2021屆高三5月模擬數(shù)學(xué)試題及答案

2021屆上海市崇明中學(xué)高三5月模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.“sinx=O”是“cosx=l"的（）

A,充要條件B,充分非必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

答案：C

根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式和充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

解：因為sinx=O,根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得cosx=±l,

反之：若cosx=l,根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得sinx=O,

所以“sinx=O”是“cosx=l”的必要不充分條件.

故選：C.

2.下列命題中與“/（X）為R上非奇非偶函數(shù)”等價的命題是（）

A.對任意xeR,有或

B.存在/SR,有/（—且/（一y）?！?（%）

C.存在x°eR,有/（—x°）關(guān)/（%）或/（—%）#—/（用）

D.存在x,weR'有/（—%）。/（%）且/（一々）。一/（々）

答案：D

根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，集合選項進行判定，即可求解.

解：根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義：對于任意xeR,.f（—x）="X）,函數(shù)y=/（x）為偶函數(shù),

對于任意xeR,f（T）=-f（x）,函數(shù)y=〃x）為奇函數(shù),

所以，若存在使得/（一々））。/（y），函數(shù)“X）不是奇函數(shù)，

存在使得〃一玉））工一〃不），函數(shù)”X）不是偶函數(shù)，

由此可得，函數(shù)y=/（x）,xeR為非奇非偶函數(shù)，

則存在wR,有/（_不）力/（西）且/（_%2）/_/（X2）?

故選：D.

H-I,in?:+l.in

3.若a,beR,|a|>|0|且lim—，>limH,則〃的取值范圍為()

“_>8nms

aa

A.或av-lB.-\<a<\

C.或一1<。<0D,或Ov〃<l

答案：D

n-l.rnM+1,rn

根據(jù)數(shù)列極限運算法則化簡lim-JL>lim，求出關(guān)于。的不等式，即可求解.

W->00Q〃“T8/

an-'+h"an+'+bn

解:lim>lim化為

/?->00anAT0O

lim(-+(-)n)>lim(a+(-r),

-aa00a

,??..力〃1(a—l)(a+l)

,.jci|>|/z?I,lirrn(—)=0,—>ci、----------<0,

00aaa

二av—1或()<av1.

故選:D

點評：本題考查數(shù)列極限，考查分式不等式，屬于中檔題.

4.已知數(shù)列｛%｝滿足凡M=。：-34+4,4=3,則下列選項錯誤的是()

A.數(shù)列｛0“｝單調(diào)遞增B.數(shù)列｛%｝無界

(1

C.lilTl-----F???H------1D.400=101

答案：D

111

AB選項，利用作差法判斷；C選項由條件化簡得到一-=——------^求和判斷；D選項結(jié)合

4T。“-2a?+l-2

數(shù)列的單調(diào)性，利用具體項的值判斷.

解：4+「%=%—2a,,+4=(4-1)2+3>0,所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增,%23恒成立,

故A,B正確：

1_1

=a：-3a“+4=a?+i-2=a--3a?+2=(an-2)(a?-1)n

4+i-2(an-2)(ait-l)

......-—s_

%+i-2an-2an-lan-lan-2an+i-2

所以

L+…+」1+」L+…+」111

-a2aa

6T凡-1q—24Z22%—2%—2n~n+\~2%—2,n+\~2

1)1、

所以lim------F???H=lim=lim—=1

?->+oo4-1-----a“-1,W—>4<0-2。"+1—2,〃一>+006Z1-2

故C正確:

因為??+1=?'-34+4,4=3,所以4=4,4=8,%=44,%=44,-44x3+4>101，結(jié)合數(shù)

列｛a,,｝單調(diào)遞增，所以400rl01,

故D錯誤,

故選：D.

二、填空題

22

5.橢圓土+匕=1長軸長為

925

答案：10

根據(jù)橢圓的方程，求得。的值，即可求得其長軸長，得到答案.

22

解：由題意，橢圓士+匕=1,可得a=51=3,

925

所以橢圓的長軸長為2a=1().

故答案為：10.

6.已知幕函數(shù))，=/(%)的圖像過點2,,則〃4)=

答案：|

利用待定系數(shù)法求出幕函數(shù)的解析式，再代入求值即可;

解：解：設(shè)基函數(shù)/(x)=N

???基函數(shù)y=/(x)的圖象過點2,

?,?—=2%

2

解得a=_』

2

，/（x）=X2，

-11

.?"（4）=42=5,

故答案為：二.

2

點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.

7.在四邊形ABCD中，/=（3,-1）,詼=（2,m），/_L而，則該四邊形的面積是.

答案：10

根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求得相的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

解：由題意，向量前=（3,—1）,而=（2,m）,/_1而，

ULUUUUUI____?_____

因為AC_LB￡＞，可得AC-皮＞=3x2+（—1）加=0，解得機=6,

所以四邊形的面積為:|恁卜|麗卜;532+（—1）2122+62=10.

故答案為：10.

8.已知復(fù)數(shù)2=。+67（aeR，i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且同=2,

則復(fù)數(shù)z=.

答案：-1+73/

根據(jù)忖=2得到|Z|=JY+3=2,解方程即可.

解：因為z=a+J§/，所以慟=五2+3=2,解得a=±l.

又因為z=a+y/3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以。=一1.

所以z=—1+.

故答案為：-l+JJi

9.由于新冠肺炎疫情，江蘇緊急抽調(diào)甲、乙、丙、丁四名醫(yī)生支援武漢和黃岡兩市，每市分配2名

醫(yī)生，則甲.乙兩人恰好分配在同一個城市的概率為.

答案：—

3

求出每市分配兩名醫(yī)生的方法數(shù)，再求出甲、乙兩人恰好分配在同一個城市的方法數(shù)后可得概率.

解：四名醫(yī)生平均分配到兩市的方法為C；=6,甲、乙兩人恰好分配在同一個城市的方法數(shù)是2,

21

所求概率為尸=；=4

63

故答案為：

3

點評：本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).平均分組時要注意組間有無區(qū)別.

10.如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線/龍，則不等式f(x)》hgzG+i)的解集是.

答案：

先作函數(shù)圖象，再求交點，最后根據(jù)圖象確定解集.

解：令g(x)=y=log2(x+l),作出函數(shù)g(x)的圖象如圖.

X+y=2>得|x=l,

由

y=log2(x+l),[y=l.

結(jié)合圖象知不等式f(x)》lo&(x+l)的解集為{x|-l<xWl}.

點評：本題考查函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析求解能力.

(-1)"1</?<2019

11.已知數(shù)列｛q｝的通項公式為=[1)廣269,前"頂和為S",貝！]1吧,值是

n>2020"z

答案：0

利用分組求和，再求極限.

’1、

lim

解:limSn=11111^(01+.-?+a2019)+(a2020+a202l+-??)!=T+~^T=。，

1---

I2j

故答案為：0

12.已知過球面上三點A,B,C的截面到球心距離等于球半徑的一半，且AAZ?。是邊長為6的等

邊三角形，則球面面積為.

答案：64兀

設(shè)球的球心為。，半徑為總?cè)?5的中點〃，連接W,根據(jù)題意得△ABC的外心0',在線段位

上，分析得(9)+(2后=片,求出H即得解.

解：設(shè)球的球心為O,半徑為此取16的中點〃，連接切,

根據(jù)題意得AABC的外心。'，在線段切上，

由△ABC是邊長為6的等邊三角形可得CD=36，。'。=?。。=26,連接0C,。。'，如圖

根據(jù)球的性質(zhì)可得OC=H,OO'，平面ABC.

即。。，=3,所以O(shè)O，_LO，C,

2

在Rt/\OOC中，O'O2+O'C2=OC2

/D\2

即-+（2，i）2=R2,解得廬4或廬-4（含去），

、2,

所以該球的表面積S=4兀A，=647F>

故答案為：64萬

點評：方法點睛：求解球的半徑，一般通過解直角三角形完成.直角三角形的斜邊是球的半徑，另

外兩條直角邊，一邊是球心到圓心的距離，一邊是多邊形外接圓的半徑.

13.已知直線3x+y-2=0與單位圓f+y2=i交于AB兩點，設(shè)射線0Ao5的對應(yīng)的角是

a,p,貝!|cosa+cos尸=.

答案：-

5

/、/xf3x+y-2=0

設(shè)義不刈凈伍,以），由｛二2_1得到%+%，再根據(jù)三角函數(shù)的定義由

x+y=1

cosa+cos/?=%+/求解.

解：如圖所示:

設(shè)4(石，弘)，鞏“必)，

3x+y-2=0

由《22?，消去丁得10%2―12%+3=0，

[Y+y』

6

則x{+x2=—f

根據(jù)三角函數(shù)的定義得：cosa+cos/7=X1+&,

即COS2+COS/?=三.

故答案為：I

14.若函數(shù)/裊)=2閨-。|幻+。2一2。€/?)有唯一零點，則實數(shù)。的值為.

答案：一1

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可得/(0)=0,解得。=±1,再對。的取值分兩種情況討論得解.

解：因為xwR,又/(r)=2iT—a|—x|+/-2=/(x),所以函數(shù)為偶函數(shù).

因為函數(shù)有一個零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可得/(0)=0,所以2°+〃—2=0,解得a=±l.

當(dāng)a=l,此時/*)=/—|x|-l,知/⑵<0,/(x)有零點(x=l),不符合題意：

當(dāng)。=一1,此時/⑺=23+|x|—l在(0,小)上單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,根據(jù)偶函數(shù)對稱性,

符合題意；所以。=一1.

故答案為：一I

點評：關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵如何檢驗。=1和。=-1,用零點存在性定理檢驗“=1,利用函

數(shù)的單調(diào)性檢驗。=一1.

1

+2a,+…+2"cinn+l

15.定義H.為數(shù)列｛/｝的均值,已知數(shù)列也｝的均值Hn=2,記數(shù)列

n

｛仇-切｝的前〃項和是s.,若S.4s5對于任意的正整數(shù)“恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是

答案：百苧

n+,

因為4+2%+…+2"~'bn=n-2,b｝+2b2+...+2"2〃T=(〃一1)?2”,從而求出b?=2(〃+1),

可得數(shù)列｛bn-kn｝為等差數(shù)列,記數(shù)列也一切｝為｛%｝,從而將S,,<55對任意的〃(〃eN,)恒成立

化為qNO,W0,即可求得答案.

解：““/+2J+…+2”””=2叫

n

4+2么+—+2"-也=〃.2"+，

故4+24+…+2"-22T=(〃-1).2"(〃之2),

2"-'2=〃?2'川一(〃-1)?2"=(〃+1)?2”,

則包=2(〃+1),對白也成立,

bn=2(〃+1),

則%—初=(2—左)〃+2,

.??數(shù)列｛4-初為等差數(shù)列,

記數(shù)列也-%〃｝為｛%｝.

故S,4S5對任意的〃(〃eN*)恒成立,可化為：c5>0,c6<0；

‘5(2-％)+220712

即《,解得，彳4&4工,

[6(2-女)+2?035

712

故答案為：

點評：本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項公式和數(shù)列的單調(diào)性,掌握判斷數(shù)列前〃項和最大值的

方法是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.

16.數(shù)列｛??｝滿足anan+｝alt+2=an+an+l+。曰(卬4+尸L〃wN*)，且q=1,4=2?若

an=Asin(<m+°)+c(<y>0,0<°<;r),則實數(shù)A=.

答案答

由數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系可得數(shù)列｛”"｝是以3為周期的數(shù)列，從而可得①=修，再由

等+8）+c,2=Asin當(dāng)x3+4+c可求得夕，繼而

1=Asin耳X2+Q）+C,3=Asin

可得實數(shù)A的值.

解：解：數(shù)列｛an｝滿足anan+lan+2=an+a?+1+an+2（44什產(chǎn)1,〃wN），且q=1,出=2.

令〃=1,得：2〃3=1+2+。3，解得。3=3.

令〃=2,得：6%=2+3+%，解得%=1.

令〃=3,得：3%=1+3+%,解得〃5=2.

可得an+3二〃〃，=1,g=2,%=3.

?/an=Asin（加+e）+c（3>0,0v°〈"）,

27c.az?/日27r

-=3,解得67=—

co3

2萬

an-Asinn+（p+c（0<（p<兀）,

葛+4+c,2=Asin券x2+e]+c,3=Asin券x3+4+c.

/.1=Asin

2〃

化為：1=Asin+9）+c,2=-Asiny+^j+c,3=Asin^+c.

Asin^9+Asinfy+^9j=1,Asin夕一Asin

T+T2-

即^■sin夕+Acos0=1①

3A.^/3Cg

—sin-Acos=2②

①+②得：3Asin°=3,即Asin°=l；

①-②得：百Acos°=—1,即Acos夕=一^^；

聯(lián)立解得：tane=-0，0<0〈乃，

2兀

/.(0二—

3

:小巫

3

故答案為：哀I

3

點評：本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、考查了數(shù)列與三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計算能力,

屬于難題.

三、解答題

17.直角坐標(biāo)系xQy中，銳角a的終邊與單位圓的交點為將。尸繞。逆時針能轉(zhuǎn)到。Q,使

4POQ=a,其中。是與單位圓的交點，設(shè)。的坐標(biāo)為(x,y).

(1)若P的橫坐標(biāo)為3,求上：

5x

(2)求氐+y的取值范圍.

答案：(1)——；(2)V3,2^.

34

(1)先求出cosa=W，sina=g,再求出sin2a,cos2a即得解；

(2)先求出瓜+y=2sin(2a+2)，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

334

解：(1)?.?2的橫坐標(biāo)為^,?,?(：051=1，$吊0=二.

c2.29167「c.4324

/.cos2a=cosa—sirr。=-------=----,sm2a=2sinacosa=2x—x—=——

2525255525

y_sin2a_24

xcos2a7

(2)6x+y=Geos2a+sin2a=2sin2a+—\,aG0,—

兀714萬

:,2aE（0,乃）,2a+§￡

_V3.（TC

/.sin2aH——G,12sin2a4——

I4I4

點評：方法點睛：求三角函數(shù)/（x）=Asin（<yx+e）,xG（a,。）的取值范圍，一般根據(jù)x的范圍，利

用不等式的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的圖象逐步求出函數(shù)的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC,底面A8Cr）,ABCD是直角梯形，AD±DC,AB//DC,

AB=2AD=2CD=2,點E足P8的中點.

（2）者直線與平面PAC斤城角的正弦值為也，求三棱錐P-4CE的體積.

3

答案：（1）證明見解析；（2）

3

（1）由PC_L平而ABC。，證得PC_L8C,再由AC2+8C2=AB2,得到AC_L8C,結(jié)合線

面垂直的判定定理，即可證得8C_L平面PAC；

（2）由（1）得到乙BPC為尸8與平面B4C所成角，在直角△BPC中，可求得=太，得到

PC=2,結(jié)合/TCE=^VP-ACB'即可求螂

解：（1）因為尸。，平而488,BCu平面ABCD,所以PC_LBC,

又由A8=2,A￡>=CO=I,ADJ.0C,且ABCD是直角梯形，

可得AC=8C=0，可得+=432,所以ACLBC,

又因為PCcAC=C,且PCACu平面Q4C,所以3C_L平面尸AC.

（2）由（1）知8CL平面B4C,所以ZBPC即為直線依與平面尸AC所成角,

在直角△3PC中，可得sin/BPC=吐=叵=也,所以尸8=&，則PC=2,

PBPB3

所以Vp-ACE=gx（；xgxlx2x2）=；.

19.某熱力公司每年燃料費約24萬元，為了“環(huán)評”達標(biāo)，需要安裝一塊面積為X（x>0）（單

位：平方米）可用15年的太陽能板，其工本費為X土（單位：萬元），并與燃料供熱互補工作，從

2

此'公司每年的燃料費為瓦磊（”為常數(shù)）萬元'記y為該公司安裝太陽能板的費用與15

年的燃料費之和.

（1）求女的值，并建立y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求）'的最小值，并求出此時所安裝太陽能板的面積.

一,八，―八1800x小匚…

答案：(1)Z=2400,y=-----F—；(2)x=55時，y=57.5

x+52mm

(1)根據(jù)題意，先?。?(),得J^J=24,求出2=2400,

從而可得出結(jié)果;

/八屆1800,x1800,冗+55的用甘*才2一

(2)由丁=----+—=-----+--------,根據(jù)基本不等式,即可求出結(jié)果.

x+52x+522

k

解：（1）因為公司每年的燃料費為一--（女為常數(shù)）萬元,

20X+100

取X=(),得需=24，則%=2400,

所以，該公司安裝太陽能板的費用與15年的燃料費之和為:

2400x1800x-

y=15x--------+—=----+—，%>0：

20X+1002%+52

/八h.1800x1800x+55.18005

(2)因為y=----+—=----+------->2.=57.5,

x+52x+522~2~~2

當(dāng)且僅當(dāng)黑二手’即時取等號.

所以安裝太陽能板的面積為55時，》取得最小值為57.5萬元.

點評：本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于常考題

型.

20.已知橢圓「：」一+占=1,過點。（-1,0）的直線/：y=&（x+D與橢圓r交于乂〃兩點

機+1m

（〃點在/點的上方），與y軸交于點￡

（1）當(dāng)〃2=1且％=1時，求點胴”的坐標(biāo);

（2）當(dāng)機=2時，設(shè)兩=尤麗，EN=pDN,求證：丸+〃為定值，并求出該值;

(3)當(dāng)機=3時，點2和點尸關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，若△的版的內(nèi)切圓面積等于-兀,求直線/的

方程.

41

答案：(1)加0,1),N(一一，一一)；(2)九+〃為定值3(3)/:y=±(x+l)

33

(1)代值聯(lián)立方程組.解得即可求出，

(2)聯(lián)立方程,利用韋達定理,以及向量的知識可得從而4+〃=；^+去,化簡整理即可

證明，

(3)假設(shè)存在直線/：尸左(x+1)滿足題意，則△砌W的內(nèi)切圓的半徑為述,

根據(jù)韋達定理,

7

弦長公式，三角形的面積公式，即可求出衣的值

r24

%,21x=——

---Fy=1x=O3

解：解:(1)當(dāng)卬=4=1時，聯(lián)立，2,，解之得：,,或，

[y=l1

,y=x+l

13

,41

即"(0,1),N(--，—)；

33

’2o

廠y1

(2)當(dāng)片2時聯(lián)立＜32,消去y得：(3K+2)x~+6A~x+3K—6=0

p=Z(x+l)

6a

X,+X.=----;——

1-3k2+2

設(shè)水為，M),N(如女)，則，

3/一6

卬"E

由的=4麗，甌=〃兩，且點￡的橫坐標(biāo)為0,

得玉=兄(g+1)、x,=;/(x2+1).從而/+〃=

X[+1x2+1

4+〃=2—---I—j=2—X]+%2+2

、再+1x2+1J玉芝+玉+工2+1

_2______3r+2______=2———=3,

3人2-66k21-6+2

,-------——+1

3k2+23k2+2

%+〃為定值3；

22

（3）當(dāng)〃尸3時，橢圓「：亍+4=1,假設(shè)存在直線/:y=k（x+l）滿足題意，則△MNF的內(nèi)

切圓的半徑為半，又。（一1,0）、F（l,o）為橢圓「的焦點，故△助步的周長為8,

u而。1o3夜1272

從叩S1M雁=5乂8*7--勺-

消去九得（4左2+3）f+8/x+4/-12=0,設(shè)A/（%,y）、N（x2,y2）,

則S^fNF^\DF\\yi-y2\=\X-訃M%一々）|.

故卜（工1一々）|=I。',即無2［（芭+動2_0/=~^

2

'8左2288

由⑵,得左2I-4x

「4女2+3~^9

化簡，得171+^—18=0，解得攵=±1，

故存在直線/：＞=±（x+l）滿足題意.

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、韋達定理、三角形面積計

算公式、考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

21.若數(shù)列｛叫，也｝滿足|凡+一%|=〃（〃eN）則稱也｝為數(shù)列｛4｝的“偏差數(shù)列”.

（1）若也｝為常數(shù)列，且為｛4｝的“偏差數(shù)列”，試判斷｛4｝是否一定為等差數(shù)列，并說明理由；

（2）若無窮數(shù)列｛4｝是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且%-%=6,也｝為數(shù)列｛叫的“偏差數(shù)

1111、

列”，求r11!11（z廠+丁+1+…+1）的值；

2"4仇4b“

（3）設(shè)"=6-（；嚴(yán)，也｝為數(shù)列｛4｝的“偏差數(shù)列"，4=1,且%4均用若

㈤WM對任意nwN*恒成立,求實數(shù)M的最小值.

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答案：（1）答案見解析（2）—或一（3）—

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⑴設(shè)為=（-1）",根據(jù)何用一%|=bn，可得勿=2,滿足圾｝為數(shù)列｛（??｝的“偏差數(shù)列,但此時

｛4｝不是等差數(shù)列，故可得出｛見｝不一定是等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為9,解方程可得首項和公比，由等比數(shù)列的通