《1分類加法計數原理與分步乘法計數原理》

分類加法計數原理與

分步乘法計數原理問題1:.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:

從甲地到乙地有3類方法,

第一類方法,乘火車，有4種方法;

第二類方法,乘汽車，有2種方法;

第三類方法,乘輪船,有3種方法;

所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法。問題2:

如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:

從A村經B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,

所以從A村經B村去C村共有3×2=6種不同的方法。分類記數原理:做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法。分步記數原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有

N=m1×m2×…×mn種不同的方法。例題：例1.

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少不同的取法？（2）從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少不同的取法？分析:(1)從書架上任取1本書，有三類辦法：第一類辦法,從第1層中任取一本書,共有m1=4種不同的方法;第二類辦法,從第2層中任取一本書,共有m2=3種不同的方法;第三類辦法：從第3層中任取一本書,共有m3=2種不同的方法所以,根據分類記數原理,得到不同選法種數共有

N=4+3+2=9種。點評:

解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”?！胺诸愅瓿伞庇谩胺诸愑洈翟怼?“分步完成”用“分步記數原理”。例2.在所有的兩位數中,個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？

分析1:

按個位數字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數分別是

1個,2個,3個,4個,5個,6個,7個,8個.

則根據分類記數原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).分析2:

按十位數字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數分別是

8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.

則根據分類記數原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個)例3.

一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼(各位上的數字允許重復)？首位數字不為0的號碼數是多少？首位數字是0的號碼數又是多少？

分析:

按號碼位數,從左到右依次設置第一位、第二位、第三位,第四位、需分為四步完成;

第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10，第四步，m4=10.

根據分步記數原理,共可以設置N=10×10×10×10=104種四位數的號碼。

答:首位數字不為0的號碼數是N=9×10×10×10=9×103

種,

首位數字是0的號碼數是N=1×10×10×10=103

種。由此可以看出,

首位數字不為0的號碼數與首位數字是0的號碼數之和等于號碼總數。例3.

一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼(各位上的數字允許重復)？首位數字不為0的號碼數是多少？首位數字是0的號碼數又是多少？問:

若設置四個、五個、六個、…、十個等號碼盤,號碼數分別有多少種？答:它們的號碼種數依次是104,105,106,……種。

點評:

分類記數原理中的“分類”要全面,不能遺漏;但也不能重復、交叉;“類”與“類之間是并列的、互斥的、獨立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類辦法,即它們兩兩的交為空集,n類的并為全集。

分步記數原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成。

在運用“分類記數原理、分步記數原理”處理具體應用題時,除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標準。在“分類”或“分步”過程中,標準必須一致,才能保證不重復、不遺漏。課堂練習

1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

課堂練習

1.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解:

按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,

第一步,m1=3種,