第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)8高考題、強(qiáng)基題中的重要不等式專題綜合訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)8高考題、強(qiáng)基題中的重要不等式專題綜合訓(xùn)練第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4

不等式微點(diǎn)8

高考題、強(qiáng)基體中的重要不等式專題綜合訓(xùn)練1．設(shè)，且，試求的取值范圍．【答案】【分析】由柯西不等式求解即可.【詳解】由柯西不等式得：，即，從而．當(dāng)，，時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，．所以的取值范圍是．2．若實(shí)數(shù)x、y、z滿足（a為常數(shù)），求的最小值．【答案】【分析】利用柯西不等式進(jìn)行解答即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即的最小值為．3．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：.【答案】見解析【分析】由，利用柯西不等式，即可作出證明．【詳解】證：因?yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用柯西不等式的證明問(wèn)題，其中解答中合理化簡(jiǎn)，利用柯西不等式證明是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)、、…、是正數(shù)、、…、的一個(gè)排列，求證：．【答案】證明見解析【分析】不妨設(shè)，再利用排序不等式證明.【詳解】不妨設(shè)，則．又、、…、是、、…、的任意一個(gè)排列，故．即.故原題得證.（2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題）5．已知，求證.【答案】證明見解析.【分析】利用基本不等式證得不等式成立【詳解】，要使兩個(gè)不等號(hào)同時(shí)成立，則需且，即時(shí)等號(hào)成立.所以.6．在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程組.【答案】，，【分析】根據(jù)柯西不等式結(jié)合已知方程組，由不等式的取等條件即可求得實(shí)數(shù)集內(nèi)方程組的解.【詳解】由柯西不等式，得．（1）因?yàn)榍遥裕床坏仁剑?）中只有等號(hào)成立，從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得．它與聯(lián)立，解得，，．7．已知，且．求證．【答案】證明見解析【分析】由排序不等式結(jié)合柯西不等式證明即可.【詳解】證明：令，由同序和≥混序和得，，，把以上四式相加得．由柯西不等式可得．所以．即．8．已知實(shí)數(shù)滿足，設(shè)．(1)求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由柯西不等式即可求解的最小值；（2）利用柯西不等式即可求得的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，t的最小值為．（2）由，得，解得．9．設(shè)，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)分離常數(shù)得，再結(jié)合已知等式利用柯西不等式求得，從而可證得結(jié)論；（2）利用柯西不等式證明結(jié)論即可.【詳解】（1）證明：．因?yàn)?，，所以，得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．（2）證明：因?yàn)椋煽挛鞑坏仁降茫?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．10．（1）設(shè)，，是正實(shí)數(shù)，且滿足，證明：；（2）設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，所證不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合均值不等式即可證得結(jié)論；（2）結(jié)合均值不等式與柯西不等式證明即可.【詳解】證明：（1）設(shè)，不等式可變?yōu)椋捎冢?；；，以?個(gè)式子相乘即可證得結(jié)論．（2）因?yàn)?，，相加得，所以．．證畢．11．利用麥克勞林替代法證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】若保持，以分別代替和，這時(shí)兩個(gè)數(shù)的和仍然是S，但兩個(gè)數(shù)的積卻增加了，即有，由于表示兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值大于幾何平均值，且當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立．【詳解】證明：當(dāng)變動(dòng)，，…，，但保持它們的和不變時(shí)，乘積必須在時(shí)取極大值．因?yàn)橹灰?，我們用分別代替和，這時(shí)和仍然不變，但它們的乘積卻增加了，即有：．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．故（，，2，…，n），即命題成立．12．利用證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】由不等式得，累乘得，即可證得結(jié)論.【詳解】證明：設(shè)，，由不等式，可知，對(duì)于每一i都有：，，2，…，n．求其乘積，得，故，即（，，2，…，n）．13．利用不等式證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】假設(shè)，．當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立．只需要證，式中是不全相等的n個(gè)正數(shù)．再利用不等式以及數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】證明：假設(shè)，．要證（，，2，…，n，），當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立．故只需要證，式中是不全相等的n個(gè)正數(shù)．利用不等式以及數(shù)學(xué)歸納法證