2021屆高考數(shù)學(xué)（文）全真模擬卷01（新課標(biāo)Ⅰ卷文）（解析版）

新高考全真模擬卷。1(新課標(biāo)I卷)

文科數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合67={x|y=log2(x+2)},A={x[(x-l)(x-a)<0},若CuA=[L+8),則實數(shù)。的值為()。

A、-2

B、-1

C、1

D、2

【答案】A

【解析】???U={x|y=log2(x+2)}={x|x>—2},又CUA=[1,+8),AA=(-2,1),

又A={x[(x-l)(x-a)<0},，一2、1是方程(工一1)(%—。)<0的兩個根，。=一2,故選A。

2.已知復(fù)數(shù)2=旦+宜電的實部與虛部之和為1,則實數(shù)a的值為()。

2-i5

A、1

B、2

C、3

D、4

【答案】B

【解析】由題意可得：z=史2辿+±±=(2"+3)+"4),,

555

?.?實部與虛部之和為1，.?.如口+竺逢=1,解得a=2,故選B。

55

3.霍蘭德職業(yè)能力測試問卷可以為大學(xué)生在擇業(yè)方面提供參考，對人的能力興趣等方面進(jìn)行評估。某大學(xué)

隨機抽取100名學(xué)生進(jìn)行霍蘭德職業(yè)能力測試問卷測試,測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生的得分都在[50,100]內(nèi)，

按得分分成5組：[50,60)、[60,70)、[70,80)>[80,90).[90,100],得到如圖所示的步直率分布直方圖，則

【答案】A

【解析】設(shè)中位數(shù)為X，根據(jù)頻率分布直方圖可得測試結(jié)果位于［50,70)的頻率為:

(0.010+0.030)x10=0.4<0.5，

位于［50,80)的頻率為(0.010+0.030+0.M)x10=0.8>0.5,

則這100名學(xué)生得分的中位數(shù)位于［70,80)之同，

故有0.01xl0+0.03xl0+0.04x(x—70)=0.5,解得x=72.5,故選A。

4.王老師是高三的班主任，為了在新型冠狀病毒疫情期間更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組

建了一個學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長、老師共同組成。已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女

學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)。則該釘

釘群人數(shù)的最小值為()。

A、18

B、20

C、22

D、28

【答案】C

【解析】設(shè)教師人數(shù)為x,家長人數(shù)為y，女學(xué)生人數(shù)為z,男學(xué)生人數(shù)為f,x、y、z、ZeZ,

則y2x+l,z>yJr\>x+2,r>z+l>y+2>x+3,則x+y+z+fN4x+6,

又“教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)，

?*.2x>x+,3>x>3>當(dāng)x=4時，x+y+z+t>22,此時總?cè)藬?shù)最少為22,故選C。

5.設(shè)曲線f(x)=ffr8sx(meR+)上任意一點P(x,y)處切線斜率為g(x),則函數(shù)y=f.g(x)的部分圖像

可以為()。

g(x)=f'(x)=-m-sinx,y=x2-g(x)=-m-x2-sinx,

該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)x70+時，y<0,故選D。

6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()。

2

A3

c、

V6

D、

3

【答案】D

【解析】由三視圖可還原成三棱錐P-ABC如圖所示,

其中AABC是邊長為2的正三角形,

作PH_L平面ABC與前H,

連接8”，交AC于點G,則G為AC的中點,

PH=6、AC=2.BG=6

Vp-4BC=gxgx2x，故選Do

7.已知函數(shù)/(x)=a-lnx(a>0),若直線y=x—l與曲線y=/(x)相切，則。=()。

A、I

B、2

C、e

D、3

【答案】A

【解析】f\x)=~,設(shè)切點為(m,n),則切線斜率為巴，故幺?=1，即,w=a,故〃=a-lna=a—1,

xmm

令g(a)=。?In。一a+1(a＞。)，則gf(a)=1+In。一1二In。，

，當(dāng)Ovavl時g'(〃)<0,故g(a)在(OJ)上單調(diào)遞減,

當(dāng)時g'(a)>0,故g(a)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

即有唯一實數(shù)根故選。

/.g(a)min=g(l)=0,a?lna=a-l1,/a=l,A

8.在A4BC,44=120°,4?=一3,點G是AABC的重心，則|AG|的最小值是()。

叵

A、

2

B、

3

V6

C、

3

5

D、

3

【答案】C

【解析】設(shè)3c的中點為。，??,點G是AABC的重心,

—*2—(,21->--1—*—-

???AG=-AO=-x—(A3+AC)=—(AB+AC),

3323

再令|麗=c,|就1=6,則Q?I?=—c-cosl20°=-3,解得兒=6,

.1..1,?..112

；.|AG『=§(A8+ACf=一0A8『+1AC『+2H8?A。=§(c、2+/-6)N§(28c—6)=§,

；.|AG|>,當(dāng)且當(dāng)6=c=后時取等號，故選C。

9.函數(shù)/(x)=2cosgx+：)((o>0)的圖象關(guān)于x=/對稱，且在(半兀)上單調(diào)遞增，則/(幻在區(qū)間

［-捐］上的最小值為()o

A、-2

B、—^2

C、-1

D6

2

【答案】B

【解析】由題意得：-oi+-=2kK+n(k&Z),解得co=4%+』(AeZ),且3

242co2

3

故0vco<2,co=—,

2

即/(x)=2cos^x+—)，V<x<—>,

24232244

故/(x)在區(qū)間［一方中上的最小值為-五，故選B。

10.已知函數(shù)f(x)=^x3+~a^+0x+c在七處取得極大值，在聲處取得極小值，滿足司e(-l,0),

則的取值范圍是()。

x2e(0,l),"+2”+4

a+2

A、［0,3］

B、(0,3)

C、［1,3］

D、(1,3)

【答案】D

【解析】Vf(x)=^x3++bx-^-c,/.f\x)=x2+ax+b,

?.?函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)取得極大值，在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極小值，

，/'")=/+依+人=0在(—1,0)和(0,1)內(nèi)各有一個根，/(0)<0,.f(-l)>0,/'⑴>0,

b<Q

即1一4+6>0,在坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域，a+2Z?+4^l+2x—,

。+2。+2

i+a+b>0

令”="1,其幾何意義為區(qū)域中任意一點與點(-2,-1)連線的斜率，

。+2

分析可得0<小蟲<1,則1<空勸±4<3,.??空空1的取值范圍是(1,3),故選D。

a+2a+2a+2

22

11.已知F(-5,0)是雙曲線三—二=1(。>0,匕>0)的左焦點，過F作一條漸近線的垂線與右支交于點P,

ah

垂足為A,月.|Q4|=3|A尸I，則雙曲線方程為()。

^-f=1

【答案】D,

【解析】設(shè)雙曲線右焦點為片，連接對，\/

左焦點尸(―c,0)到漸近線y=的距離為b,故|R4|=38，

在AE4O中，COS/AFO=2,由雙曲線定義得||=4b—2a,

在APFF,中，由余弦定理得(4b—2a)2=(432+(2c)2一2x48x2cx—，

C

整理得16/-16。％=4(。2_02)=4〃，即3)=而，又/+川=25,

解得/=9、/=16,故雙曲線方程為：—-^-=1,故選D。

916

12.已知四棱錐尸一A8CO中，AABD是邊長為26的正三角形，BC=CD=2,ZBPD=60u,二面角

P-3D-C的余弦值為-；，當(dāng)四棱錐的體積最大時，該四棱錐的外接球的體積為()。

A、8兀

B、65/271

C、9岳

D、127t

【答案】C

【解析】???四棱錐P-ABCD的底面面積為定值，故當(dāng)四棱錐的高最大時，其體積最大,

?.?二面角P—8。—C的余弦值為一1,

3

故當(dāng)AF5O中5。邊上的高最大時，當(dāng)四棱錐尸―ABCO的高最大,

又NBPD=60°,.?.當(dāng)P3=P。時，50邊上的高最大,

此時四棱錐P-ABC。的圖像如圖所示,

連接AC交BD于點H,連接PH,設(shè)0的外心為0,,連接P0,,

在POi上取一點。使其滿足PO=AO，:.BC=CD=2,AB=BD=AD=2y/3,

:.BH=DH=6CH=\,AH=3,PH=3,H01=l,A。=2,

VCHLBD.PHLBD,二為二面角C的一個平面角,

/.cosZPHC=」，故cosZPHO.=

33

PO]=4PH2+HO；-2PH-"Q.cos4PHO、=242,

2

P0：+HO：=PH,：.P0t1AH,

■:BDLAH、BDLPH，AHP\AH=H,平面叢“，

/.POt±BD,又BDCAH=H,PO】_L平面ABD，

0為四棱錐P—ABC。的外接球的球心，

由尸。2=A。？=A0；+。。：=2?+(272-PO)2,解得尸0=乎,

故該四棱錐的外接球的體積為3兀-P03=9后71,故選C。

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量〃=(3,—2),=(1,x),且〃一右與2。+1平行，那么x=

【答案】,2

3

【解析】Va-b=(2-2-x)A2a+B=(7,-4+x),且〃一%與2〃+%平行,

2

/.2x(-4+x)=(-2-x)x7,解得x=——

3

14.過點尸(0,3)的直線/與圓C：(工一2)2+(丁一3)2=4交于4、B兩點、,當(dāng)NC4B=30°時，直線/的斜率

為

【答案】土苧

【解析】由題意得NACB=120°,則圓心C(2,3)到直線/的距離為1,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線，的方程為x=0.

此時直線/與圓相切，不合題意，舍去，

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為、=丘+3,

則!2,一3.3[=]2三=],解得k=±9i。

15.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an=log?(n+l)(n>2,ncN.)。定義：使乘積.火為正整數(shù)的

k(keN+)叫做“幸運數(shù)”，則在[1,2020]內(nèi)的所有“幸運數(shù)”的和為。(用數(shù)字作答)

【答案】2036

【解析】Va?=log,,(?+1)=聯(lián)〃+D,

1g〃

=lx妲x3x國"+l)lg(k+l)

aaa

\?2.....k=log2(/c+l),

lg2lg3Igklg2

為使Iog2(%+1)為正整數(shù)，即滿足2"=k+1,則女=2"-1,

則在[1,2020]內(nèi)的所有“幸運數(shù)''的和為：

2i-1+2?-1+…+*-1=2(1-2)-10=1023x2-10=2036..

1-2

logj(X4-1),O<X<1

16.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)xNO時，/(x)=?2,則函數(shù)/(?n/OO-alOvavl)

1—|x—31,X21

的所有零點之和為。

【答案】1-2“

logJ(X+1),O<X<1

【解析】:當(dāng)XNO時，/(%)=,2,

l-|x-3|,x>l

當(dāng)X￡[0,l)時,/(x)=logi(x+l),/U)e(-l,0],

2

當(dāng)xe[1,3]時，f(x)=x-2,f(x)G[-1,1],

當(dāng)xe(3,+8)時，f(x)=4-x,/(x)e(-oo,-l),

畫出時/(x)的圖像，再利用奇函數(shù)的對稱性,畫出xvO時了(幻的圖像，如圖,

則直線y=。與y=/(x)的圖像有5個交點，

設(shè)交點的橫坐標(biāo)從左到右依次為匕、巧、打、西、入2，

貝I]X+&=—6,%+4=6,

*/XG(-1,0)時，-XG(0,1),二/(-x)=log](-X+1),又f(-x)=-/(x),

2

則當(dāng)X￡(-1,0)時，/(X)=-f(-X)=log2(-x+l),

a

則Xp滿足log2(-Xp+1)=a,解得xP=\-2f

：?X]+々+芻+%4+Xp=1-2"o

三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（12分）

ITTT

平面四邊形A8CO中，ZABC=~,ZADC=-,BC=2。

32

（1）若A43C的周長為6,求AB。

JT

（2）若AB=1,ZACD=-,求四邊形ABCO的面積。

JT

【解析】(1)在AABC中，V5C=2,ZABC=-,AA8C的周長為6,/.AB+AC=4,1分

3

又由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosZABC=AB2-2AB+4,3分

則將AC=4—A8代入得AB=2；5分

(2)在AA8c中，由余弦定理得：AC2=452+5C2-2M?8C.COSNABC=3,7分

:?AC=6，又ZACO二三，ZADC=-,：.AD=—,CD=~,9分

6222

???四邊形ABC。的面積5=5^8+SM叱hgAO-CO+gAB-BOsinNABC

￡Xq3+L1X2X立7百

12分

22222~8~

18.（12分）

某測試團(tuán)隊為了研究“飲酒”對"駕車安全'’的影響，隨機選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行

“停車距離”測試。測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離'’（駕駛員從

看到意外情況到車子停下所需的距離），無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的實驗數(shù)據(jù)分別列于表1和表2。

表I

停車距離d（米）(10,20](20,301(30,40](40,50](50,601

頻數(shù)26402482

表2

103090

平均每毫升血液酒精含量X（毫克）5070

305090

平均停車距離y（米）6070

請根據(jù)表1、表2回答以下問題：

(1)根據(jù)表1估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；

(2)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計算y關(guān)于x的回歸方程9=菽+4；

(3)該測試團(tuán)隊認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的“平均停車距離”y大于(1)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍,

則認(rèn)定駕駛員是“醉駕請根據(jù)(2)中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”？

,Z(x,-x)(X-y)__

參考公式：b=------------=-........——，a=y-bx,,

〃=,〃0—2

Z(x；-x)-Zx：-nx

;=1i=i

【解析】(1)依題意，駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)為:

?26—4024“8”2。

15x----F25x----H35x----F45x----F55x---=273分

100100100100100

(2)依題意可得：x=50,y=60,4分

；10x30+30x50+50x60+70x70+90x90-5x50x60

102+302+502+702+902-5X502

(5=60-0.7x50=25,則回歸方程為$=0.7x+25；8分

⑶由(1)知當(dāng)y>27x3=81時認(rèn)定駕駛員是“醉駕”，9分

令9=81得0.7x+25>81,解得x>80,11分

當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時為“醉駕"12分

19.(12分)

如圖所示，在直角梯形A3CO中，AD//BC,AB1BC,且8c=2AZ>=4,E、尸分別為線段AB、DC

的中點，沿EF把4EED折起，使AELC產(chǎn)，得到如下的立體圖形。

(1)證明：平面AEFD_L平面E3CF；

(2)若BDLEC,求點F到平面A3C。的距離。

【解析】(1)證明：由題意可得瓦V/AO,則

又AELCF，EFCCF=F,EF、CFu平面E5C77，2分

AEJ_平面

又：AEu平面AEED,，平面平面E8CR；4分

(2)過點。作￡>G〃AE交所于點G,連接BG,則。G_L平面二0GLEC,5分

乂BDLEC，8。口。6=。，，￡(7，平面30(7，6分

又BGu平面3DG，:.EC上BG,易得AEGBS^BEC,

則約=——，得EB=2日7分

EBBC

設(shè)點F到平面ABCO的距離為h，

^F-ABC=%-BCF可得§S^BC。§^&BCF，AE,8分

又,..5C_LAE、BCLEB,AEQEB^E,AE、E5u平面AE3,

二3C_L平面AE8,，8CLA3,10分

又：='x4x2忘=4/，AE=EB=272,A5A4fir=-x4x4=8.11分

LSDi^r2ZJ/IDV-2

：.h=—....—=2,故點/到平面ABC。的距離為2。12分

8

20.(12分)

已知拋物線C：/=人的焦點為尸，點E(_1,O),圓/+丁=/(「>。)與拋物線c交于4、兩點，直

線3E與拋物線交點為。。

(1)求證：直線AO過焦點產(chǎn)；

(2)過F作直線MN，A￡>,交拋物線C于M、N兩點，求四邊形AMW面積的最小值。

【解析】(1)由題意，設(shè)A(x0,%)、B(x0,-y0),直線BE的方程為y=D"(x+l),

玉)+1

y=——(x+1)v->

聯(lián)H,而+1得——y~+(XQ+l)y+%=0,2分

y=4x4

由題意可得，該方程有一個根為-為，

山韋達(dá)定理得一%九)二4,則如=---，二?￡>(—y,----),

%%為

4

則直線FD的斜率為一當(dāng)方=李一,直線A尸的斜率為-^=孚」,

4分

1-±近一4y芯一4

Jo4

kAF=kFD,故A、F、。三點共線，，直線AO過焦點P；5分

⑵設(shè)直線AD方程為y=Mx—1),則直線MN的方程為y=-工(x-1),

6分

k

y=k(x-l)、、0

聯(lián)立4,,得z：k2x-(2k2+4)x+k2=0,

尸=4x

2r+4

設(shè)A(X1,%)

B(X,y2)>則得+々==2+

2F

4r

：.\AD\^xl+x2+2=4+-I,同理可得|MN|=4+4廿，10分

二四邊形AMW面積為：

1141

S=--|AD|-|M?/|=-x(44-—)x(4+4)t92)=8x()t92+-y+2)>32,

22%/c

當(dāng)且僅當(dāng)Z=±1時，四邊形ANDM面積取得最小值，最小值為32。12分

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=x-e"*T(awR)。

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性

(2)若函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過點(1,1),求證：一5一+ln/(x)>0(x>0)o

xex

【解析】(1)由題意知，函數(shù)/(幻的定義城為R,

當(dāng)a=0時，/(x)=—,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

e

當(dāng)a00時，f\x)=eM-'+ax-e<K-'=e^'-??(%+-),令f'(x)=0,^x=-~,2分

aa

①當(dāng)a<0時，在區(qū)間(-8,-[)上八x)>。，f(x)單調(diào)遞增，

a

在區(qū)間(-L+8)上/'(X)<0,f(X)單調(diào)遞減，

3分

a

②當(dāng)a>0時，在區(qū)間(一8,-，)上/'(%)vO,f(x)單調(diào)遞減，

a

在區(qū)間(__L,+8)上((X)>0,/(%)單調(diào)遞增，

4分

a

(2)若函數(shù)/(%)的圖像經(jīng)過點(1,1),則/⑴=/T=l,得a=l,則/(x)="T,

則——十Inf(x)=--——F]n(x-ex~1)=--——blnx+x-1?5分

x-ex,xexx'ex

,幾/、11i/八、i.ni，/、1+x1i(1+x)-(x-ex-1)

設(shè)g(x)=——-+lnx+x-l(x>0),則g(x)=—一5--+-+1=-----5~:-----6分

x-ex-exx-e

h(x)=xex-1,則hr(x)=ex+x-ex,

顯然當(dāng)x>0時，h\x)>0,故〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,7分

又以0)=—1<0,4(l)=e—l>0,???當(dāng)4e(0,+8)時〃(X)在(0,1)上有唯一的零點,

不妨設(shè)人(%)=。，則一1=。，，g'(X())=。，9分

當(dāng)xe(O,/)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)*€(瓦,+8)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,10分

故x分

g(x)min=g(Xo)=-^+lnx0+x0-l=-+ln(x0-e°)-1=1-1=0,11

g(x)N0恒成立，即一