專題42隨機(jī)抽樣用樣本估計(jì)總體（原卷版）

專題42隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體№專題42隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題42隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體在高考中是出題頻率比較高，其中抽樣方法容易出選擇題，頻率分布直方圖考的比較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合目前的實(shí)際問題出題，考查分析問題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計(jì)2024年的高考隨機(jī)抽樣還會(huì)出題，出題形式可以是選擇、填空，也可以是解答，在解答題中常與概率等聯(lián)合出題，考查分析問題能力和計(jì)算能力。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握各種抽樣方法，理解頻率分布直方圖；2.理解樣本的數(shù)字特征，并會(huì)計(jì)算數(shù)字特征?！?考點(diǎn)精析←一隨機(jī)抽樣的方法1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)抽取方式:逐個(gè)不放回抽取;

(2)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等;

(3)常用方法:抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.分層抽樣(1)定義:在抽樣時(shí),將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣.(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍:當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層抽樣.

二樣本的數(shù)字特征1.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);

(2)決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視比較明顯,使它無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))

中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率,它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn),但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)x=x平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差①標(biāo)準(zhǔn)差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…②方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2.s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]→?真題精講←1．（全國(guó)高考真題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)2．（天津高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的費(fèi)率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A． B． C． D．3．（全國(guó)高考真題（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備新設(shè)備舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．4．（2021·河南高三其他模擬（文））2021年7月1日是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，某社區(qū)將組織主題為“紅歌獻(xiàn)給黨”的百人大合唱，將這100人的年齡分成，，，，，，7段后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這100人年齡的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表)，并求中位數(shù)的估計(jì)值；（2）若從樣本中年齡在的人員中按分層抽樣法選取5人，然后從這5人中選出2人做領(lǐng)隊(duì)，求這2名領(lǐng)隊(duì)分別來自與兩組的概率.→?模擬精練←1．（2023·江蘇南通·二模）已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）A．甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D．甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為____________（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.3．（2021·河南高三其他模擬（文））某生物研究小組準(zhǔn)備探究某種蜻蜒的翼長(zhǎng)分布規(guī)律，隨機(jī)捕捉20只該種蜻蜓，測(cè)量它們的翼長(zhǎng)（翼長(zhǎng)為整數(shù)，單位：mm）并繪制成如下的莖葉圖和一部分頻率分布直方圖，其中基葉圖中有一處數(shù)字看不清（用表示），但已知莖葉圖中每一行的數(shù)據(jù)都按照從小到大的順序排列且無(wú)相同數(shù)據(jù)頻率分布直方圖每個(gè)分組含左端點(diǎn)不含右端點(diǎn)．（1）求的值；（2）根據(jù)莖葉圖將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）分別根據(jù)莖葉圖和頻率分布直方圖計(jì)算蜻蜓翼長(zhǎng)的中位數(shù)，并分析哪個(gè)中位數(shù)可以更準(zhǔn)確地反映蜻蜓翼長(zhǎng)的總體情況．4．（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三三模（文））2020年7月29日，貴州省林業(yè)局發(fā)布全省2019年度森林覆蓋率，黔東南州森林覆蓋率為，這是自2012年全省開展小康森林覆蓋率指標(biāo)監(jiān)測(cè)工作以來，黔東南州連續(xù)年位居全省市州第一，“綠水青山就是金山銀山”已成為新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容.某社團(tuán)在一次研學(xué)旅活動(dòng)中，為了解某苗圃基地的紅豆杉幼苗生長(zhǎng)情況，從基地的樹苗中隨機(jī)抽取了株測(cè)量高度(單位：)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，，分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值，并估計(jì)樹苗的平均高度；（2）該社團(tuán)決定從樹苗的高度在中采用分層抽樣的方法抽取株樹苗帶回學(xué)校栽種，然后再?gòu)倪@株樹苗中隨機(jī)抽取株跟蹤研究，求恰有株樹苗高度在的概率.5．（2021·黑龍江大慶市·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬（文））某企業(yè)銷售部門為了解員工的銷售能力，設(shè)計(jì)了關(guān)于銷售的問卷調(diào)查表，從該部門現(xiàn)有員工中性別(男生占45%)分層抽取n名進(jìn)行問卷調(diào)查，得分分為1，2，3，4，5五個(gè)檔次，各檔次中參與問卷調(diào)查的員工的人數(shù)如條形圖所示，已知第5檔員工的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.（1）（i）求n與a的值；（ii）若將某員工得分所在的檔次作為該員工的銷售能力基數(shù)(記銷售能力基數(shù)為能力基數(shù)高，其他均為能力基數(shù)不高).在銷售能力基數(shù)為5的員工中，女生與男生的比例為7∶3，以抽的n名員工為研究對(duì)象，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為銷售能力基數(shù)高不高與性別有關(guān).男生女生合計(jì)銷售能力基數(shù)高銷售能力基數(shù)不高合計(jì)（2）為提高員工的銷售能力，部門組織員工參加各種形式的培訓(xùn)講座，經(jīng)過培訓(xùn)，每位員工的營(yíng)銷能力指數(shù)y與銷售能力基數(shù)以及參加培訓(xùn)的次數(shù)t滿足函數(shù)關(guān)系式.如果員工甲的銷售能力基數(shù)為4，員工乙的銷售能力基數(shù)為2，則在甲不參加培訓(xùn)的情況下，乙至少需要參加多少次培訓(xùn)，其營(yíng)銷能力指數(shù)才能超過甲？參考數(shù)據(jù)及參考公式：，附：，其中.6．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；(2)為營(yíng)造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場(chǎng)在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：每場(chǎng)比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場(chǎng)在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為X，求．參考數(shù)據(jù)：．→?專題訓(xùn)練←1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過125C．估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119D．四年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩超過125次以上優(yōu)秀，則估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)優(yōu)秀率為35%2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測(cè)量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．頻率分布直方圖中aB．這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C．據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為623．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在某市高二舉行的一次期中考試中，某學(xué)科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的有（

）A．樣本容量B．圖中C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為分D．該市要對(duì)成績(jī)由高到低前的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號(hào)4．（2021·全國(guó)高考真題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)5．（2021·全國(guó)高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同6.為了評(píng)估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評(píng)估小組進(jìn)行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機(jī)抽取500名客戶的評(píng)分，評(píng)分均在區(qū)間上，分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定評(píng)分在60分以下表示對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這500名客戶中對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．187.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A． B． C． D．8.演講比賽共有10位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從10個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到8個(gè)有效評(píng)分．8個(gè)有效評(píng)分與10個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）．A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差9.某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號(hào)后再放回池中，經(jīng)過一段時(shí)間后，再?gòu)脑擊~池中捕得100，經(jīng)過發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的魚有10條（假定該魚池中魚的數(shù)量既不減少也不增加）則池中大約有魚（）A．120 B．1000條 C．130條 D．1200條10.某地區(qū)有高中生人，初中生有人，小學(xué)生人，此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知抽取的高中生人數(shù)為人，則該地區(qū)教育部門共抽取了人進(jìn)行調(diào)查（）A． B．C． D．11．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模擬（理））某科技企業(yè)投資2億元生產(chǎn)一種供5G智能手機(jī)使用的芯片，該芯片因生產(chǎn)原因其性能存在著一定的差異，該企業(yè)為掌握芯片的性能情況，從所生產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取了200片進(jìn)行了性能測(cè)試，得到其性能指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表).性能指標(biāo)值/分頻數(shù)203040603020利用樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問題：（1）估計(jì)該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片性能指標(biāo)值的平均數(shù)；（2）每塊芯片的性能等級(jí)和純利潤(rùn)(單位：元/片，)如下表所示：性能指標(biāo)值等級(jí)次品級(jí)級(jí)級(jí)純利潤(rùn)（i）從該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取3片芯片，試求至少有2片芯片為級(jí)或級(jí)芯片的概率；（ii）若該科技企業(yè)該芯片的年產(chǎn)量為200萬(wàn)片，其中次品直接報(bào)廢處理，其他芯片全部能被手機(jī)廠商收購(gòu)，問：該企業(yè)兩年之內(nèi)是否有可能收回總投資？試說明理由.參考數(shù)據(jù)：.12．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．13．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），