幾何圖形折疊問答

,.幾何圖形折疊問題【疑難點撥】折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質(zhì)是軸對稱性質(zhì)的應用．解題的關鍵利用軸對稱的性質(zhì)找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯(lián)系．感謝閱讀折疊(翻折)意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中．如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解．謝謝閱讀矩形中的一次折疊通常利用折疊性質(zhì)和平行線性質(zhì)求角的度數(shù)，或者利用折疊性質(zhì)以及勾股定理求線段長度．矩形中的兩次或多次折疊通常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構造相似三角形，利用相似三角形謝謝閱讀求邊或者角的度數(shù)．凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質(zhì)：折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．感謝閱讀【基礎篇】一、選擇題：1..（2018?四川涼州?3分）如圖將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使C落在C′處，BC′交AD于點E，則下到結論不一定成立的是（）精品文檔放心下載AD=BC′B．∠EBD=∠EDBC．△ABE∽△CBDD．sin∠ABE=A．謝謝閱讀,.（2017山東煙臺）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形AOB．已知OA=6，謝謝閱讀取OA的中點C，過點C作CD⊥OA交 于點D，點F是 上一點．若將扇形BOD沿OD翻折，點B恰好與謝謝閱讀點F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）．謝謝閱讀A．36π-108B．108-32πC．2π D．π精品文檔放心下載（2017浙江衢州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，精品文檔放心下載CE交AD于點F，則DF的長等于（ ）A． B． C． D．（2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點．沿過點E的直線精品文檔放心下載折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F．已知EF= ，則BC的長是（ ）感謝閱讀A． B．3 2C．3 D．3 3,.（2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點F在AD上，點E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點精品文檔放心下載D恰好落在BC邊上的G點處，若矩形面積為4 且∠AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（ ）精品文檔放心下載A．1 B． C．2 D．二、填空題：6.（2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，點M、N分別在線段謝謝閱讀AC.AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為．謝謝閱讀（2018·山東威?！?分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點感謝閱讀C與AD邊上的點K重合，F(xiàn)H為折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，則BC的長 ．感謝閱讀（2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H謝謝閱讀處，已知∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB= ．感謝閱讀,.三、解答與計算題：（2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E精品文檔放心下載處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．（2018?山東棗莊?10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．精品文檔放心下載（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由；精品文檔放心下載（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的長．【能力篇】,.一、選擇題：（2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點謝謝閱讀A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )．A．4 B．5 C．6 D．7（2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點感謝閱讀落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結論：謝謝閱讀①四邊形AECF為平行四邊形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC為等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正確結論的個數(shù)為（ ）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武漢·3分）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧謝謝閱讀

上，將弧

沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為 ，AB=4，則BC的長是（ ）謝謝閱讀,.A． B． C． D．二、填空題：(2018·遼寧省葫蘆島市)如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、精品文檔放心下載且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G．若 = ，則 = ．感謝閱讀（2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿感謝閱讀CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結論正確的是（寫出所有正確結論的序號）①當E為線段AB中點時，AF∥CE；謝謝閱讀②當E為線段AB中點時，AF=9；5③當A、F、C三點共線時，AE=④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF．

；三、解答與計算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點精品文檔放心下載B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．謝謝閱讀,.（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；謝謝閱讀（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；精品文檔放心下載③當BP=9時，求BE?EF的值．（2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E精品文檔放心下載處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．,.18.（2018?江蘇鹽城?10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點，連接 、 .將 沿精品文檔放心下載翻折后得到 .（1）試說明點

在 上；（2）在線段 的延長線上取一點 ，使（3）在（2）的條件下，分別延長線段

、

相交于點

.求證：，若

為

的切線；， ，求線段

的長.【探究篇】（2018年江蘇省泰州市?12分）對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在謝謝閱讀CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖②）感謝閱讀（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求 的值；（2）將該矩形紙片展開．①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC=90°；精品文檔放心下載②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P精品文檔放心下載在折痕上，請簡要說明折疊方法．（不需說明理由）,.（2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE=x，感謝閱讀（1）當AM= 時，求x的值；（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；謝謝閱讀（3）設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值.感謝閱讀,.幾何圖形折疊問題【疑難點撥】折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質(zhì)是軸對稱性質(zhì)的應用．解題的關鍵利用軸對稱的性質(zhì)找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯(lián)系．謝謝閱讀折疊(翻折)意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中．如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解．精品文檔放心下載矩形中的一次折疊通常利用折疊性質(zhì)和平行線性質(zhì)求角的度數(shù)，或者利用折疊性質(zhì)以及勾股定理求線段長度．矩形中的兩次或多次折疊通常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構造相似三角形，利用相似三角形感謝閱讀求邊或者角的度數(shù)．,.凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質(zhì)：折疊的實質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．感謝閱讀【基礎篇】一、選擇題：1..（2018?四川涼州?3分）如圖將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使C落在C′處，BC′交AD于點E，則下到謝謝閱讀結論不一定成立的是（ ）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDBC．△ABE∽△CBDD．sin∠ABE=精品文檔放心下載【分析】主要根據(jù)折疊前后角和邊相等找到相等的邊之間的關系，即可選出正確答案．感謝閱讀【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正確．精品文檔放心下載B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正確．感謝閱讀D、∵sin∠ABE= ，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE= ．故選：C．【點評】本題主要用排除法，證明A，B，D都正確，所以不正確的就是C，排除法也是數(shù)學中一種常用的解題方法．感謝閱讀,.（2017山東煙臺）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形AOB．已知OA=6，感謝閱讀取OA的中點C，過點C作CD⊥OA交 于點D，點F是 上一點．若將扇形BOD沿OD翻折，點B恰好與謝謝閱讀點F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）．感謝閱讀A．36π-108B．108-32πC．2π D．π精品文檔放心下載【考點】MO：扇形面積的計算；P9：剪紙問題．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE= OD=3，先根據(jù)S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓感謝閱讀形的面積，再利用折疊的性質(zhì)求得所有陰影部分面積．【解答】解：如圖，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC= OA= OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，DE⊥OB于點E，DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD= ﹣ ×6×3=3π﹣9，精品文檔放心下載則剪下的紙片面積之和為12×（3π﹣9）=36π﹣108，感謝閱讀故答案為：36π﹣108．故選A,.（2017浙江衢州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，精品文檔放心下載CE交AD于點F，則DF的長等于（ ）A． B． C． D．【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)．精品文檔放心下載【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易證Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到結論EF=DF；易得FC=FA，謝謝閱讀設FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到關于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出感謝閱讀x．【解答】解：∵矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，謝謝閱讀∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF與△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，,.∴FC=FA，F(xiàn)A=x，則FC=x，F(xiàn)D=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x= ，精品文檔放心下載FD=6﹣x=．故選：B．（2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點．沿過點E的直線謝謝閱讀折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F．已知EF= ，則BC的長是（ ）謝謝閱讀A．B．32C．3D．33【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知EF= AB，所精品文檔放心下載AB=AC的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長．【解答】解：感謝閱讀∵沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，精品文檔放心下載∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵點E為AB中點，∴EF=1AB，EF=3，2 2∴AB=AC=3，,.∵∠BAC=90°，∴BC=32，故選：B．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，求出∠AFB=90°是解題的精品文檔放心下載關鍵．（2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點F在AD上，點E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點感謝閱讀D恰好落在BC邊上的G點處，若矩形面積為4 且∠AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（ ）感謝閱讀A．1 B． C．2 D．【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)．感謝閱讀【分析】由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，結合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，謝謝閱讀進而可得出△GEF為等邊三角形，在Rt△GHE中，通過解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、感謝閱讀DC= EC，再由GE=2BG結合矩形面積為4 ，即可求出EC的長度，根據(jù)EF=GE=2EC即可求出結論．謝謝閱讀【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．感謝閱讀∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，謝謝閱讀∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF為等邊三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．,.Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面積為4 ，∴4EC? EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故選C．二、填空題：6.（2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，點M、N分別在線段感謝閱讀AC.AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為．精品文檔放心下載【解答】解：分兩種情況：①如圖，當∠CDM=90°時，△CDM是直角三角形，感謝閱讀,.∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，∴∠C=30°，AB= AC= ，由折疊可得：∠MDN=∠謝謝閱讀A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN= DN= AN，∴BN= AB= ，∴AN=2BN= ．感謝閱讀∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN= ；精品文檔放心下載②如圖，當∠CMD=90°時，△CDM是直角三角形，謝謝閱讀由題可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD= DN= AN，BN= BD\1AB=精品文檔放心下載，∴AN=2，BN= ，過N作NH⊥AM于H，則∠ANH=30°，∴AH= AN=1，HN= ，由折疊可得：謝謝閱讀∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴MN= ．謝謝閱讀,.故答案為： 或 ．（2018·山東威?！?分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點精品文檔放心下載C與AD邊上的點K重合，F(xiàn)H為折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的長．感謝閱讀【分析】由題意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，設KM=x，知EM=x、MF=x，根據(jù)EF的長求得x=1，再進一步求解可得．謝謝閱讀【解答】解：由題意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如圖，過點K作KM⊥BC于點M，精品文檔放心下載設KM=x，則EM=x、MF=∴x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，

x，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，精品文檔放心下載∴BC的長為3+ + ．【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．精品文檔放心下載（2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H精品文檔放心下載處，已知∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB= 75° ．精品文檔放心下載,.【分析】由折疊的性質(zhì)可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，從而可證明∠EBG=∠EGB．，然后再根據(jù)∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行線的性質(zhì)可知∠AGB=∠GBC，從而易證∠AGB=∠BGH，據(jù)此可得答案．精品文檔放心下載【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，謝謝閱讀∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．感謝閱讀又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB= ∠AGH=75°，故答案為：75°．【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀精品文檔放心下載和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．三、解答與計算題：（2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E感謝閱讀處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．,.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AD=BC、AB=CD，結合折疊的性質(zhì)可得出AD=CE、AE=CD，進而即可證出△ADE≌△CED（SSS）；謝謝閱讀（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠DEF=∠EDF，利用等邊對等角可得出EF=DF，由此即可證出△DEF是等腰三角形．謝謝閱讀【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中， ，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結合折疊的性質(zhì)找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出∠DEF=∠EDF．精品文檔放心下載（2018?山東棗莊?10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．謝謝閱讀,.（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由；感謝閱讀（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的長．【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；謝謝閱讀（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由精品文檔放心下載相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關系；謝謝閱讀（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可．謝謝閱讀【解答】解：（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，精品文檔放心下載∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）EG2= GF?AF．理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．精品文檔放心下載∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG=OF= GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．，即DF2=FO?AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF?AF．（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．精品文檔放心下載∵EG2= GF?AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．精品文檔放心下載解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．,.∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴ ，即 = ．∴GH= ．∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、精品文檔放心下載相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關感謝閱讀鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關鍵．感謝閱讀【能力篇】一、選擇題：（2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點感謝閱讀A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )．謝謝閱讀A．4B．5C．6D．7【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得AE=A1E．∵△ABC為等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．精品文檔放心下載∵A1為BC的中點，∴A1B=4，設AE=A1E=x，則BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，感謝閱讀解得x=5．故答案為：5．故選B,.（2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點精品文檔放心下載落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結論：感謝閱讀①四邊形AECF為平行四邊形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC為等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正確結論的個數(shù)為（ ）A．1B．2C．3D．4解：①如圖，EC，BP交于點G；∵點P是點B關于直線EC的對稱點，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．精品文檔放心下載∵點E為AB中點，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．感謝閱讀∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，感謝閱讀∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故①正確；精品文檔放心下載②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折疊得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．謝謝閱讀∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正確；謝謝閱讀③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是鈍角，當△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時，才有∠FPC=∠FCP，如右圖，△PCF不一定是等腰三謝謝閱讀角形，故③不正確；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．謝謝閱讀∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故感謝閱讀④不正確；,.其中正確結論有①②，2個．故選B．13.（2018·湖北省武漢·3分）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧精品文檔放心下載

上，將弧

沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為 ，AB=4，則BC的長是（ ）感謝閱讀A． B． C． D．【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，感謝閱讀則AD=BD= AB=2，于是根據(jù)勾股定理可計算出OD=1，再利用折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的圓謝謝閱讀為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到 = ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性質(zhì)得AE=DE=1，接著證明四邊形謝謝閱讀ODEF為正方形得到OF=EF=1，然后計算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，∵D為AB的中點，謝謝閱讀∴OD⊥AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，精品文檔放心下載∵將弧 沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．感謝閱讀∴弧AC和弧CD所在的圓為等圓，,.=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四邊形ODEF為正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF=(5)212=2，∴CE=CF+EF=2+1=3，BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3 ．故選：B．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了圓周角定理和垂徑定理．感謝閱讀二、填空題：(2018·遼寧省葫蘆島市)如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、謝謝閱讀且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G．若 = ，則 = ．謝謝閱讀【解答】解：連接GE．∵點E是CD的中點，∴EC=DE．,.∵將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，∴EF=DE，∠BFE=90°．在Rt△EDG和Rt△EFG感謝閱讀中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG=DG．精品文檔放心下載∵=，∴設DG=FG=a，則AG=7a，故AD=BC=8a，則BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故 = = ．故答案為： ．（2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿感謝閱讀CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結論正確的是①②③（寫出所有正確結論的序號）①當E為線段AB中點時，AF∥CE；謝謝閱讀②當E為線段AB中點時，AF=9；5③當A、F、C三點共線時，AE= ；④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF．【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì)．感謝閱讀,.【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：如圖1中，當AE=EB時，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，精品文檔放心下載∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正確，EM⊥AF，則AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，=，=，∴AM= ，∴AF=2AM=9，故②正確，5如圖2中，當A、F、C共線時，設AE=x．感謝閱讀,.EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（ ﹣2）2+（3﹣x）2，∴x= ，，∴AE= ，故③正確，如果，△CEF≌△AEF，則∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，顯然不符合題意，故④錯誤，故答案為①②③．謝謝閱讀【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．謝謝閱讀三、解答與計算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點精品文檔放心下載B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．精品文檔放心下載（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；謝謝閱讀（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；精品文檔放心下載③當BP=9時，求BE?EF的值．【分析】（1）先判斷出∠A=∠D=90°，AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結論；精品文檔放心下載（2）①利用折疊的性質(zhì)，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，進而判斷出∠GPF=∠PFB即可得出結論；感謝閱讀②判斷出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判斷出△ECF∽△GCP，進而求出精品文檔放心下載PC，即可得出結論；③判斷出△GEF∽△EAB，即可得出結論．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，謝謝閱讀∵E是AD中點，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中， ，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②當AD=25時，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，，AE=x，∴DE=25﹣x，，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，，BP=BF=PG=y，，∴y= ，,.∴BP= ，在Rt△PBC中，PC=

，cos∠PCB=

=

；③如圖，連接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，，∴BE?EF=AB?GF=12×9=108．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，感謝閱讀折疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．（2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E感謝閱讀處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．,.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AD=BC、AB=CD，結合折疊的性質(zhì)可得出AD=CE、AE=CD，進而即可證出△ADE≌△CED（SSS）；謝謝閱讀（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠DEF=∠EDF，利用等邊對等角可得出EF=DF，由此即可證出△DEF是等腰三角形．感謝閱讀【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中， ，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結合折疊的性質(zhì)找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出∠DEF=∠EDF．謝謝閱讀18.（2018?江蘇鹽城?10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點，連接 、 .將 沿感謝閱讀翻折后得到 .,.（1）試說明點 在 上；（2）在線段 的延長線上取一點 ，使

.求證：

為

的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段

、

相交于點

，若

，

，求線段

的長.【答案】（1）解：連接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半徑，∴點D在⊙O上。（2）證明：∵點D在⊙O上，∴∠ADB=90°，感謝閱讀由翻折可得AC=AD，∵AB2=AC·AE，∴AB2=AD·AE，∴ ，又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE~△ADB，∴∠ABE=∠ADB=90°，∵OB是半徑，∴BE為的⊙O切線。,.（3）解：設EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，精品文檔放心下載∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，∴△BDF~△ACF，∴ 即則BF= ，Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2，謝謝閱讀則22+（1+x）2=( )2 ，解得x1= ,x2=-1（舍去）,EF=【考點】點與圓的位置關系，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)精品文檔放心下載【解析【】分析（】1）要證明點D在⊙O上，則需要證明點D到圓心的距離OD要等于半徑，由折疊易知OD=OC；（2）證明BE為的⊙O切線，由切線判定定理可得需要證明∠ABE=90°；易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，則需要△ABE~△ADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可證明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90°，則△BDF是一個直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2，而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先設EF=x，謝謝閱讀看能否求出DE或都BF，求不出的話可用x表示出來，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。精品文檔放心下載【探究篇】（2018年江蘇省泰州市?12分）對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在謝謝閱讀CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖②）精品文檔放心下載（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求 的值；（2）將該矩形紙片展開．①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC=90°；②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法．（不需說明理由）感謝閱讀,.【分析】（1）依據(jù)△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE= BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，即可精品文檔放心下載得到CD= AD，即 = ；（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，進而得出AP=BC，再精品文檔放心下載根據(jù)PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），進而得到∠CPH=90°；謝謝閱讀②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，進而得到CP平分∠BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．謝謝閱讀【解答】解：（1）由圖①，可得∠BCE= ∠BCD=45°，感謝閱讀又∵∠B=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴ =cos45°= ，即CE= BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD= AD，∴ = ；（2）①設AD=BC=a，則AB=CD= a，BE=a，感謝閱讀∴AE=（ ﹣1）a，如圖③，連接EH，則∠CEH=∠CDH=90°，∵∠BEC=45°，∠A=90°，∴∠AEH=45°=∠AHE，∴AH=AE=（ ﹣1）a，設AP=x，則BP= a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，謝謝閱讀∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（ ﹣1）a]2+x2=（ a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，∴∠APH+∠BPC=90°，∴∠CPH=90°；②折法：如圖，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；謝謝閱讀折法：如圖，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，精品文檔放心下載∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．精品文檔放心下載,.【點評】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，