2021-2022學年湖北省宜昌市縣三斗坪高級中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析

2021-2022學年湖北省宜昌市縣三斗坪高級中學高二數(shù)

學理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.某人從2008年起，每年1月1日到銀行新存入a元（一年定期），若年利率為1保

持不變，且每年到期存款自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2012年1月1日將所有存款

及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)為（）（單位為元）

ACB.川內(nèi)cW+?措"小。詞

參考答案：

B

2.下列說法錯誤的是（）

A、，嚴‘是"6=30°”的必要不充分條件

B、命題“若a=0,則而=0”的否命題是:“若存0,則。厚0”；

C、若命題p：3x^R,x2-x+l<0,則rp：▼xUR,x2-x+l>0；

D、函數(shù)尸二】器式/-2口的單調(diào)增區(qū)間是（1,他）

參考答案：

D

?—+—^<?2+i2+（a-i）a.

3.給出下述命題：①若?則ab

②若“<加va,③若處<0,則卜-3|<卜|+|母

④若則J>戶其中不正確的是()

A.①②Bo①③Co③D?③④

參考答案：

C解析：由ab可得ab若

必<o,則卜_"=11+P1,若4—<M則國<14得？>b\

4.拋物線爐=4ax(a<0)的焦點坐標

是()

A.(a,0)B.(-a,o)c.(0,a)D.(O,-a)

參考答案：

A

5.已知函數(shù)>=/(x)的圖像在點。J(D)處的切線方程是X-31y+1=0,則

/(D+2/。)的值是()

2

A.3B.1C.

4

3D.2

參考答案：

C

略

6.已知命題p：?xGN*,2x>x2,則「p是()

s2x2x2

A.?xGN*,2>xB.?xGN*.2'Wx?C.?xGN*,2<xD.?xeN,.2<x

參考答案：

C

【考點】命題的否定.

【分析】欲寫出命題的否定，必須同時改變兩個地方：①：匕"；②：即可，據(jù)

此分析選項可得答案.

【解答】解：命題p：?xWN*,2x>x2,則-p是?xWN*,2'WX2,

故選：C.

7.過拋物線/=4H的焦點尸的直線與拋物線交于A、8兩點，且以尸卜3,。為坐標原

點，則MOF的面積與SBOF的面積之比為

1遮

A.2B.3c.D.2

參考答案：

D

【分析】

設點4（/,乂）位于第一象限，點》（巧,心），并設直線/月的方程為<:府+1,將該直線

方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出m=T,由拋物線的定義得出點｛的坐

標，可得出點6的縱坐標內(nèi)的值，最后得出"OF的面積與的面積之比為辦的

值.

【詳解】設點”（玉，萬）位于第一象限，點”（馬?為），設直線〃的方程為工=f+],

將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立B=4X,得/---4=°,?■把!=<,

由拋物線的定義得㈤=3,得彳=2,二百=45=8,Q冗>。，二鼻=動，

..一把史料2

可得出力=-39#外同",故選：D.

【點睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物

線綜合問題中的應用，解題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將

三角形的面積比轉(zhuǎn)化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。

8.若圓C：/+V+2x-49+3=0關(guān)于直線2以+班+6=0對稱，則由點3?）向圓所

作的切線長的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

參考答案：

C

9.已知橢圓的兩個焦點為用一石，°）,瑪瓜6,F是此橢圓上的一點，且尸耳戶罵，

l^il1^1=2,則該橢圓的方程是

33j1

工X+ya=1-X-=1

A.6B.4C.

X、W=lxU=l

6D.4

參考答案：

A

略

10.千年潮未落，風起再揚帆，為實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標、實現(xiàn)中華民族偉大復興的

中國夢奠定堅實基礎，某中學積極響應國家號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，據(jù)不完

全統(tǒng)計：

年份（屆）2014201520162017

學科競賽獲省級一等獎及以上學生人數(shù)X51495557

被清華、北大等世界名校錄取的學生人數(shù)y10396108107

根據(jù)上表可得回歸方程亍=b+6中的6為1.35,我校2018屆同學在學科競賽中獲省級一

等獎及以上學生人數(shù)為63人，據(jù)此模型預報我校今年被清華、北大等世界名校錄取的學

生人數(shù)為（）

A.IllB.115C.117D.123

參考答案：

c

,故：V-&CIF，-I3$""95,即i1；4-葡4,將'6a代入上

式,求得e117.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)〃力是定義在R上的奇函數(shù)，且當X>0時，〃力=7T,則'（,（T））

的值為.

參考答案：

-1

由題意可得：

12.從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，從2,4,6,8中任取2個,一共可以組成（用數(shù)字作

答）多少個沒有重復的五位數(shù)字。

參考答案：

7200

13.已知后=1,巾12,則Z與己夾角的度數(shù)為.

參考答案：

12（7

y*

14.若正實數(shù)x,y滿足x+y=l,則的最小值是A.

參考答案：

8

K4y（x+y）*4y4xy4

X、當y=2x取得等號，所以'、?的最小值是8

15.設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f'(x),且f(x)=ex+2x?f(1),則f'(0)

參考答案:

1-2e

【考點】導數(shù)的運算.

【分析】首先求出函數(shù)的導數(shù)f'(x),然后將x=l代入f'(1),再代入x=0,即可求出

結(jié)果.

【解答】解:f'(x)=ex+2f，(1),

則f'(1)=e+2f'(1),

則f'(1)=-e,

則f'(0)=1-2e,

故答案為：1-2e.

1-j

16.1+7表示為a+初,則成*=▲.

參考答案：

,0

略

17.邊長為4的正四面體尸-43C中，E為％的中點，則平面與平面480所成

銳二面角的余弦值為

參考答案：

述

3

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知f(x)=(a?-a-1)x"(a是常數(shù))為幕函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增.

(1)求f(x)的表達式；

f(x)+3x+l

(2)討論函數(shù)g(x)=X在(-M,+8)上的單調(diào)性，并證之.

參考答案：

【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；4U：幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.

【分析】(1)由f(x)為幕函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增，列出方程組，能求出f(x)

的表達式.

2

(2)推導出g(x)=x+『+3,利用定義法和分類討論思想能求出結(jié)果.

【解答】解：(1)Vf(x)=(a2-a-1)xa(a是常數(shù))為嘉函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞

增.

f0

az-a-l=l

由題意得：(&〉0，解得a=2,

/.f(x)=x?.

f(x)+3x+lx”+3x+l2

(2)g(x)=x=x=x+x+3,

+

任取Xi,X2S(-V2)0°),且Xi<X2,

x+2+3x

2x

則g(x.)-g(x2)=(1*1)-(2+3)

_2__2_(x「X2)(X1X2-2)

Xxxx

=(x,-x2)+(12)=l2,

①當-&<X1<X2<0時，X|X2_2<o,Xl-x2<0,x>x2>0,

/.g(xi)-g(X2)>0,即g(xi)>g(x2),

/.g(x)在(-&,0)上單調(diào)遞減.

②當0<X］<時，

X］X2-2<0,Xi-x2<0,XiX9>0,

Ag(xi)-g(x2)>0,即g(xi)>g(X2),

：.g(x)在(0,上單調(diào)遞減.

③當&(X1<X2時

,XiX2-2<0,Xi-X2VO,XiX2<0,

Ag(xi)-g(X2)<0,即g(xi)<g(x2)，

：.&(x)在［加,+8)上單調(diào)遞增.

19.已知函數(shù)f(x)=x(x2-ax+3).

1

(I)若X=5是f(x)的極值點，求f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值與最小值；

(H)若f(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案：

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專題：導數(shù)的綜合應用.

分析：(1)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，令f'(x)=0,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進

而求出函數(shù)的最值；

311

(II)問題轉(zhuǎn)化為aW(x+x)八小1H即可，設g(x)=x+7(x>l),求出函數(shù)g(x)

的最小值，從而求出a的范圍.

解答：解：(I)由f(x)-ax2+3x,得：f'(x)=3x2-2ax+3,

1

由已知得：f'(3)=0,解得：a=5,

/.f(x)=x3-5X2+3X,f(x)=3x2-10x+3,

1

由f'(x)=0,解得：x=3或3,

f(x)與f'(x)在［-1,4］上的變化情況如下:

X-1(-1,113(3,4)4

3(3,3)

1

3)

f'(x)+-+

f(x)-9遞增13遞減-9遞增-4

27

13

函數(shù)f(x)在［-1,4］上的最小值為-9,最大值是27；

(II)f'(x)=3x2-2ax+3,

由f(x)在［1,+8)遞增，得：

31

3x--2ax+3^0,即；aW2(x+x),

31

要使上式成立，只要aW［.(x+x)八小1rt即可，

1

設g(x)=x+x(x》l),

由于g(X)在[1,+8)是遞增，

g(x)股小的=2,

，aW3,

即a的取值范圍是(-8,3].

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，是一道

中檔題.

20.(本小題14分)己知虛數(shù)2滿足I&+5H〃10|.

(1)求?*1；

一z一?-m--

(2)是否存在實數(shù)E,是mZ為實數(shù)，若存在，求出E值；若不存在，說明理

由；

(3)若Q一方射在復平面內(nèi)對應的點在第一、三象限的角平分線上，求復數(shù)Z.

參考答案：

(1)設7=￥，可\，c*§^，0),由|友+5H2440|得：

3+5)2?4/=(r+10f?/化簡得:，?/=25所以|z|=S.............4分

(2)EZE.mX

.Z_.f=o.2__0

m/■?■一,又且=3,m2S'解得m=i5.......8分

⑶由Q一孫--旬①)刈=Q+2y”(y-2r)C及已知得：

x^2y=y-2xt即y=-3x,代入/解得：

2

3而7103辰.底Xio.

y=-----z-----------------1z---------+--------1

2,故22或22..........14分

21.(本小題滿分12分)

/v2⑸

如圖，已知點4是橢圓Jb-的右頂點，若點\22）在橢圓上，且

OCOA^^

滿足2.（其中。為坐標原點）

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線/與橢圓交于兩點時，及，當°跟+。耳mOC,me.（°，2）時，求AO網(wǎng)面

積的最大值.

-OCOA^；@a=?=a=.

222

..

31

（2）設財區(qū)珀?機孫乃）,

為+x2=i

vOM+ON-mOC,2

縣

乃+為=

2

￡W

3+T-

VHn出平包心+聞（YF）.On93v

3+T-，XtJ

1

v-------x+n

3

22

Iy=--x+nx+y_i

設直線,3，由~，得：4/-6即+3--1=0

3n3?2-1

乃+必=一皿」-------

則八"2"4

.?網(wǎng)=J(1+9)［回+乃)。4y必］=Jo(l-河

d=囪

點。到直線？的距離A

s弓當口舒I哼聞E邛必產(chǎn)4

獷=4-3/?=?=士夸,.'m€(O,2)

當且僅當

所以當冽=0時，&04W面積的最大值為T.

略

22.已知正方形的邊長為2,幺℃(即=0.將正方形沿對角線3。折起,

使4c=%得到三棱錐工-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時，求證：/0J?平面BCD；

(2)當二面角4一8°一0的大小為120?時，求二面角力一30-0的正切值.

參考答案：

(1)證明：根據(jù)題意，在A40c中，AC=a-2,AO=CO=41,

所以』C'=4O'+C。'，所以40_LC0.

因為AC、80是正方形乂3CQ的對角線，

所以40_L8Z).因為50000=0,

所以40_L平面8CD.

(2)解法1：由(1)知，CC>LOD,如圖，

X軸/軸建立如圖的空間直角坐標系°一寸z,

則有

0g0,0）,072,0）,C（72,0,0）,陰0,7葉0）.

設4（%0/°）（玉＜0）,則/=（毛04）,彷=（0,衣0）.

又設面ABD的法向量為〃=（x：J]/1），

ni|\nbA=0,J5+碣=Q

則＜___即?廠

nOD=Q.IV2M=0-

所以必=0，令七=2°,則Z1=_X().所以〃=Go,(),一%)).

因為平面刀CD的一個法向壁為秋=(0,0])，且二面角N-AD-C的大小為120°,

HrUA|cos（m,=|cosl20°|=—,得z/

2

因為pa=0,所以而V=&.

解得x0=-冬Zo=手.所以4一字0,半:

Y，心野就=(也&加

ABC7=（x2，^,z2）,型34=

一落+圓+冬a

/5J=0,

則-___,即on＜

IBC=O.&電+也必=也

令巧=1,則必=—LZ]=.所以2=Q—1,x/3).

設二面角A-BC-D的平面角為6,

所以cos0=|cos(/,?w)|==.所以tan0=.

也+1