新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)各章節(jié)全套練習(xí)題及答案解析

1．1空間向量及其運(yùn)算1．1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程，了解空間向量的概念．2．經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程．3．掌握空間向量的線性運(yùn)算．1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量的基本概念．2．直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的線性運(yùn)算．3．邏輯推理：共線向量及共面向量的判定．知識(shí)點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度：空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模．eq\a\vs4\al(（3）表示法：)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用有向線段,表示．,②字母表示法：用字母表示，若向量a的,起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記,作\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|\o(AB,\s\up6(→))|Ｗ．))(4)幾類特殊向量特殊向量定義表示法零向量長(zhǎng)度為0的向量0單位向量模為1的向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1相反向量與a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量－a共線向量或平行向量表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合a∥b或eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))(1)零向量的長(zhǎng)度為0，并規(guī)定零向量的方向是任意的．有向線段的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B重合時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(2)單位向量的模為1.這里的1表示一個(gè)單位長(zhǎng)度．根據(jù)實(shí)際情況，“1”可以是1米，也可以是1毫米等．1．(多選)下列命題中為真命題的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量解析：選AD.對(duì)于選項(xiàng)B，其終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B為假命題；對(duì)于選項(xiàng)C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C為假命題；易知A，D為真命題．故選AD.2.如圖，分別以長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)試寫(xiě)出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫(xiě)出向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的所有相反向量．解：(1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D′C′,\s\up6(→)).(2)向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→)).知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算名稱代數(shù)形式幾何形式運(yùn)算律加法eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c減法eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，N，P分別是BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up16(→))．【解】(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\o(D1P,\s\up16(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(A1N,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.空間向量線性運(yùn)算的技巧(1)向量加、減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量的方向，必要時(shí)可對(duì)空間向量自由平移進(jìn)而獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．(3)利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則或平行四邊形法則將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．(1)化簡(jiǎn)：eq\o(A1O,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)用eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AA1,\s\up16(→))表示eq\o(OC1,\s\up16(→))，則eq\o(OC1,\s\up16(→))＝__________________________.解析：(1)eq\o(A1O,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝A1O－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝A1O－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))．(2)OC1＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋CC1＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up16(→))．答案：(1)eq\o(AA1,\s\up16(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))知識(shí)點(diǎn)三空間向量的共線與共面(1)共線、共面向量共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量充要條件對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb(2)直線l的方向向量如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(1)0與空間任意向量a都是共線向量．(2)共線向量定理中的b≠0不可去掉，否則實(shí)數(shù)λ可能不唯一．(3)任意兩個(gè)空間向量必共面，但任意三個(gè)空間向量不一定共面．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1的中點(diǎn)，N是BD的中點(diǎn)，試判斷eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up16(→))是否共線．【解】由題意可知M，N分別是AD1，BD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC(圖略)，則N為AC的中點(diǎn)．所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(D1C,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up6(→))共線．(1)判斷兩個(gè)非零向量共線的方法判斷兩個(gè)非零向量a，b是否共線，就是尋找是否存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立．要充分運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合圖形得出a＝λb，從而判斷出a，b共線．(2)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法①eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R).②對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R).③對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1).已知空間向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：選A.由題意可得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則A，B，D三點(diǎn)共線；eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a＋8b，不存在實(shí)數(shù)λ滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)不共線；不存在實(shí)數(shù)λ滿足eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，則B，C，D三點(diǎn)不共線；不存在實(shí)數(shù)λ滿足eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，C，D三點(diǎn)不共線．故選A.考點(diǎn)一由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).【解】(1)如圖所示，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))，由向量加法運(yùn)算的平行四邊形法則可得eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→)).所以x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2).(2)因?yàn)閑q\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))①，同理eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→))②，將②代入①得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以x＝2，y＝－2.運(yùn)用三角形法則或平行四邊形法則將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量的線性表示，再根據(jù)對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等，求出x，y.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up16(→))，若eq\o(EO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，試求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解：eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).考點(diǎn)二空間向量的共面問(wèn)題已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任意一點(diǎn)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，試判斷向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))是否共面，并判斷點(diǎn)P是否在平面ABC內(nèi)．【解】向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面且點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)．理由如下：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→)).即eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).所以向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面．因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))有共同的起點(diǎn)P，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以P，A，B，C共面，即點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)．證明空間三向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試判斷p，m，n是否共面．解：設(shè)p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因?yàn)閍，b，c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程組無(wú)解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．1．下列說(shuō)法正確的是()A．若|a|<|b|，則a<bB．若a，b為相反向量，則a＋b＝0C．空間內(nèi)兩平行向量相等D．四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))解析：選D.向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，A錯(cuò)；相反向量的和為0，不是0，B錯(cuò)；相等向量滿足模相等，方向相同兩個(gè)條件，平行向量不一定具備，C錯(cuò)；D正確．2．在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BD,\s\up6(→))可表示為()A．a(chǎn)＋c－b B．a(chǎn)＋2b－cC．c＋b－a D．a(chǎn)＋c－2b解析：選D.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝c－b，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋c－2b.故選D.3．設(shè)e1，e2是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k＝________．解析：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，所以設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＝－(k＋6－xk)e2.又e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,k＝1，))故k的值為1.答案：14.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1C1的中心，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)后的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))．(2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(D1C1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→)).向量eq\o(AC1,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))如圖．．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若兩個(gè)非零空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：選C.A中，若b＝0，則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；C中，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正確；D中，若b＝0，a≠0，則不存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2．如圖所示，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→)) D．eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))解析：選D.根據(jù)題意可知四邊形ABCD是平行四邊形，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))為相反向量，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))方向不同，eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))是相等向量．3．已知空間四邊形ABCD，連接BD，設(shè)M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MN,\s\up6(→))C．3eq\o(NM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MN,\s\up6(→))解析：選B.因?yàn)镸，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以MN∥BD，且MN＝eq\f(1,2)BD，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋2eq\o(MN,\s\up6(→))＝3eq\o(MN,\s\up6(→)).故選B.4．在三棱錐P－ABC中，M為PA的中點(diǎn)，N在BC上，且BN＝2NC，則()A．eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))B．eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))D．eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))解析：選A.如圖，連接MB，MN.因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→)).故選A.5.(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為BD1的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))解析：選AB.A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.6．(多選)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中點(diǎn)為O，則下列互為相反向量的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))C.eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))解析：選ACD.A中是一對(duì)相反向量；B中是一對(duì)相等向量；C中是一對(duì)相反向量；D中是一對(duì)相反向量．7．已知空間中任意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝________．解析：方法一：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).方法二：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).答案：eq\o(BA,\s\up6(→))8．如圖所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．(填“相等”或“相反”)解析：由相等向量與相反向量的定義知：eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是相反向量．答案：相等相反9．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)k使eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝k(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以(k－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，則λ＋m＋n＝0.答案：010.如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．證明：因?yàn)镋，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))且|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up6(→))|.又F不在直線EH上，所以四邊形EFGH是梯形．[B能力提升]11．若空間中四點(diǎn)O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈直線ABB．P?直線ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D．點(diǎn)P∈直線AB，且AP＝PB解析：選A.因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線．又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB，但AP與AB不一定相等．12．(多選)下列條件中，點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)一定共面的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PB,\s\up6(→))B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0解析：選AB.對(duì)于A：因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up6(→))，所以eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，故A，B，C共線，故P，A，B，C共面；或由eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))為共面向量，故P，A，B，C共面；對(duì)于B：eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，故P，A，B，C共面；對(duì)于C，D，顯然不滿足，故C，D錯(cuò)誤．故選AB.13.如圖，O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______．解析：eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以1－λ＝eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝eq\f(1,4)，解得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．解：因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).[C拓展沖刺]15．(多選)給出下列命題，其中正確的命題為()A．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))C．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))D．非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面解析：選BC.在平行四邊形ABDC中，滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段，A不正確．因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，所以2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，B正確．若Q為△ABC的重心，則eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，C正確．在三棱柱ABC－A1B1C1中，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，但a，b，c不共面，D不正確．故選BC.16.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)試用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(EF,\s\up6(→)).解：(1)證明：連接AC1(圖略)．因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，又eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))過(guò)同一點(diǎn)A，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)).1．1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.掌握空間向量的數(shù)量積．2．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．3．能利用空間向量數(shù)量積解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題．1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量的夾角及數(shù)量積的定義．2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角定義已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b(1)只有兩個(gè)非零向量才有夾角，零向量與任何向量不定義夾角，并規(guī)定0與任何向量a都共線，即0∥a.(2)當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為0，反向時(shí)，它們的夾角為π，即〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π?a∥b(a，b為非零向量).1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1D1,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B1A1,\s\up6(→))解析：選A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的夾角為45°，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))的夾角為135°，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1D1,\s\up6(→))的夾角為90°，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B1A1,\s\up6(→))的夾角為180°.故選A.2．在正四面體ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：選D.〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉．(2)運(yùn)算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，(λ∈R)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(3)性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0共線同向：a·b＝|a|·|b|反向：a·b＝－|a|·|b|模a·a＝|a||a|cos__〈a，a〉＝|a|2；|a|＝eq\r(a·a)；|a·b|≤|a|·|b|夾角θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).【解】(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2).(3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝cos60°－cos60°＝0.求空間向量數(shù)量積的步驟(1)將待求數(shù)量積的兩向量的模長(zhǎng)及它們的夾角理清；(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角余弦值的乘積；(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.因?yàn)閜⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.知識(shí)點(diǎn)三投影向量(1)向量a在向量b上的投影向量先將向量a與向量b平移到同一平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，如圖①，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直線l上的投影向量如圖②，向量c稱為向量a在直線l上的投影向量．(3)向量a在平面β上的投影向量如圖③，分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，則向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))(c)稱為向量a在平面β上的投影向量．如知識(shí)點(diǎn)中圖③，向量a與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，則a在b上的投影向量為_(kāi)_______，b在a上的投影向量為_(kāi)_______．解析：由題可得與向量a，b同方向的單位向量分別為eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，根據(jù)投影向量的定義，則a在b上的投影向量為|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝eq\f(－3b,|b|)＝－eq\f(3,8)b，b在a上的投影向量為|b|cos〈a，b〉eq\f(a,|a|)＝eq\f(－4a,|a|)＝－eq\f(2,3)a.答案：－eq\f(3,8)b－eq\f(2,3)a考點(diǎn)一利用數(shù)量積求夾角如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2AE＝2，則異面直線AE與A1C所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】因?yàn)锳1A⊥平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.因?yàn)锳C＝AB＝eq\r(2)，BC＝2，所以AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，所以E為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．因?yàn)锳C＝AA1＝eq\r(2)，所以A1C＝2.因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝1，所以cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)，所以〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝60°，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為(0°，90°]，所以AE，A1C所成的角是60°.【答案】C利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟[注意]求兩向量的夾角，必須特別關(guān)注兩向量的方向，應(yīng)用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．已知空間四面體OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都等于2，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則向量eq\o(OE,\s\up6(→))與向量eq\o(BF,\s\up6(→))所成角的余弦值為_(kāi)_______．解析：由已知得eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，因此|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(4＋4＋2×2×2×\f(1,2))＝eq\r(3)，|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\r(\f(1,4)×4＋4－2×2×\f(1,2))＝eq\r(3).又因?yàn)閑q\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)×2－eq\f(1,2)×2＋eq\f(1,4)×2－2＝－2，所以向量eq\o(OE,\s\up6(→))與向量eq\o(BF,\s\up6(→))所成角的余弦值cosθ＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(3)×\r(3))＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)考點(diǎn)二利用數(shù)量積證明垂直如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD.求證：DC1⊥BC.【證明】