的數(shù)值之后方使用收斂條件判定迭代過程是否應(yīng)該結(jié)束。如果經(jīng)過多次迭代，收斂條件仍不能滿足，在下述二代迭代終止條件之一來結(jié)束迭代過程。一個(gè)是迭代次數(shù)達(dá)到了15次。另外一個(gè)終止條件是當(dāng)經(jīng)過了四次迭代之后，繼續(xù)進(jìn)行迭代時(shí)目標(biāo)函數(shù)Q下降不顯著。即當(dāng)lQ(h+1)-Q(h)|/Q(h)<Q-3時(shí)，迭代過程終止。其中Q(h+1)為在第k+1次迭代之后由式(5.1.69)計(jì)算的殘差平方和，Q(h)為第k次迭代過程之后求出的殘差平方和。在這兩種情況下，收斂條件沒有滿足，對(duì)譜數(shù)據(jù)進(jìn)行的函數(shù)擬合沒有取得滿意的結(jié)果。函數(shù)擬合法解譜的誤差在函數(shù)擬合法解譜過程中，通常以XR檢驗(yàn)和衡量擬合質(zhì)量。RXR=」F[y.-F(i,P)]2/y.(5.1.82)Rn-J11

XR為單位自由度的殘差平方和。n為擬合區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，K是特定擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)，n-KR稱為自由度，yi是由擬合區(qū)間左邊界算起的第i道的譜數(shù)據(jù)。根據(jù)一般誤差理論，XR也是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，有其自己的分布規(guī)律。如果函數(shù)擬合的結(jié)果F(i,P)與yi的真實(shí)分布吻合，XR值應(yīng)在一個(gè)合理的數(shù)值范圍內(nèi)。如果XR值超出了這個(gè)合理的數(shù)值范圍，則說明F(i,P)不能反R映譜的真實(shí)形狀，擬合過程中計(jì)算出的參數(shù)P的誤差比較大或者是一組完全不可相信的結(jié)果(例如有漏失成分等)。實(shí)際上，XR的大小與自由度的大小和譜數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)漲落的大小有關(guān)。一些文獻(xiàn)的作者根據(jù)對(duì)譜數(shù)據(jù)擬合的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)提出了XR的合理的數(shù)值范圍。R.L.Heath［2i］等認(rèn)為xR應(yīng)在2—4之間。B.R.Kowalskis］認(rèn)為x2可以接受的數(shù)值應(yīng)在1—25之間。P.A.AarniQ23］指出，根RTOC\o"1-5"\h\z據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)XR可以接受的數(shù)值應(yīng)小于25。因此，可以認(rèn)為當(dāng)XR在1—5之間時(shí)，擬合質(zhì)量比較RR好，而當(dāng)XR>25時(shí)，擬合結(jié)果是不可靠的。在SPECTRAN-F程序中，當(dāng)XR>4時(shí)，程序?qū)⒋騌R印出信息，提示用戶需要檢查在擬合過程中是否存在比較大的系統(tǒng)誤差，以便進(jìn)一步改善擬合質(zhì)量。由XR的定義中可以看出，XR包括了兩類誤差，一個(gè)是各道譜數(shù)據(jù)本身的統(tǒng)計(jì)漲落造成的偶RR然誤差；另一部分是擬合中存在的系統(tǒng)誤差。確切地說，只有第二部分誤差才反映了擬合質(zhì)量的優(yōu)劣。為了確切地反映擬合中產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的大小，有些作者提出了一些新的誤差檢驗(yàn)因子［23-25］。在對(duì)譜函數(shù)的優(yōu)劣進(jìn)行比較的試驗(yàn)性計(jì)算中，或在系統(tǒng)的峰形刻度等程序中，使用這些新的檢驗(yàn)因子能夠更靈敏地測(cè)試出由于譜函數(shù)選用不當(dāng)，峰形參數(shù)不精確等因素造成的系統(tǒng)誤差。由函數(shù)擬合求解出的參數(shù)P的方差可以由下式估算q2Pj=(A)-1”XR(5.1.83)TOC\o"1-5"\h\z式中Q2P/是由擬合求出的第j個(gè)參數(shù)的方差，A是當(dāng)?shù)K止時(shí)由式(5.1.76)表示的線性議程組的系數(shù)矩陣，(A)-1..是系數(shù)矩陣的逆矩陣中的第j個(gè)對(duì)角元素。由式(5.1.83)表示的P.的方程ijJ仍然是一個(gè)近似估計(jì)，沒有考慮到各個(gè)參數(shù)之間的協(xié)方差。另外Q2P.中也沒有包括由系統(tǒng)刻度引起的誤差。J各擬合參數(shù)的方差求出之后，根據(jù)所采用的峰凈面積計(jì)算公式可計(jì)算出各組分峰的凈面積的方差。例如在SPECTRAN-F程序中，由下式計(jì)算各個(gè)組分峰的凈面積A=HA/豹H(5.1.84)JJtk'丿k=1其中，Aj為重峰區(qū)中第j個(gè)組分峰的凈面積，H.為擬合中求出的第j個(gè)組分峰的峰高；Np為重峰區(qū)內(nèi)組分峰的個(gè)數(shù)；At為重峰區(qū)的總凈面積。At是把重峰區(qū)看成是一個(gè)單峰區(qū)采用前面討論過的計(jì)算單峰凈面積的方法計(jì)算出來的。由誤差傳遞公式計(jì)算出A.的方差QA.JAj°AjAtHk一H°AjAtHk一Hj1\2寵Hk丿k=1丿2H°2H+j—j寵Hk-k=1-2°At(5.1.85)AHkAk=1式中°H2式中°H2是第j個(gè)組分峰峰高的方差;°At是重峰區(qū)總凈面積At的方差。上面討論了采用函數(shù)擬合法解譜求出的各個(gè)擬合參數(shù)和凈面積的誤差。下面我們討論影響函數(shù)擬合法解譜的精度和可靠性的一些實(shí)際因素,主要是重峰區(qū)內(nèi)各組分峰的峰位之間的距離和各組分峰的峰高之間的比例對(duì)擬合精度和擬合結(jié)果的可靠性的影響。在一定程度上，這個(gè)因素決定了函數(shù)擬合法分解重峰的能力。前已討論過，正確地求解重峰和弱峰首先要求譜函數(shù)能夠正確地反映測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)，也就是譜函數(shù)能正確地描述譜曲線中峰和本底的大小和形狀。但是,即使是采用了比較準(zhǔn)確的譜函數(shù)，在組分峰相距很近，峰高比很大時(shí)，函數(shù)擬合法解譜并不能得到滿意的結(jié)果。由理論上準(zhǔn)確地分析這個(gè)問題是比較困難的，在一些文獻(xiàn)中7.17］采用實(shí)驗(yàn)的方法分析函數(shù)擬合法解譜的誤差與組分峰的距離和峰高比的關(guān)系，得出了有意義的結(jié)果。文獻(xiàn)［17］對(duì)SAMPO程序進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。SAMPO程序采用表5.8中序號(hào)這PS3的峰函數(shù)，本底函數(shù)采用二次多項(xiàng)式。首先由尋峰結(jié)果和峰形刻度參數(shù)進(jìn)行一次線性擬合求出各擬合參數(shù)的初值，然后用可變尺度法進(jìn)行的函數(shù)擬合，求出峰高、峰位等參數(shù)，用峰函數(shù)的數(shù)值積分計(jì)算組分峰的凈面積。用一個(gè)實(shí)驗(yàn)譜測(cè)試SAMPO程序分解重峰的能力。在實(shí)驗(yàn)譜的一個(gè)擬合區(qū)間中包含一個(gè)二重峰，這個(gè)重峰位于每道計(jì)數(shù)為1800的康普頓坪上。重峰中能量較高的組分峰的峰高是固定的，峰高與康普頓坪高度的比值是1.6。在組分峰位距離（以FWHM為單位）不同、峰高比不同的情況下，進(jìn)行函數(shù)擬合，計(jì)算出兩個(gè)組分峰的強(qiáng)度，求出峰強(qiáng)度比值。在表5.10中列出了計(jì)算結(jié)果。表5.10SAMPO程序求解重峰的精度擬合