專轉(zhuǎn)本高數(shù)6級(jí)數(shù)新

an收斂SnanS（有限）n

kliman②an與bn收斂，則(anbn③anbn(anbn④anbn(anbn p⑤ ＝n p⑥qn 6.1．計(jì)算n(n 1

qconst. k1 解：Snn(n3)3( 3)3(1n3),(nk1 k n1n(n 6.2．計(jì)算qn（qconstSn

11

1q

(n n所以n

1an(an0)如果

l1,an1lan1

l

n6.3na解：limn1

(n

nnn

n

n(n nn 26.42 n 2n n1 解：limn1lim lim n n2n1 例6.5．判別級(jí)數(shù)

2 3 3572n解：liman1

0n

n357...(2n 2比較判別法有三種形式：一種稱為囿級(jí)數(shù)法；一種為極限式；一種為等價(jià)無(wú)窮小式。囿級(jí)數(shù)法：如果0anbn（對(duì)充分大n）成立且bn收斂，則an收斂；anbn0bn發(fā)散，則an（極限式：如果liman（n

l

0)l0且bn收斂，則an收斂；l且bn發(fā)散，則an發(fā)散。 n p，(C0)，p>1，an收斂，p1，an發(fā)散n

sin2n2sin2 sin2 n2 n2，而n2收斂，由比較判別法知

n22n12n1

3narctan

3n

2 23n收斂6.8．已知a收斂（a0）a2 證明：因?yàn)閍n收斂，故liman0n 0an10aa2

n收斂，由比較判別法知a2n 6.9．正項(xiàng)級(jí)數(shù)anbnanbn 0ab1(a2b2n aba2b2 116.10解：因?yàn)?/p>

13n1 1 而 發(fā)散，由比較判別法知 發(fā)散3n43n46n2

2n2n3n42n3n46n2p1lnn6.123/nllimn3/2limlnn

nn1/1ln 考慮極限lim xx1/1

x14x

xx1/l0n54e6.130el

0e001n0

lim0lim

0 1

n x x 1n2 n例6.14． sinn1

2n 2n n 5收斂，由比較判別法知 2n1sinn3收斂n 定義1：an 絕對(duì)收斂an收斂。2an條件收斂an發(fā)散，而an 研究一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的流程應(yīng)是先判別絕對(duì)收斂，若絕對(duì)發(fā)散則研究級(jí)數(shù)的條件收斂性。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中最重要的一類級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)()na（a0 交錯(cuò)級(jí) 判別法：對(duì)于級(jí)數(shù)(1n)a若（1）an0anlimann則1nn

例6.15． 解：先考慮級(jí)數(shù) 因 而 收斂，所以 6.16解：對(duì)于

4n26n

是交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 4n26n 4n26n

4n26n例6.17．研究級(jí)數(shù)1

sin1

sin

（kConst

sinnk

=1sin1

k1k11當(dāng)k0時(shí)，limsin 當(dāng)0k1時(shí) (1)nsin

1

為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且sin且sin 0(n)，故 an(xx0n收斂區(qū)間x0Rxx0Rxx0Rxx0R

x x

2n

(2(n1)25)1n2n2x1時(shí)，原級(jí)數(shù)(1)2n251所以，收斂區(qū)間為[1,1]。1例6.19．求3n1例6.19．求3n1

y33

RyR

lim3n113 13n1 13n13n13 , 3)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x 時(shí)，y3，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故 斂區(qū)間為 ) （1）e

x

n11x1 xn, x11x

x（3）sinx

x

xn02ncosx

xn0

n

x6.20fx

2x的冪級(jí)數(shù)。2）x1 x nx n2 2解：1）fx 2 2212

1

xn1,x 2）fx1 1 3x 31x32 nx1 2 n 1 3

x16.21fx

2x1x

x2(2x1)2x 解：f 2x1x 7x3

1 2 n 12 712 n 2 x 2 36.22fxxcos2xx

21cos2解：fxx

x

cosx

1n2x 2n0nx 22nx2n1,xnn126.23fxarctanxfx的冪級(jí)數(shù)展開式a

1

1nx2n在區(qū)間0,x fxf0 n02n fx n02n

x16.24nxn1S(x)nxn11 10S(x)dx

dxxn S(x)x)1

o(1例6.25．求 的和函數(shù) 解：令S(x)1 (xS(x))1x2x4

，1 1xxS(x)01x2dx2ln1x， 1S(x

2xln1xlimun0un收斂（ C．充要條 D．無(wú)關(guān)條正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的 )是前n項(xiàng)部分和數(shù)列 B．充分條件C．充要條 D．無(wú)關(guān)條下列級(jí)數(shù)中收斂的是

A．1 n n nn1 C．n D．2n 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是

n1

2

3(1)n 2n32n3

2n

下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是 n n

2n n n 下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是 ln(n B．3nC．1n 33

冪級(jí)數(shù)

n的收斂域是（n 8.已知級(jí)數(shù)

， 時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂； 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)

n!的和函數(shù)S(x) =，lim 。 sin n（1） （2）an!，（a0,an

n2

n1

n3 n n

(n nnnn

n nsinnsin

n2n

(1)n1arcsin n1n2 2 2n

n（1）n

（2）(2n1)(2nx x n（3）n

（4） (2xnnf(x(1xln(1xx1f(x)

x24xx

f(x)

2

求n(n1)1（2003） nA. 收 n

nn nC.n

絕對(duì)收 1

2（2003）

4

展開成x的冪級(jí)數(shù)，并收斂區(qū)間（不考慮區(qū)間端點(diǎn)3（2004）

(x的收斂區(qū)間 n4（2004） x

x225（2005）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）un與（2）u，則下列說(shuō)法中正確的是2n C.若（1）發(fā)散，則（2）可能發(fā)散也可能收斂。D.（1（2）6（2005）冪級(jí)數(shù)(2n1)xn的收斂域 7（2005）.

xx2展開為x的冪級(jí)數(shù)， 級(jí)數(shù)(2n1)p2 f(x)

1

，展開為x的冪級(jí)數(shù) 下列級(jí)數(shù)條件收斂的是

n12

(33(1)n C． 下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是

2n32n3 ln(n B．3n

D.33ax(a0,a1)展開為x的冪函數(shù)是

(xln (xlnxnx

nnn nnn

的收斂半徑R 1 B． 3(1)n

在x的和函數(shù)S(x) nn

D．2冪函數(shù) x3x 的收斂半徑是 2 A． 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是

3(1)n

n nC． n

D．n(n判斷(1)n

n1 n) 2求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑和收2設(shè)p0，討論p為何值時(shí)，級(jí)數(shù) n1收斂1x ln1xx 1討論 n在0a1,a1和a1三種條件下的斂散16Ａ2．Ｃ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂp4;3p4;p sin10（１）

n2

n2

，

an1n n （２）limn1lim lima ae1nan

na

an n

n31 1 （３） ln

ln1n3n3，而n3 （４）發(fā)散。因?yàn)?nlnnlnn

1 （５）收斂。1 n11 ，所以lim 1 1而n321

n3/

2

lim2

2

0

n n1

n

n

1n1（７）

lim lim 0n nn nn1 n

nsinnn2n

n2n n

n充分大 n3/2

，而

n2（９）

n2

發(fā)散，而1n1

n2

n2趨于零，故

n2 n

arcsinnarcsin n1(n)，故絕對(duì)發(fā)散1n而(1)narcsin1為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。且arcsin10 (1)narcsin1條件收斂n11（

(n1)21n

nn2 ， ，x2n21xn21 1 (x2n21(2)n21收斂區(qū)間為11222, 2, （2）令y (2n1)(2n

(2n1)(2nRy Rx收斂區(qū)間為n（3）令yx2，原級(jí)數(shù)x1 nyRlimyn

)Rx 當(dāng)x ，原級(jí)數(shù)= 5,

1 （４）令y2x1，原級(jí)數(shù) 1yn，

1,

Ry1 1y1,ny1112gxln1xgx1

1nxn

x

xn1

1 n01

nn

xn1

x 1x3(x 解：fx (x3)(x 2(x3)(x1( 1) 2x x 22x 24x1 41x 81x 1 1

1x

1

1(x44

n1n 1x1nx12n 84n

14．（1）解：fx

x22n 2 12n2

n0

n(2)解：fx 2

1(x 1 12x1x11。1(x15xln(1xxln(1x)p3；2p3；p

2n 1Ａ4.Ｂ5.Ｃ6.Ｃ7.Ａ8.Ｂ9. 1n1 10．解：an ，an1 n1n1 n1

發(fā)散，即不絕對(duì)收斂。ann1n1 2 2yx2nn2nRy

2n1n12，R 2nx當(dāng)y