自動(dòng)控制原理二九

第五節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法8/27/20231

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進(jìn)行校正。8/27/20232一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析

[例4-11]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的區(qū)值范圍。開環(huán)極點(diǎn)：0，-4，-6，，零點(diǎn)：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)：傾角：[解]根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：8/27/20233分離角（點(diǎn)）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值為9.375，這時(shí)s=-2.5，是近似分離點(diǎn)。由：可以求得分離點(diǎn)。近似求法：分離點(diǎn)在[-4，0]之間。8/27/20234入射角：與虛軸的交點(diǎn)（略）。這時(shí)的增益值：由圖可知：當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（為什么？）；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。左圖是用Matlab工具繪制的。8/27/20235條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。具有正反饋的環(huán)節(jié)。下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：開環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；8/27/20236[例]非最小相位系統(tǒng)：，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益值。[解]：根軌跡如右：有閉環(huán)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點(diǎn)在原點(diǎn)。該點(diǎn)的增益臨界值為。閉環(huán)特征方程為：，當(dāng)s=0時(shí)，，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：8/27/20237二、嬌瞬態(tài)掙性能乖分析雨和開刷環(huán)系綱統(tǒng)參免數(shù)的漁確定利用弊根軌行跡可治以清籍楚的潮看到赴開環(huán)規(guī)根軌即跡增跑益或犯其他鎖開環(huán)忌系統(tǒng)襲參數(shù)死變化忌時(shí)，宰閉環(huán)訓(xùn)系統(tǒng)務(wù)極點(diǎn)吸位置那及其項(xiàng)瞬態(tài)害性能嗽的改模變情喚況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點(diǎn)為：在s平面肝上的舍分布硬如右反圖：閉環(huán)極點(diǎn)的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。7/鏈6/鏡20薄238我們炭知道售閉環(huán)自二階休系統(tǒng)棗的主數(shù)要的扮性能寬指標(biāo)院是超捧調(diào)量冰和調(diào)巾整時(shí)去間。走這些蟻性能原指標(biāo)概和閉毫環(huán)極鍬點(diǎn)的貿(mào)關(guān)系逢如下承：的關(guān)系如下圖若閉環(huán)極點(diǎn)落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：7/逝6/吹20允239上述紅結(jié)論際也可思應(yīng)用嫁于具汽有主菌導(dǎo)極尺點(diǎn)的艇高階頭系統(tǒng)戶中。規(guī)如下竄例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為+j5,-j5，這時(shí)的臨界增益當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。7/封6/貸20百2310下面計(jì)算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時(shí)解得：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點(diǎn)越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計(jì)算。在根軌跡圖上畫兩條與實(shí)軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點(diǎn)。則A、B兩點(diǎn)就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）7/拋6/雜20竿2311由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點(diǎn)為：。計(jì)算對應(yīng)的根軌跡增益。由幅值條件：解得：開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時(shí)，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計(jì)0極點(diǎn)。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，所以另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：7/蝴6/范20摧2312[特術(shù)別提降示]哭：開環(huán)倒零、販極點(diǎn)宿對根迷軌跡患形狀略的影拐響是團(tuán)值得勺注意手的。一般水說，謙開環(huán)厲傳遞微函數(shù)爆在s左半巧平面兔增加征一個(gè)備極點(diǎn)喂將使賽原根丈軌跡拾右移慎。從趁而降尾低系坡統(tǒng)的吵相對尤穩(wěn)定嘴性，農(nóng)增加猛系統(tǒng)陷的調(diào)噸整時(shí)叫間。7/綿6/洲20宇23137/農(nóng)6/米20潤2314若在頌開環(huán)庫傳遞傅函數(shù)集中增鞭加一之個(gè)零泄點(diǎn)，仆則原罰根軌暈跡向鍬左移巖動(dòng)。須從而脂增加執(zhí)系統(tǒng)寶的穩(wěn)楚定性蠻，減供小系嗽統(tǒng)響迎應(yīng)的狀調(diào)整仰時(shí)間揀。7/信6/標(biāo)20癢2315Ma吳tl親ab參考行書推臟薦：現(xiàn)代下控制淚工程刪，[秤美]Ka帝ts貸uh綿ik朗oOg參at佳s,盧伯戲英譯機(jī)，電子魯工業(yè)廈出版其社MA躁TL銅AB控制把系統(tǒng)亞設(shè)計(jì)悠，歐盯陽黎底明著肝，國防觀工業(yè)鄰出版霸社三、框用Ma運(yùn)tl賺ab繪制店根軌氏跡7/她6/椒20云2316nu六m=膛[0禁0揪0巾1肅];%開環(huán)踐傳遞羞函數(shù)樣分子蓬系數(shù)傘，降隨冪排徑列de惡n=峽[1套3但2集0仰];%開環(huán)聯(lián)傳遞矩函數(shù)營分母創(chuàng)系數(shù)改，降宗冪排偶列r=rl診oc閃us(n煩um蓬,d圖en澆);[例子]系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)肕atlab畫出系統(tǒng)的根軌跡。[解提]打刑開Ma角tl半ab,創(chuàng)建塵一個(gè)m文件辱，輸客入下向列程競序片某段：執(zhí)行之，可得到根軌跡。7/南6/史20行2317例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計(jì)算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：7/榮6/汪20鼠2318

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點(diǎn)起始，終止于開環(huán)零點(diǎn)-1處；另兩條從原點(diǎn)以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點(diǎn)處。會(huì)合分離點(diǎn)：由方程得解得在根軌跡上，因此是會(huì)合點(diǎn)。不在根軌跡上，舍去。7/高6/無20鄰2319求與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當(dāng)時(shí)，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為。（2）由勞斯表可知當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。7/自6/備20培2320畫根軌跡

分離（會(huì)合）點(diǎn)分別為-2.93和-17.07，分離（會(huì)合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。7/球6/沿20昆2321當(dāng)時(shí)，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實(shí)部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當(dāng)時(shí)直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

7/警6/敲20土2322對于分離點(diǎn)，由幅值條件可知對于會(huì)合點(diǎn)，有由根軌跡圖可知，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。7/垮6/盈20綁2323由坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為。7/謊6/痕20尋2324[例撞4-沸15柳]：霜設(shè)系齡統(tǒng)A和B有相脂同的悟被控顆對象惰，且障有相贏同的名根軌替跡，僅如下梨圖所終示。徐已知寒系統(tǒng)A有一修個(gè)閉圍環(huán)零層點(diǎn)，糟系統(tǒng)B沒有瘡閉環(huán)柔零點(diǎn)往。試迎求系窄統(tǒng)A和B的開甜環(huán)傳更遞函桐數(shù)和鄭它們粱所對傷應(yīng)的卸閉環(huán)把方塊框圖。7/戲6/明20氣2325②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：7/賢6/四20擱2326由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根軌育跡相右同的夫系統(tǒng)壁，開穩(wěn)環(huán)傳憶遞函架數(shù)和因閉環(huán)柿極點(diǎn)英都相彎同，留但閉螺環(huán)零慕點(diǎn)卻孕不一火定相鈔同。7/走6/隊(duì)20愁2327[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時(shí)均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。7/昌6/嗓20梁2328[解桌]：①由根殖軌跡凳圖知恭系統(tǒng)刃的開姨環(huán)傳悉遞函鑼數(shù)為罵：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示圍：①加入奧比例糠微分波控制過后，野系統(tǒng)桐增加助了開祖環(huán)零讓點(diǎn)。②在系償統(tǒng)中闊加入壤零點(diǎn)罷后，破將使搞根軌隆跡左帽移，憑有利框于系殖統(tǒng)的宴穩(wěn)定乓性。

②當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)：這時(shí)漸近線與實(shí)軸的夾角為：，只要漸近線與負(fù)實(shí)軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 7/狀6/坐20虧2329從下迫圖可覺以看執(zhí)出：a越小杜，根欄軌跡碑越左飼，穩(wěn)賄定性從越好剝。a<侍6時(shí)，業(yè)根軌爹跡全占部在s左半牌平面每。a=勤6時(shí)，表根軌蹦跡有遵一部反分在鹽虛軸汽上。a>梳6時(shí)，鎮(zhèn)根軌嬸跡有庭一部盡分在s右半喉平面文。cl類ea井r掩al兄l;nu暫m1圓=[躺0稼0霜1磁3]凍;de干n1卸=[繡1川6哪0阻0]破;nu植m