解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用

28.1銳角三角函數(shù)解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用例12012年6月18日，“神州”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神州”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到離地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少（地球半徑約為6400km，

結(jié)果取整數(shù)）？OFPQFQ是☉O的切線，∠FQO為直角.最遠(yuǎn)點(diǎn)求的長(zhǎng)，要先求∠POQ的度數(shù)典例精析OFPQ解：設(shè)∠POQ=α

，∵FQ是☉O的切線，∴△FOQ是直角三角形.的長(zhǎng)為利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：1.將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題；2.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題3.得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；4.得到實(shí)際問(wèn)題的答案.歸納：例2

如圖，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板（大小忽略不計(jì)）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為60°，則秋千踏板與地面的最大距離為多少？0.5m3m60°解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴CD=AD－AC=1.5m，∴CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板與地面的最大距離為2.0m.解與仰俯角有關(guān)的問(wèn)題一如圖，在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線上方的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線下方的夾角叫做俯角.例1

熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.ABCDαβ仰角水平線俯角分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30°，β=60°.典例精析Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD的長(zhǎng)度；類似地可以求出CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)度，即求出這棟樓的高度.解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ如圖，直升飛機(jī)在長(zhǎng)400米的跨江大橋AB的上方P點(diǎn)處，在大橋的兩端測(cè)得飛機(jī)的仰角分別為37°和45°，求飛機(jī)的高度.（結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）AB37°45°400米P練一練ABO37°45°400米P設(shè)PO=x米，在Rt△POB中，∠PBO=45°，在Rt△POA中，∠PAB=37°，OB=PO=x米.解得x=1200.解：作PO⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于O.即故飛機(jī)的高度為1200米.導(dǎo)入新課

以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.如圖所示：30°45°BOA東西北南方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南北偏東30°南偏西45°復(fù)習(xí)引入講授新課解與方位角有關(guān)的問(wèn)題一典例精析例1

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01nmile）？65°34°PBCA解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130nmile．65°34°PBCA解與坡度有關(guān)的問(wèn)題二

如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BC，問(wèn)哪條路比較陡？如何用數(shù)量來(lái)刻畫(huà)哪條路陡呢？ABC觀察與思考αlhi=h:l1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.2.坡度(或坡比)坡度通常寫(xiě)成1∶m的形式，如i=1∶6.

如圖所示，坡面的鉛垂高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，

即i=h:l

.坡面水平面3.坡度與坡角的關(guān)系即坡度等于坡角的正切值.αlhi=h:l坡面水平面例3如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達(dá)點(diǎn)C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長(zhǎng)度精確到0.1m）？i=1:2典例精析在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57