(完整版)高考數(shù)學(xué)專題《數(shù)列》超經(jīng)典

(完整版)高考數(shù)學(xué)專題《數(shù)列》超經(jīng)典高考復(fù)習(xí)：數(shù)列一、數(shù)列的通項公式與前n項和的關(guān)系數(shù)列是指按照一定規(guī)律排列的一系列數(shù)。對于任意數(shù)列，我們都可以使用以下公式：①通項公式：an=s1,n=1；an=s-sn,n≥2②前n項和公式：Sn=S(n-1)+an,n≥2③前n項和與通項公式的關(guān)系：an=Sn-Sn-1,n≥2④遞推公式：an+1-an-1=an+an+1,對于任意數(shù)列都適用二、等差與等比數(shù)列的基本知識1、等差數(shù)列⑴通項公式與公差：定義式為an-an-1=d，一般式為an=a1+(n-1)d，推廣形式為an=am+(n-m)d，公差為d⑵前n項和與通項公式的關(guān)系：Sn=n(a1+an)/2=n(2a1+(n-1)d)/2=(an+a1)n/2=n(a1+a1+(n-1)d)/2=n(a1+an)/2⑶常用性質(zhì)：①若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，特別地，若am是an,ap的等差中項，則有2am=an+ap，n、m、p成等差數(shù)列②等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”仍是等差數(shù)列③構(gòu)成的新數(shù)列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)-Sm；S(m+n),S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m，...也成等差數(shù)列2、等比數(shù)列⑴通項公式與公比：定義式為an/an-1=q，通項公式為an=a1q^(n-1)，公比為q⑵前n項和與通項公式的關(guān)系：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，an=a1q^(n-1)⑶常用性質(zhì)：①若m+n=p+q，則有am*an=ap*aq，特別地，若am是an,ap的等比中項，則有am^2=an*ap，n、m、p成等比數(shù)列②等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”仍是等比數(shù)列③構(gòu)成的新數(shù)列公比為q^m，即q^m=(S2m/Sm)，S(m+n),S2m/Sm,S3m/S2m,S4m/S3m，...也成等比數(shù)列公差=22n-m/n2，其中a=n時，S奇=a1+a3+...+a(2n-1)，S偶=a2+a4+...+a(2n)，Sn=a1+a2+...+an。如果項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n-1項，則S奇-S偶=an，奇=Sn，偶=Sn-1。如果項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項，則S偶-S奇=nd，偶=Sn，奇=Sn-1。例：已知等差數(shù)列{an}，其中S10=100，S100=10，則S110=？解析：法一：使用等差數(shù)列求和公式，求出a1和d，然后代入S110=110a1+5495d中計算。法二：S10，S20-S10，S30-S20，...，S110-S100成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，則S110-S100=10S10+45D。法三：使用等差數(shù)列求和公式求出S10和S100，然后代入S110=S100+(110-100)d中計算。等比數(shù)列的通項公式：⑴①一般形式：an=a1qn-1=a1n·q(n∈N*)；q≠0②推廣形式：an=am·qn-m，q=an/am③其前n項的和公式為：sn=1-qn/(1-q)，或sn=na1(1-q)/(q≠1)，sn=na1(q=1)⑵數(shù)列{an}為等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)an+1=q(an)，q≠0；當(dāng)且僅當(dāng)a2=a1q，a3=a2q=a1q2，...，an=a1qn-1(q≠0)；當(dāng)且僅當(dāng)an=a1qn-1(q≠0)；當(dāng)且僅當(dāng)Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)，Sn=na1(q=1)。⑶常用性質(zhì)：①若m+n=p+q，則有am·an=ap·aq；特別地：若am是an，ap的等比中項，則有am=an·ap；②等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，...）仍是等比數(shù)列；③{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，...也成等比數(shù)列（僅當(dāng)q≠-1或者q=-1且m不是偶數(shù)時成立）；④設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則Tk，T2k，T3k，...，T4k成等比數(shù)列，其中k為正整數(shù)；⑤{an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列。等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷方法：等差數(shù)列：如果差值為常數(shù)d（n∈N*），則{an}是等差數(shù)列。另外，如果滿足2an+1=an+an+2（n∈N*），則{an}也是等差數(shù)列。如果通項公式為an=kn+b（k、b為常數(shù)），則{an}是等差數(shù)列。如果前n項和的公式為Sn=An^2+Bn，則{an}是等差數(shù)列。等比數(shù)列：如果比值為常數(shù)q（n∈N*），則{an}是等比數(shù)列。另外，如果滿足an+1=an×an+2（an≠0），則{an}也是等比數(shù)列。如果通項公式為an=kq（k、q為常數(shù)），則{an}是等比數(shù)列。如果前n項和的公式為Sn=k(1-q^n)或Sn=k-kqn（k、q為常數(shù)），則{an}是等比數(shù)列。求解數(shù)列最值：對于等差數(shù)列{an}，如果a1>d，d<0，則Sn有最大值；如果a1<d，d>0，則Sn有最小值。求Sn的最值方法：①如果已知Sn，可以利用二次函數(shù)Sn=an+bn求出其最值，采用二次函數(shù)最值的求法（n∈N+）；②或者求出{an}中的正、負(fù)分界項，即：如果已知an，則可以確定在Sn取最值時n的值（n∈N+），如下所示：①an≥0時，Sn最大值時n取最大值（即n=（Sn/a1）+1）；②an<0時，Sn最小值時n取最大值（即n=（|Sn|/|a1|）+1）。舉例說明：對于等差數(shù)列{an}，如果a1>0，且S9=S12，則前9項和最大。解析：由S9=S12可得a12+a11+a10=a9，且a11=-（a12+a10）。因此，前11（或前10）項和最大。對于等差數(shù)列{an}，如果已知a3=12，S12>S13，則公差d的范圍為（-∞，-1/2）U（0，+∞），且S12取最大值時，S12的值最大。另外，S1=a1，S2=a1+a2。刪除明顯有問題的段落后，修改后的文章如下：根據(jù)已知的等差數(shù)列，我們可以推導(dǎo)出其中的公式和性質(zhì)。下面分別給出幾個例子：1.若等差數(shù)列的首項為31，從第16項開始小于1，則此數(shù)列公差d的取值范圍是多少？解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下不等式組：a16<1，a15>1，a1=31，an=a1+(n-1)d。從而得到：d>-1/15且d<-16/15。所以，該數(shù)列公差d的取值范圍是：-1/15<d<-16/15。2.若數(shù)列的前n項和Sn=n^2-10n，則第n項an=?解析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的標(biāo)準(zhǔn)形式Sn=An+Bn，可知該數(shù)列為等差數(shù)列。又因?yàn)閍1=S1=-9，a2=S2-S1=-7，所以公差d=2。因此，an=a1+(n-1)d=2n-11。另外，我們可以使用導(dǎo)數(shù)法或列舉法來求出數(shù)列的最小值，結(jié)果都是n=3時取得最小值。3.已知數(shù)列an，a1=33，an+1-an=2n，則an的最小值為多少？解析：由累加法可知，an-a1=n^2-n。因此，an=n^2-n+33。令f(n)=n*an，則f(n)=n^3+33n，f'(n)=3n^2+33。令f'(n)=0，可得n=sqrt(11)。又因?yàn)閚必須為整數(shù)，所以n=6時取得最小值。4.已知等差數(shù)列的前n項和Sn，S10=22，S15=25，則nSn的最小值為多少？解析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的公式Sn=(a1+an)*n/2，可得公差d=(an-a1)/(n-1)=2n-21。又因?yàn)镾10=22，S15=25，所以a1+9d=11，a1+14d=25。解得a1=-3，d=2。因此，Sn=n(2n-23)/2，nSn=n^2(2n-23)/2。令f(n)=n^2(2n-23)，則f'(n)=6n^2-46n。令f'(n)=0，可得n=sqrt(23/3)。又因?yàn)閚必須為整數(shù)，所以n=6時取得最小值。1.遞推數(shù)列的通項公式已知遞推數(shù)列{a_n}，求它的通項公式?？梢酝ㄟ^以下步驟來解決：1.1求出遞推關(guān)系式通過已知的遞推式，可以得到遞推關(guān)系式。例如，對于遞推式a_n+1=2a_n+3，可以得到遞推關(guān)系式a_n+1-3=2(a_n-3)。1.2求出數(shù)列的前幾項通過遞推式和初始值，可以求出數(shù)列的前幾項。例如，對于初始值a_1=1，可以求出a_2=5，a_3=13，a_4=29，a_5=61。1.3假設(shè)通項公式的形式根據(jù)數(shù)列的前幾項，可以猜測通項公式的形式。例如，對于數(shù)列{1,5,13,29,61}，可以猜測通項公式為a_n=2^n+1。1.4使用數(shù)學(xué)歸納法證明通項公式的正確性通過數(shù)學(xué)歸納法，可以證明通項公式的正確性。例如，對于假設(shè)的通項公式a_n=2^n+1，可以證明當(dāng)n=1時，a_n=2^1+1=3，符合初始值。假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k=2^k+1成立，則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=2a_k+3=2(2^k+1)+3=2^(k+1)+1，符合遞推式。2.處理遞推數(shù)列的待定系數(shù)法對于形如a_n+1=pa_n+q或a_n+1=pa_n+qn的遞推數(shù)列，可以使用待定系數(shù)法來處理。2.1轉(zhuǎn)化遞推式通過令a_n+1-t=p(a_n-t)，可以將遞推式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形式。例如，對于遞推式a_n+1=2a_n+3，可以令a_n+1-t=2(a_n-t)，得到t=-1，1-q=3，即q=-2。2.2求出數(shù)列的通項公式通過轉(zhuǎn)化后的等比數(shù)列，可以求出數(shù)列的通項公式。例如，對于遞推式a_n+1=2a_n+3，可以得到通項公式a_n=2^n+3/2。3.總結(jié)處理遞推數(shù)列的關(guān)鍵是求出遞推關(guān)系式和數(shù)列的前幾項，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)猜測通項公式，并使用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。對于待定系數(shù)法，需要將遞推式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形式，然后求出數(shù)列的通項公式。題目：已知數(shù)列{an}滿足遞推式an11(14an124an)，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。解法：首先，我們可以將遞推式中的分母化簡，得到an11(24an25)，然后將其兩邊取倒數(shù)，得到24an25an11，再將其化簡，得到an11(24an1)。接著，我們可以將an表示為bn124an，此時遞推式變?yōu)閎n12(bn1)，將其代入原遞推式中，得到an11(bn1)，再將bn代入，得到an11(124an1)，即an11(24an23)。最后，我們可以解出通項公式an1242324(1)n，即an2324(1)n124。}的通項的乘積，即{2n－1}·{xn1}。根據(jù)錯位相減法，我們將①式中的Sn和x·Sn兩式相減，得到：Snx·Sn＝12x4x8x…＋{2n－2}x{2n}x再將上式兩邊同時乘以(1－x)，得到：Sn(1－x)1·(1－x2x)2x·(1－x4x)4x·(1－x8x)…＋{2n－2}x·(1－x2n－2x){2n}x·(1－x)化簡得：Sn1x(12xx2)2x(14x4x2)4x(18x16x2)…＋{2n－2}x(1－2n2xn1)＋{2n}x(1－2n)三、TelescopingSeries（抵消法）求和這種方法主要用于求和式中含有相鄰項之差的情況，即可抵消的情況。我們通過對相鄰項之差進(jìn)行分解，將求和式化為一個簡單的表達(dá)式，從而求出和式的值。[例4]求和：Sn＝1＋12131415＋16＋171819＋＋198199＋1100解：將Sn拆分為兩個部分：Sn＝1＋121314＋15＋161718＋19＋＋198199＋1100＝1＋121314＋1516＋1718＋19＋＋198199＋1100＋1213＋141516＋171819＋＋1991100＋12＝2S501＝21121314＋15＋161718＋19＋＋198199＋110011＝21121314＋15161718＋19＋＋198199＋1100－1＝21121314＋15161718＋19＋＋198199＋1100－12＝12＋1100設(shè)數(shù)列為{a_n}，將其拆分為m個子數(shù)列，每個子數(shù)列為{a_k},k∈[i,j]，其中i,j為正整數(shù)，且i<j，且每個子數(shù)列都是等差數(shù)列、等比數(shù)列或常數(shù)數(shù)列。則有：$$\sum_{n=1}^m\sum_{k=i}^ja_k=\sum_{n=1}^m\frac{(a_i+a_j)(j-i+1)}{2}$$或$$\sum_{n=1}^m\sum_{k=i}^ja_k=\sum_{n=1}^m\frac{a_i(q^{j-i+1}-1)}{q-1}$$或$$\sum_{n=1}^m\sum_{k=i}^ja_k=(j-i+1)a_i$$其中，第一個公式適用于等差數(shù)列，第二個公式適用于等比數(shù)列，第三個公式適用于常數(shù)數(shù)列。[例6]求數(shù)列{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中所有奇數(shù)的和。解：將數(shù)列拆分為兩個子數(shù)列{1,3,5,7,9}和{2,4,6,8,10}，第一個子數(shù)列為等差數(shù)列，第二個子數(shù)列為等差數(shù)列，但是每個數(shù)都是偶數(shù)，因此不需要考慮。根據(jù)分組法求和的公式，有：$$\sum_{n=1}^2\sum_{k=i}^ja_k=\frac{(1+9)\times5}{2}=25$$因此，數(shù)列{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中所有奇數(shù)的和為25。例5：求數(shù)列1+1/4+2/7+...+(n-1)/(3n-2)+...的前n項和。解：設(shè)S_n=1+1/4+2/7+...+(n-1)/(3n-2)+...將每一項拆開再重新組合得：S_n=(1+1/4+...+(n-1)/(3n-3))+(1/3+2/6+...+(n-1)/(3n-3))化簡得：S_n=(1+1/2+...+1/(3n-3))+(1/3+1/6+...+1/(3n-3))利用等差數(shù)列求和公式得：S_n=(n-1)/2+(1/3+1/6+...+1/(3n-3))再利用分式分解得：S_n=(n-1)/2+[(1/2)-(1/3)]+[(1/3)-(1/4)]+...+[(1/(n-1))-(1/n)]化簡得：S_n=n/2-1/n例6：求數(shù)列1/(n(n+1))的前n項和。解：設(shè)a_n=1/(n(n+1))利用分式分解得：a_n=[1/n-1/(n+1)]將其每一項拆開再重新組合得：S_n=[(1/1)-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/(n-1))-(1/n)]化簡得：S_n=1-1/n例7：在數(shù)列{a_n}中，a_n=1+2/3+3/5+...+n/(2n-1)，又b_n=a_n*a_(n+1)/(n+1)，求數(shù)列{b_n}的前n項和。解：由題意得，a_n=n/(2n-1)將a_n*a_(n+1)/(n+1)拆開