吉林省長春市榆樹市八年級上冊集體備課：《第11章 數(shù)的開方》《第12章 整式的乘除》《第13章 全等三角形》課件(共130張PPT)

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從鉆研到共研

從高質(zhì)到高效

目錄

CONTENT

1

課標(biāo)要求

2

章節(jié)目錄

4

數(shù)學(xué)思想方法

5

數(shù)學(xué)史料

3

教學(xué)策略

七年級上學(xué)期第二章已經(jīng)學(xué)習(xí)了《有理數(shù)》的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的研究。本章首先在有理數(shù)的乘方的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)一種新的運(yùn)算——數(shù)的開方，主要學(xué)方和開立方，進(jìn)而引進(jìn)無理數(shù)的概念，將有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。知識內(nèi)容和結(jié)構(gòu)遵循螺旋式上升的原則，對數(shù)學(xué)知識的理解不斷深入，體現(xiàn)核心素養(yǎng)發(fā)展的階段。課標(biāo)中提出：“應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，符號意識，注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識”，而本章內(nèi)容正是發(fā)展這一目標(biāo)的載體。學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，在學(xué)生的認(rèn)知上是一個(gè)飛躍。

第11章《數(shù)的開方》

課標(biāo)要求

1

(1)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號表示數(shù)

的平方根、算術(shù)平方根、立方根。

(2)了解乘方與開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求千以內(nèi)完全立方數(shù)(對應(yīng)的負(fù)整數(shù))的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根。

課標(biāo)要求

教材第3頁例2

教材第6頁例4

(3)了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)

組成，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。

(4)能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，能比較實(shí)數(shù)的大小。

(5)能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的相

反數(shù)和絕對值。

(6)能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍。

課標(biāo)要求

教材第7頁

習(xí)題11.1第5題

教材第11頁

習(xí)題11.2第1題

2

章節(jié)目錄

華師版第11章的章節(jié)目錄

教學(xué)策略

3

1.教學(xué)平方根時(shí)，讓學(xué)生思考已知正方形的邊長，如邊長為2，怎樣求它的面積？采用哪種運(yùn)算？然后轉(zhuǎn)入教材導(dǎo)圖提出問題，已知面積怎樣求正方形的邊長的探究，探究時(shí)可先設(shè)置以下3個(gè)小題：

(1)一個(gè)正方形的面積是4,它的邊長是多少？

(2)一個(gè)正方形的面積是9,它的邊長是多少？

(3)一個(gè)正方形的面積是25,它的邊長是多少？

以上3個(gè)問題都需要采用與平方運(yùn)算“倒著想”的策略來解答。揭示問題的實(shí)質(zhì)是即“求一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)的平方等于25”。從而引出平方根的概念然后補(bǔ)充-5也是25的一個(gè)平方根。根據(jù)平方根的意義，概括出可以利用平方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的平方根，認(rèn)識開平方與平方的關(guān)系。接下來教材通過試一試與思考欄目進(jìn)一步深入理解平方根的概念，分別認(rèn)識正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的平方根的情況。關(guān)鍵是讓學(xué)生體會(huì)平方運(yùn)算與求平方根的互逆關(guān)系。

●關(guān)于11.1“平方根與立方根”的教學(xué)策略

2.在例1的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生依舊先用“倒著想”的策略猜出答案，注重書中解題過程的解讀，幫助學(xué)生理解基本概念。

●關(guān)于11.1“平方根與立方根”的教學(xué)策略

3.算術(shù)平方根是一個(gè)重要的概念。一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而算術(shù)平方根則具有唯一性。記號(a≥0)表示唯一確定的數(shù),這對數(shù)學(xué)研究是十分重要的也為第21章二次根式埋下伏筆。如果知道一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，那么它的另一個(gè)平方根也就隨之確定了,所以求算術(shù)平方根是開平方的關(guān)鍵。教材通過例1、例2進(jìn)一步加深對這點(diǎn)的認(rèn)識。

●關(guān)于11.1“平方根與立方根”的教學(xué)策略

互逆運(yùn)算

符號語言

4.類比平方根的學(xué)習(xí)，進(jìn)行立方根的教學(xué)。在概念形成的處理上，注意為學(xué)生自主學(xué)習(xí)留下思考空間，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比。教材提出問題后，設(shè)置了一個(gè)“思考”欄目。目的是引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并嘗試抽象出立方根的概念。教學(xué)時(shí)既要注意立方根與平方根的聯(lián)系又要注意它們的區(qū)別。

●關(guān)于11.1“平方根與立方根”的教學(xué)策略

教材5頁

5.在教學(xué)用計(jì)算器求平方根和立方根時(shí)，重視計(jì)算器的使用，讓學(xué)生充分利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，在操作中領(lǐng)悟操作步驟按照計(jì)算器規(guī)定的按鍵順序進(jìn)行操作，真正把計(jì)算器作為學(xué)習(xí)工具加以使用當(dāng)學(xué)生的操作還不夠熟練時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用估算或乘方運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)算。

●關(guān)于11.1“平方根與立方根”的教學(xué)策略

教材5頁

教材4頁

1.學(xué)生在第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)了正整數(shù)、零、分?jǐn)?shù)，由于人們在生活中經(jīng)常遇到各種相反意義的量，七年級學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，數(shù)的范圍擴(kuò)充到了有理數(shù)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)史的“第一次危機(jī)”引入無理數(shù)，數(shù)的范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)。教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生體會(huì)，無論哪一次數(shù)的擴(kuò)充，都是人類生活、生產(chǎn)實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的必然結(jié)果。

2.無理數(shù)是一種新數(shù)，也是認(rèn)識實(shí)數(shù)的關(guān)鍵。教材通過設(shè)置疑問，引入貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生的認(rèn)知思維特點(diǎn)，借助來引入無理數(shù)的概念，讓學(xué)生感知無限不循環(huán)。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

下面是教材第8頁的版面

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

這是一個(gè)精確到小數(shù)點(diǎn)后989位的數(shù)字，占了大半個(gè)版面！一共全書的正文才153頁，編者如此慷慨地舍得篇幅，舍得筆墨，為了什么呢？

這是華師版獨(dú)具匠心的一個(gè)處理。

顯然是在沖擊學(xué)生的視覺，讓學(xué)生體會(huì)無理數(shù)數(shù)位的“無限性”和“不循環(huán)性”，為無理數(shù)概念的形成提供具體情境。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

直觀感知

邏輯推理

教材第12頁閱讀材料，對不是有理數(shù)進(jìn)行推理論證

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

教材12頁

3.在“實(shí)數(shù)的分類”的教學(xué)中，教材正文中沒有實(shí)數(shù)分類的內(nèi)容，因此，要酌情補(bǔ)充。應(yīng)先由學(xué)生進(jìn)行嘗試，然后自行總結(jié)并編制分類表。要提醒學(xué)生：分類一定要注意不重不漏，特別不能丟掉0。初中數(shù)學(xué)重要是讓學(xué)生建立關(guān)于實(shí)數(shù)的初步觀念，盡量用直觀、通俗易懂的方式簡單介紹。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

教材第9頁“試一試”的內(nèi)容。通過構(gòu)造面積為2的正方形，讓學(xué)生感知的存在及數(shù)軸上的位置。還可以將直徑為1的圓放在數(shù)軸原點(diǎn)處向右滾動(dòng)一周得到的點(diǎn)表示無理數(shù)π，等等。這些討論可以加深“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)”的認(rèn)識，這是實(shí)數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，也反映了引進(jìn)實(shí)數(shù)的意義。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

教材9頁

從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，解決了正數(shù)開方的問題，這顯示了引進(jìn)實(shí)數(shù)的又一優(yōu)越性。這里與教材3頁和5頁腳本相呼應(yīng)對實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的平方根、立方根情況進(jìn)行回顧與概括。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

4.教材中的比較實(shí)數(shù)大小的題目都是用計(jì)算器解決的，但并不排斥用估算法培養(yǎng)學(xué)生的估算能力。學(xué)生也可能會(huì)想到別的比較大小的方法，如2題（2）先將兩數(shù)分別立方，再比較這兩個(gè)立方數(shù)的大小。

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

教材11頁

教材10頁

●關(guān)于11.2“實(shí)數(shù)”的教學(xué)策略

教材12頁

數(shù)學(xué)史料

4

2500多年前，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，世界上只存在著整數(shù)以及它們的比——分?jǐn)?shù)，除此以外，就不可能再有別的什么數(shù)了。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，他的學(xué)生希帕索斯發(fā)現(xiàn)。一個(gè)既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)的數(shù)。

數(shù)學(xué)史料

這一發(fā)現(xiàn)，使得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)動(dòng)搖了，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上的第一次“數(shù)學(xué)危機(jī)”.而希帕索斯本人因違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)而受到殘害，被扔到大海里淹死了.

數(shù)學(xué)史料

希帕索斯為的誕生獻(xiàn)出了自己寶貴的生命，然而真理畢竟是埋沒不了的，畢氏學(xué)派，抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯這位為真理而現(xiàn)身的可敬學(xué)者就把不可通約的量取名為無理數(shù)，這便是無理數(shù)的由來。

數(shù)學(xué)史料

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

5

本章滲透的數(shù)學(xué)思想

1.類比思想

類比平方根的學(xué)習(xí)，進(jìn)行立方根的教學(xué)。

2.分類討論思想

已知2m-3與4m-5是一個(gè)正數(shù)的平方根，求這個(gè)正數(shù)。

本章滲透的數(shù)學(xué)思想

整體思想

將引入負(fù)（有理）數(shù)建立有理數(shù)集的研究過程遷移到實(shí)數(shù)集的研究中來。例如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)、大小比較、運(yùn)算、運(yùn)算律的應(yīng)用。

本章滲透的數(shù)學(xué)方法

②逐步逼近法來估算無理數(shù)的范圍。教材第7頁習(xí)題11.1第5題。

①遷移

③面積橋法：教材第9頁試一試中尋找的方法。

教材第15頁復(fù)習(xí)題B組第5題，都是對這種方法的一個(gè)很好的介紹，同時(shí)學(xué)習(xí)勾股定理后可以再來研究這個(gè)問題。

本章滲透的數(shù)學(xué)方法

牛頓迭代法：

教材第10頁閱讀材料中對的算法。

本章滲透的數(shù)學(xué)方法

繼整式的加減運(yùn)算之后，本章進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式的乘法和除法。至此，學(xué)生對整式及其運(yùn)算的基本知識有了完整的認(rèn)識。整式的乘除運(yùn)算涉及整式加減一章中有關(guān)整式的基本概念，除此之外，在實(shí)際應(yīng)用中，它們與整式加減運(yùn)算也是密不可分的。整式的乘除和因式分解等知識是分式運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)一元二次方程、二次函數(shù)等所必須具備的。而高中階段將要學(xué)習(xí)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)又直接與冪的基本知識及運(yùn)算性質(zhì)有關(guān)。

第12章《整式的乘除》

課標(biāo)要求

1

課標(biāo)要求

(1)了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；……。

(2)……；能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算(其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)。

(3)理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單計(jì)算和推理。

課標(biāo)要求

課標(biāo)要求

(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))。

2

章節(jié)目錄

華師版第12章的章節(jié)目錄

教學(xué)策略

3

1.本章的主要內(nèi)容是進(jìn)行字母運(yùn)算，教學(xué)中應(yīng)充分類比數(shù)的運(yùn)算，從“試一試”到“概括”是一個(gè)從特殊到一般，從具體到抽象，有層次地進(jìn)行概括抽象的過程。如在推導(dǎo)字母為底的冪運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，類比數(shù)的冪運(yùn)算的方法，一方面使學(xué)生感受知識的一致性、聯(lián)貫性，順利地從數(shù)運(yùn)算過渡到字母運(yùn)算，另一方面也可以進(jìn)一步體會(huì)字母運(yùn)算所代表的一般性。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘方的意義，將冪的乘方轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法。這樣的化歸過程，是學(xué)習(xí)本節(jié)和下一節(jié)內(nèi)容的基本思想方法。

●關(guān)于12.1“冪的運(yùn)算”的教學(xué)建議

●關(guān)于12.1“冪的運(yùn)算”的教學(xué)建議

運(yùn)算法則的探索

具體特殊

抽象一般

利用乘方的定義，轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪乘法。

同底數(shù)冪的除法亦如此

●關(guān)于12.1“冪的運(yùn)算”的教學(xué)建議

運(yùn)算法則的探索

利用乘方的定義，結(jié)合運(yùn)算律轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪乘法。

教材22頁

這段課文一定要與學(xué)生共同研讀。

1.加強(qiáng)對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)。學(xué)生接觸多是在幾何學(xué)習(xí)時(shí)推理，這是一段代數(shù)推理。要讓學(xué)生體會(huì)到邏輯的力量，不論是幾何推理還是代數(shù)推理，數(shù)學(xué)這棵知識的大樹就是由邏輯關(guān)系構(gòu)建起來的。

2.《教師教學(xué)用書》已指出：通過這段“讀一讀”，還要讓學(xué)生初步體會(huì)待定系數(shù)法。

●關(guān)于12.2“整式的乘法”的教學(xué)建議

1.要從數(shù)的乘法引入到式的乘法，遵循學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。在對知識獲得一定的感性認(rèn)識之后，逐漸將新知識納入原有的知識體系。這樣有利于知識的正遷移，使學(xué)生的知識體系得以較好的更新。這里通過“試一試”提出問題，并通過云圖啟發(fā)提示，讓學(xué)生“先做，后概括”，讓學(xué)生在實(shí)踐中經(jīng)歷和體驗(yàn)學(xué)習(xí)中類比、歸納的思想方法。另外，與12.1節(jié)不同，12.2節(jié)中三個(gè)運(yùn)算法則的概括表述都分別設(shè)置于相應(yīng)的例題之后，意在使學(xué)生在實(shí)踐中加深對運(yùn)算法則的理解。而不是死記硬背。

2.要重視學(xué)生對算理的理解，讓學(xué)生嘗試說出每一步運(yùn)算的道理，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和語言表達(dá)能力.如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則依據(jù)的是乘法分配律。

●關(guān)于12.2“整式的乘法”的教學(xué)建議

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，要注意實(shí)際問題的導(dǎo)入，本章的“退耕還林”導(dǎo)圖問題,某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米．用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積，可得到：

(m＋n)(a＋b)

ma＋mb＋na＋

=

nb

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

1.根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的規(guī)定，本節(jié)主要學(xué)習(xí)三個(gè)基本的、應(yīng)用最廣泛的乘法公式，減少了公式的個(gè)數(shù)，旨在抓住重點(diǎn)，留出更多的時(shí)間和空間讓學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體驗(yàn)乘法公式的由來——用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，自行得到結(jié)果并觀察，并通過之后的練習(xí)，感受公式的應(yīng)用給整式乘法帶來的方便。理解公式中字母a、b的意義，能在具體算式中滲透“換元”的思想。還要適當(dāng)增加對諸如（x-2y）(2y+x)、(2m+n)(-n-2m)和等計(jì)算的辨析。

2.要讓學(xué)生理解乘法公式的圖形解釋，用來幫助學(xué)生加深公式的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。關(guān)注代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，在整式乘法和乘法公式部分，要注意給出幾何圖形的方式來驗(yàn)證運(yùn)算法則及公式的正確性，以此體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系，和諧統(tǒng)一。

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的圖形解釋(P31)

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

b

b

a

a－b

b

因式分解公式a2-b2=(a+b)(a-b)的動(dòng)畫圖形解釋

a－b

b

b

a

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的圖形解釋(P33)

應(yīng)讓學(xué)生自己構(gòu)造，以培養(yǎng)他們的建模能力、創(chuàng)新能力！

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

應(yīng)給學(xué)生充分的研究、交流的空間！教學(xué)時(shí)注意滲透數(shù)學(xué)思想方法中的“容斥原理”。

乘法公式(a-b)2=a2-2ab+b2的圖形解釋(P34)

●關(guān)于12.3“乘法公式”的教學(xué)建議

1.本節(jié)內(nèi)容是12.1節(jié)中同底數(shù)冪的除法法則的直接應(yīng)用與推廣。同時(shí)，整式除法是整式乘法的逆運(yùn)算，教材通過提問除法的意義探索有關(guān)除法法則。教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生討論與交流，體會(huì)這些運(yùn)算間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

2.計(jì)算，把這個(gè)算式中的兩個(gè)單項(xiàng)式

和分別看作一個(gè)整體，這是一種約定，適用于所有涉及代數(shù)式的運(yùn)算。

●關(guān)于12.4“整式的除法”的教學(xué)建議

1.要通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析多項(xiàng)式的因式分解與整式乘法的聯(lián)系和區(qū)別，要注意留出時(shí)間讓學(xué)生討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括。同時(shí)將整數(shù)的因式分解和乘法之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想、比較，加深理解。

2.選擇練習(xí)題的難度不要超過教材第44頁例2程度。

●關(guān)于12.5“因式分解”的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)史料

4

教材37頁

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

5

1.整體思想

2.已知x+y=7，xy=1,則x2+y2=________;

已知x-y=1，xy=1,則x2+y2=________;

已知x+y=7，x2+y2=25,則xy=________;

已知x+y=7，x2+y2=25，則x-y=________;

已知x+y=7，x2+y2=25,且x>y則x-y=________;

數(shù)學(xué)思想

2.數(shù)形結(jié)合

試用直觀的方法說明(a+3)2≠a2+32

數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想

2.數(shù)形結(jié)合

教材51頁

3.轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)思想

多項(xiàng)式×多項(xiàng)式單項(xiàng)式×多項(xiàng)式

單項(xiàng)式×單項(xiàng)式有理數(shù)乘法與同底數(shù)冪乘法。

轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化

多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式

轉(zhuǎn)化

逆向思維

宋朝有位史學(xué)家叫司馬光，他不僅因編著《資治通鑒》而流傳百世，而且他在小時(shí)候砸缸救人的故事至今仍廣為流傳。司馬光有一次跟一群小伙伴玩耍，其中一個(gè)小孩不小心跌入出滿水的大水缸里。由于缸太高，同伙們無法救出這個(gè)孩子，大家都慌了神，這時(shí)司馬光把缸砸破，這樣人便得救了。在“讓人離開水”有困難時(shí)，司馬光設(shè)法“讓水離開人”，這就是司馬光的聰明所在。

倒過來想，就是逆向思考，這是數(shù)學(xué)中一種常用的思維方式。例如，本章冪的運(yùn)算法則，整式乘法法則和乘法公式進(jìn)行逆向思考就得到了多項(xiàng)式因式分解的方法。

數(shù)學(xué)方法

逆向應(yīng)用

已知am=2，an=8，求am+n的值

已知,求的值

數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法

逆向應(yīng)用

再如13章中對“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”進(jìn)行逆向思考，經(jīng)過證明就得到了角平分線的判定定理。類似的例子還有很多，如“線段垂直平分線”的性質(zhì)定理與判定定理；探求證明的途徑時(shí)，如果不能順利的從條件出發(fā)推出結(jié)論，不妨逆向思考，從結(jié)論出發(fā)尋找使結(jié)論成立的條件，往往能找到證明的途徑。學(xué)會(huì)倒過來想，有助于同學(xué)們不斷提高自己提出問題和解決問題的能力。

數(shù)學(xué)方法

本章是《課程標(biāo)準(zhǔn)》第三學(xué)段“圖形與幾何”和課程內(nèi)容的第一部分“圖形的性質(zhì)”中“3.三角形”、“6.尺規(guī)作圖”、“7.定義、命題、定理”條目中的相關(guān)內(nèi)容。在七年級上學(xué)期圖形的初步認(rèn)識與相交線與平行線，以及七年級下學(xué)期“多邊形”與“軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)”的基礎(chǔ)上，本章對兩個(gè)三角形全等的條件進(jìn)行了探索，并對等腰三角形、線段垂直平分線、角平分線的屬性以及尺規(guī)作圖作了進(jìn)一步探索。同時(shí)，也為四邊形、相似形、圓的探究做了充分的準(zhǔn)備。

第13章全等三角形

課標(biāo)要求

1

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)》對八上全等三角形內(nèi)容的要求

6.定義、命題、定理

⑴通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義。

⑵結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念。

會(huì)識別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。

⑶知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯，知道可以用不同的表述

證明的過程，會(huì)綜合法證明格式。

3.（4）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。

（5）掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。

（6）掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。

（7）掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。

（8）證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等。

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)》對八上全等三角形內(nèi)容的要求

（9）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；

反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

（10）理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線

段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等

的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

（11）理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形

的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰

三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。探索等邊三角

形的各角都等于600。探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形

（或有一個(gè)角是600的等腰三角形）是等邊三角形。

（14）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)》對八上全等三角形內(nèi)容的要求

1.尺規(guī)作圖

⑴能用尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；

作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線。

⑵能用尺規(guī)作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；

已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

⑶在尺規(guī)作圖中，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

2

章節(jié)目錄

教學(xué)策略

3

●關(guān)于13.1“命題、定理與證明”的教學(xué)建議

1.13.1“命題、定理與證明”中列舉了已經(jīng)學(xué)過的四個(gè)圖形的特性，指出它們都是判斷某一件事情的語句，像這樣表示判斷的語句叫做命題。命題可能是真命題也可能是假命題，要判斷一個(gè)命題是真命題，可以通過演繹推理論證，要判斷一個(gè)命題是假命題，只需要舉反例說明。這里邊要抓住體現(xiàn)證明必要的良好時(shí)機(jī)，讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性。這是幾何證明中的演繹推理的入門，教師要恰當(dāng)?shù)匕盐彰恳还?jié)的推理論證的要求，不可操之過急，雖然經(jīng)過前面所學(xué)的有關(guān)幾何內(nèi)容用文字語言說理的訓(xùn)練，但嚴(yán)格的演繹推理證明畢竟是初步接觸，這是本章的教學(xué)難點(diǎn)，教師對此要有足夠的認(rèn)識。

●關(guān)于13.1“命題、定理與證明”的教學(xué)建議

2.教學(xué)中可以通過大量的例子讓學(xué)生分清命題的提示和結(jié)論，讓學(xué)生逐步熟悉命題的表達(dá)式，要通過學(xué)生的自主探索、合作交流，讓學(xué)生歸納出舉反例判斷假命題的方法。在進(jìn)行公理和定理的教學(xué)時(shí)，還應(yīng)讓學(xué)生確認(rèn)可以通過邏輯推理證明的真命題才有可能作為定理，成為以后證明的依據(jù)。例如有了“三角形內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們就可以證明刻畫直角三角形兩銳角之間數(shù)量關(guān)系的命題。

●關(guān)于13.1“命題、定理與證明”的教學(xué)建議

論證的格式

文字語言

符號語言

圖形語言

●關(guān)于13.1“命題、定理與證明”的教學(xué)建議

教材56頁

教材通過三個(gè)不同的案例,

由特殊事例得到的結(jié)論可能正確，

也可能不正確，教學(xué)時(shí)，可以適當(dāng)引導(dǎo)

學(xué)生，輔以更多的案例，

讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性，

提升推理意識，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力。

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

1.在講授全等三角形的判定條件時(shí)，通過說明兩個(gè)三角形的三條邊、兩個(gè)角分別對應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形必全等。使學(xué)生確信三角形全等的判定條件是可以減少的，隨即從最簡單的情況開始，讓學(xué)生自主討論如何分類并完成表格填寫，在其中滲透分類思想。滲透分類思想時(shí)，要強(qiáng)調(diào)明確的分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏。

教材60頁

探索一：已知一個(gè)條件

一邊（S）

一角（A）

a

α

α

a

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

教材60頁

探索二：已知兩個(gè)條件

兩邊（SS）

兩角（AA）

一邊一角

（SA）

a

a

a

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

此處再一次強(qiáng)調(diào)的是分類討論思想。不要求學(xué)生一定能辨別出三角形全等，但教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的分類。

教材62頁

探索三：已知三個(gè)條件

三邊（SSS）

兩角一邊

兩邊一角

三角（AAA）

（三角形具有穩(wěn)定性）

（ASA）

（AAS）

（SAS）

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

2.學(xué)生在探求全等三角形的判定定理時(shí)，讓學(xué)生通過尺規(guī)畫圖進(jìn)行比較，可以讓學(xué)生自己探索或小組探討，討論歸納出三角形的判定定理。教師最后做總結(jié)性發(fā)言，最后讓學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變換的觀點(diǎn)證明所探究方法的準(zhǔn)確性，符合三角形的動(dòng)態(tài)定義。在教學(xué)時(shí)還應(yīng)注意讓學(xué)生結(jié)合圖形理解“夾角”與“夾邊”的含義，加深學(xué)生對三角形全等的判定定理的理解與應(yīng)用。

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

給出畫圖步驟，熟悉幾何作圖語言。

說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例。

發(fā)現(xiàn)：“邊邊角”不一定全等：

假命題，舉出反例即可

適當(dāng)給出提示或示范

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

教材66頁

教材71頁

教材74頁

三角形全等判定方法：“4＋1”

（SSS）

（SAS）

（ASA）

（AAS）

（HL）

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

總結(jié)：

三角形全等的判定中的關(guān)鍵詞:

對應(yīng)

尋找對應(yīng)元素的規(guī)律

（1）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；

（2）有公共角的，公共角是對應(yīng)角；

（3）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；

（4）兩個(gè)全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊也是對應(yīng)邊；

（5）兩個(gè)全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角也是對應(yīng)角；

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

3.注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對問題有清晰的思路過程，有必要養(yǎng)成固定的思考過程模式，如證等角或等線段——全等三角形——找到相關(guān)三角形——找全等條件——聯(lián)系已知條件，要理清證題思路，規(guī)范書寫格式。

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

教材64頁

教材64頁

伸腳

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

教材69頁

教材67頁

“伸頭”

既“伸頭”又“伸腳”

⑴利用對頂角找角等（隱含條件）

證明全等三角形基本方法

教材99頁5題

⑵利用垂直（或角平分線）的定義證明角相等（間接條件）

教材76頁6題

證明全等三角形基本方法

⑶利用平行線的性質(zhì)證明角相等（間接條件）

教材70頁2題

證明全等三角形基本方法

⑷利用中點(diǎn)的定義證明線段相等（間接條件）

教材75頁1題

證明全等三角形基本方法

⑸利用公共邊（或公共角）找邊（或角）等（隱含條件）

教材67頁例3

證明全等三角形基本方法

⑹利用圖形的和、差證明邊或角相等（間接條件）

教材73頁2題

證明全等三角形基本方法

4.注意典型題目、典型圖形的應(yīng)用。課本中的典型題目不僅需要學(xué)生熟練解答，自己也應(yīng)有意識的引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜圖形中找到這些基本圖形。以下是通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱得到四種基本模型圖，體會(huì)由動(dòng)態(tài)——全等變換到靜態(tài)——全等判定，通過模型解題，有些題目相對會(huì)更加簡單。

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

旋轉(zhuǎn)模型是幾種模型中比較難的一種，是中考高頻考題。

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

手拉手模型

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

●關(guān)于13.2“三角形全等的判定”的教學(xué)建議

一線三等角

由特殊到一般

●關(guān)于13.3“等腰三角形”的教學(xué)建議

1.通過幾何直觀實(shí)驗(yàn)操作探索發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)，再通過演繹推理驗(yàn)證其正確性，體會(huì)運(yùn)用動(dòng)態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形屬性的過程，體現(xiàn)合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合。

教材78頁

教材79頁

2.證明等腰三角形的性質(zhì)定理時(shí)，教材通過添加等腰三角形的頂角平分線，利用S.A.S.得到全等的兩個(gè)三角形，若添加底邊上的中線，則利用S.S.S.可得全等的兩個(gè)三角形。若添加底邊上的高，則利用H.L.同樣可得全等的兩個(gè)三角形，但H.L.的證明需要用到等腰三角形的性質(zhì),因此成了循環(huán)論證，這是不允許的。在教學(xué)中應(yīng)該避免這樣添加輔助線的方法。

●關(guān)于13.3“等腰三角形”的教學(xué)建議

教材79頁

教材83頁

3.為了符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，先以學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐，對等腰三角形的判定有感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，然后進(jìn)行驗(yàn)證歸納，由淺入深，循序漸進(jìn)。學(xué)生易于接受，體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)、合作交流的新課程理念，無論是例題