《不等式及其性質(zhì)》（26張）

2.2.1不等式及其性質(zhì)第1課時問題1閱讀課本第58～61頁，回答下列問題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究不等式的性質(zhì)及其證法．（2）起點是初中所學(xué)的不等式的性質(zhì)，目標(biāo)是掌握不等式5個性質(zhì)與2個推論，掌握用配方法、作差法、綜合法證明不等式．提升邏輯推理素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？情境與問題你見過下圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1（單位：km/h，下同）應(yīng)該滿足100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足_______________．60≤v2≤100新知探究在現(xiàn)實世界里，量與量之間的不等關(guān)系是普遍的，不等式是刻畫不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式．上述不等式符號中，要特別注意“≥”“≤”．事實上，住意給定兩個實數(shù)a，b，那么a＜b或a＝ba≥b?a＞b或a＝b；a≤b?____________．新知探究【想一想】5≥3，2≥2，2≤2這三個命題都是真命題嗎？根據(jù)不等號的含義可知：三個命題都是真命題．新知探究問題1怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢？結(jié)論：a－b＜0?a＜b，b＝0?a＝b，a－b＞0?a＞b．新知探究問題2初中學(xué)過的不等式有哪些性質(zhì)呢？不等式的三個性質(zhì)：性質(zhì)1

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．性質(zhì)2

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．性質(zhì)3

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．追問1：你能利用前面的知識，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎？新知探究★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】不等式基本性質(zhì)★使用說明：本資源為《不等式基本性質(zhì)》知識探究，通過交互式動畫的方式，運用了本資源．

適用于《不等式基本性質(zhì)》的教學(xué)，供教師備課和授課使用．注：此圖片為動畫截圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．追問1：你能利用前面的知識，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎？新知探究性質(zhì)1：因為（a＋c）－（b＋c）＝a＋c－b－c＝a－b，又因為a＞b，所以a－b＞0，從而（a＋c）－（b＋c）＞0．因此a＋c＞b＋c．性質(zhì)2：因為ac－bc＝（a－b）c，又因為a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0，因此ac－bc＞0，即ac＞bc．追問2：你會用充分條件、必要條件來描述不等式的性質(zhì)嗎？試用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：新知探究（1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______條件；（2）如果c＞0，則a＞b是ac＞bc的_______條件；（3）如果c＜0，則a＞b是ac＜bc的_______條件．充要充要充要追問3：不等式還有哪些性質(zhì)呢？新知探究性質(zhì)4

如果a＞b，b＞c，那么a＞c．（通常稱為不等關(guān)系的傳遞性）證明：因為a－c＝（a－b）＋（b－c），又因為a＞b，所以a－b＞0；且b＞c，所以b－c＞0，因此（a－b）＋（b－c）＞0，從而a－c＞0，即a＞c．性質(zhì)5a＞b?b＜a．這只要利用a－b＝－（b－a）就可以證明．追問3：不等式還有哪些性質(zhì)呢？新知探究強調(diào)：值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母．新知探究問題3利用前面不等式的性質(zhì)，我們還可以得到關(guān)于不等式的哪些結(jié)論？推論1

如果a＋b＞c，那么a＞c－b．證明

a＋b＞c?a＋b＋（－b）＞c＋（－b）?a＞c－b．推論1表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊．推論1通常稱為不等式的移項法則．新知探究問題3利用前面不等式的性質(zhì)，我們還可以得到關(guān)于不等式的哪些結(jié)論？推論2

如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．證明根據(jù)性質(zhì)1有a＞b?a＋c＞b＋c，c＞d

?b＋c＞b＋d，再根據(jù)性質(zhì)4可知a＋c＞b＋d．新知探究問題3利用前面不等式的性質(zhì)，我們還可以得到關(guān)于不等式的哪些結(jié)論？我們把a＞b和c＞d（或a＜b和c＜d）這類不等號方向相同的不等式，稱為同向不等式．推論2說明，兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．新知探究例1（1）比較x2－x和x－2的大?。?）已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。?）因為（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，又因為（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0，從而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2．新知探究例1（1）比較x2－x和x－2的大?。?）已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。?）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）．∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴（a－b）2＞0，a＋b＞0．∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2．新知探究方法總結(jié)：通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法．作差法的步驟：（1）作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差．（2）變形：對差進行變形（因式分解或者配方等）．（3）判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號．（4）作出結(jié)論．新知探究其思維過程是作差→變形→判斷符號→作出結(jié)論．當(dāng)不能直接得到正或負的結(jié)論時，還要考慮通過分類討論來確定．新知探究例2設(shè)a≥b＞0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．解：3a3＋2b3－（3a2b＋2ab2）＝3a2（a－b）＋2b2（b－a）＝（3a2－2b2）（a－b）．因為a≥b＞0，所以a－b≥0，3a2－2b2＞0，從而（3a2－2b2）（a－b）≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．新知探究方法總結(jié)：（1）簡單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過對不等式變形得證．（2）對于不等號兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進行變形，根據(jù)條件確定每一個因式（式子）的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明．這種證明方法常說成是比較法．新知探究例3（1）已知a＞b，c＜d，求證：a－c＞b－d；（2）已知a＞b，ab＞0，求證：．證明：（1）因為a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d，根據(jù)推論2，得a－c＞b－d．（2）因為ab＞0，所以

＞0，又因為a＞b，所以a·

＞b·

，即

，因此

．新知探究方法總結(jié)：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法．本例與前面的推論所使用的方法都是綜合法．綜合法中，最重要的推理形式為p?q