第一篇代數(shù)與近世代數(shù)專題2群、環(huán)、域等新定義問題微點(diǎn)2群、環(huán)、域等新定義問題綜合訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一篇代數(shù)與近世代數(shù)專題2群、環(huán)、域等新定義問題微點(diǎn)2群、環(huán)、域等新定義問題綜合訓(xùn)練加習(xí)題第一篇代數(shù)與近世代數(shù)專題2

群、環(huán)、域等新定義問題微點(diǎn)2

群、環(huán)、域等新定義問題綜合訓(xùn)練一、單選題：1．對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)和，定義運(yùn)算，若，則復(fù)數(shù)為

A． B． C． D．2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，把代數(shù)運(yùn)算的值叫做x與y的“加乘和諧數(shù)”，記作符號(hào)“”，其中a，b，c是常數(shù)，若已知，，若恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)非零實(shí)數(shù)m的值為A．2 B．4 C．6 D．8（2023遼寧沈陽外國(guó)語學(xué)校模擬）3．設(shè)全集，且的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2個(gè)字符為1，第4個(gè)字符為1，其余字符均為0的6位字符串010100，并規(guī)定，空集表示的字符串為000000；對(duì)于任意兩集合，，我們定義集合運(yùn)算且，．若，，則表示的6位字符串是（

）A．101010 B．011001 C．010101 D．000111（2023福建泉州五校聯(lián)考）4．向量的運(yùn)算包含點(diǎn)乘和叉乘，其中點(diǎn)乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個(gè)不共線的空間向量與，規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長(zhǎng)方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．長(zhǎng)方體的體積（2022廣東茂名調(diào)研）5．一個(gè)二元碼是由和組成的數(shù)字串（），其中（，，，）稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由變?yōu)?，或者由變?yōu)椋?已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：，其中運(yùn)算定義為：，，，.已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了，那么用上述校驗(yàn)方程組可判斷等于（

）A． B． C． D．（2023上海交通大學(xué)附中模擬）6．若集合且，則稱構(gòu)成的一個(gè)二次劃分.任意給定一個(gè)正整數(shù)，可以給出整數(shù)集的一個(gè)次劃分，其中表示除以余數(shù)為的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.這樣我們得到集合，稱作模的剩余類集.模的剩余類集可定義加減乘三種運(yùn)算，如，（其中為除以的余數(shù)）.根據(jù)實(shí)數(shù)中除法運(yùn)算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為乘法，因此要定義除法運(yùn)算只需通過定義倒數(shù)就可以了，但不是所有中都可以定義除法運(yùn)算.如果該集合還能定義除法運(yùn)算，則稱它能構(gòu)成素域.那么下面說法錯(cuò)誤的是（

）A．能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù) B．C．是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少） D．二、多選題7．定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量，，令，下面說法一定正確的是（

）A．對(duì)任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等8．非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：對(duì)于任意的、，都有，則稱集合關(guān)于運(yùn)算為“回歸集”．下列集合關(guān)于運(yùn)算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實(shí)數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實(shí)數(shù)的乘法（2023江蘇蘇州五中月考）9．非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意a，，都有；（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算，其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是（

）A．，為實(shí)數(shù)的乘法 B．，為整數(shù)的加法C．，為整數(shù)的乘法 D．，為多項(xiàng)式的加法三、填空題：10．用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=．例如：(-3)☆2=

=2．從﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任選兩個(gè)有理數(shù)做a，b(a≠b)的值，并計(jì)算a☆b，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是．11．對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)?，定義運(yùn)算，若，則復(fù)數(shù).（2023福建永安三中模擬）12．對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”，，函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.13．非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)任意，都有；②存在使對(duì)一切都有，則稱是關(guān)于運(yùn)算的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：①是非負(fù)整數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；②是偶數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；③是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；④，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；其中為融洽集的是14．非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)于任意都有；②存在，使對(duì)一切都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算為和諧集，現(xiàn)有下列命題：①G={為偶數(shù)}，為復(fù)數(shù)的乘法，則G為和諧集．②G={二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法，則G不是和諧集．③若為實(shí)數(shù)的加法，G且G為和諧集，則G要么為，要么為無限集．④若為實(shí)數(shù)的乘法，G且G為和諧集，則G要么為，要么為無限集．其中正確的有．四、解答題（2023河北邢臺(tái)六校聯(lián)考）15．中學(xué)階段，對(duì)許多特定集合的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算（如四則運(yùn)算）和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在上定義一個(gè)運(yùn)算，記為，對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，，規(guī)定：．（1）計(jì)算：；（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述運(yùn)算滿足交換律，并給出證明；（3）若“中的元素”是“對(duì)，都有成立”的充要條件，試求出元素．（2023江蘇蘇州高新區(qū)一中月考）16．定義兩種新運(yùn)算“”與“”，滿足如下運(yùn)算法則：對(duì)任意的，有，.設(shè)全集且，集合且，．(1)求全集和集合.(2)集合是否能滿足？若能，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．(3)若，且，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.17．通信編碼信號(hào)利用信道傳輸，如圖1，若信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來的信號(hào)完全相同；若信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以兩個(gè)信道為例，如圖2）．華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以兩個(gè)相互獨(dú)立的信道傳輸信號(hào)為例）：如圖3，信號(hào)直接從信道2傳輸；信號(hào)在傳輸前先與“異或”運(yùn)算得到信號(hào)，再?gòu)男诺?傳輸．接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)或．（注：“異或”是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算．兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0，兩個(gè)不同數(shù)字“異或”得到1，“異或”運(yùn)算用符號(hào)“”表示：，，，．“異或”運(yùn)算性質(zhì)：，則）．假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為．．(1)在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)和均被成功接收”為事件，求：(2)對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)被成功解碼（即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定的值）的概率；②若對(duì)輸入信號(hào)賦值（如）作為已知信號(hào)，接收端只解碼信號(hào)，求信號(hào)被成功解碼的概率.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．D【詳解】試題分析：利用定義（a，b）*（c，d）=ad﹣bc，列出方程zi+z=1﹣i，表示出z，分子、分母同時(shí)乘以1﹣i得到z的值．詳解：因?yàn)椋╝，b）*（c，d）=ad﹣bc，又（1，﹣1）*（z，zi）=1﹣i所以zi+z=1﹣i所以，故選D．點(diǎn)睛：本題是一道有關(guān)新定義的題，是近幾年?？嫉念}型，關(guān)鍵是理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決．復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.2．B【分析】由新定義的運(yùn)算，及，，構(gòu)造方程組，不難得到參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系又由有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可求出滿足條件的m的值．【詳解】根據(jù)題意，若已知，，則有，變形可得，．又由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則有，m為非零實(shí)數(shù)，則，又由，則有．又由．解可得：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查合情推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握“加乘和諧數(shù)”的定義，對(duì)于新定義的題目主要是認(rèn)真讀題，明白題意，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3．C【分析】利用集合的新定義得出，再由集合的字符表示即可求解.【詳解】由題意可得若，，則，所以此集合的第2個(gè)字符為1，第4個(gè)字符為1，第個(gè)字符為1，其余字符均為0，即表示的6位字符串是010101.故選：C4．C【分析】利用向量的叉乘的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】解法一：同時(shí)與，垂直；，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系，且，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)右手系知：與反向，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，且與同向共線；又因?yàn)?，且與同向共線，，與同向共線，所以，且與同向共線，，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為．又因?yàn)橛捎沂窒抵蛄糠较虼怪钡酌嫦蛏?，與反向，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：，，，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則，，，則．所以，故選項(xiàng)C正確；故選：C．5．A【分析】根據(jù)校驗(yàn)方程組分別判斷各位碼元的正誤.【詳解】由已知得，故至少錯(cuò)誤一個(gè)，又，正確，故均正確，，正確，故均正確，綜上所述，錯(cuò)誤，故選：A.6．D【分析】先證明出A選項(xiàng)正確，從而說明C選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)根據(jù)定義求解即可.【詳解】能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù)，理由如下：當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，除0外，均與互素，此數(shù)記作，對(duì)于，考慮，若，則為的倍數(shù)，而為素?cái)?shù)，故，故為的倍數(shù)，即，故存在，使得即可定義除法.當(dāng)能構(gòu)成素域，若是不素?cái)?shù)，則，故對(duì)于，存在，使得，故為的倍數(shù)，故存在整數(shù)，使得，故，但，且為非零的整數(shù)，故不成立，故是素?cái)?shù).綜上：能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù)，A正確；因?yàn)?，所以，B正確；根據(jù)A選項(xiàng)，由于2為最小的素?cái)?shù)，有2個(gè)元素，元素個(gè)數(shù)最少，所以是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少），C正確；因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)睛】集合新定義，需要先讀懂題干信息，正確理解，再此基礎(chǔ)上舉一反三，進(jìn)行求解，本題中A選項(xiàng)的證明是解題的關(guān)鍵.7．AD【分析】由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.【詳解】設(shè)向量，，對(duì)于A，對(duì)任意的，有，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，而此方程組無解，故B不正確；對(duì)于C，若與垂直，則，設(shè)，則，，其中，故C不正確；對(duì)于D，若與共線，則，設(shè)，，，所以與的模相等，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問題、解決問題的能力.8．BC【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及特殊值法判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，為自然數(shù)的減法，則，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，若，對(duì)任意的、，則，B滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，若，對(duì)任意的、，則，C滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，已知全集，集合，，取，，則，D不滿足條件.故選：BC.9．AB【分析】根據(jù)是關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”的定義，逐一分析四個(gè)集合及運(yùn)算是否滿足定義，可得答案．【詳解】對(duì)于，，為實(shí)數(shù)的乘法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，正確，對(duì)于，非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，正確，對(duì)于，偶數(shù)，為整數(shù)的乘法，若存在滿足（2），則為奇數(shù)，與已知矛盾，故不是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，錯(cuò)誤，對(duì)于，，為多項(xiàng)式的加法．兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次三項(xiàng)式，不滿足（1），故不是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，錯(cuò)誤，故選：．10．8【詳解】解：當(dāng)a＞b時(shí)，a☆b==a，a最大為8；當(dāng)a＜b時(shí)，a☆b==b，b最大為8，故答案為8．11．【分析】利用定義，列出方程zi+z=1﹣i，表示出z，分子、分母同時(shí)乘以1﹣i得到z的值．【詳解】因?yàn)?，又所以zi+z=1﹣i所以，所以故答案為：.12．【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖像，由題意可得函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像求得結(jié)果【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即或時(shí)，，函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像可得，要使函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，只要函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以由圖可知或，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是，故答案為：13．①④【分析】逐一驗(yàn)證幾個(gè)選項(xiàng)是否分別滿足“融洽集”的兩個(gè)條件,若兩個(gè)條件都滿足,是“融洽集”,有一個(gè)不滿足,則不是“融洽集”【詳解】①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù),則仍為非負(fù)整數(shù),即；取,則,故①符合題意；②對(duì)于任意偶數(shù),則仍為偶數(shù),即；但是不存在,使對(duì)一切都有,故②不符合題意；③對(duì)于是所有二次三項(xiàng)式組成的集合,若,不再是二次三項(xiàng)式,故③不符合題意；④對(duì)于,設(shè),,則,即；取,則,故④符合題意,故答案為:①④【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新定義“融洽集”的理解,考查理解分析能力14．②③【分析】根據(jù)已知中關(guān)于和諧集的定義：非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)于任意都有；②存在，使對(duì)一切都有，我們利用題目四個(gè)結(jié)論中所給的運(yùn)算法則，對(duì)所給的集合進(jìn)行判斷，特別是對(duì)特殊元素進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】對(duì)于為偶數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法，則根據(jù)偶數(shù)的和還是偶數(shù)，故滿足條件①，但不存在，使對(duì)一切都有，不滿足條件②，故①為偶數(shù)為復(fù)數(shù)的乘法，G為和諧集不正確；對(duì)于二次三項(xiàng)式，若時(shí)，的兩個(gè)同類項(xiàng)系數(shù)，則其和不再為三項(xiàng)式，故G不是和諧集，故②正確；對(duì)于為實(shí)數(shù)的加法且為和諧集，要么為時(shí)滿足要求，若G中存在不為0的實(shí)數(shù)元素，則必為無限集，故③正確；若為實(shí)數(shù)的乘法且為和諧集，則G可以為，也可以為，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③.15．（1）（2）交換律：，證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)題中條件，直接計(jì)算，即可求出結(jié)果；（2）直接得出，再證明，由題中規(guī)定，分別得到與，即可證明結(jié)論成立；（3）根據(jù)題意，由（2）的結(jié)果，得到只需，根據(jù)題中規(guī)定，得到只需，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)于中的任意兩個(gè)元素，，規(guī)定：．所以．（2）交換律：，證明如下：由題知：，，∴．（3）若中的元素，對(duì)，都有成立，由（2）知只需．故，即．①若，顯然有成立；②若，則，解得．∴當(dāng)對(duì)