2021年安徽省高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測含答案解析

2021年高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

1.已知函數(shù)/(x)=//-2lnx+2(1-A/i)x.

（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

8x-6xZnx-3x2-5

（II）當xWl時，求證:<2x.

【分析】（I）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;

(II)等價于￥V60,令h(x)=6A-(1-/nx)+2?-37-5,利

用導(dǎo)數(shù)判斷〃（x）與0的關(guān)系，即可證明.

【解答】（I）解：f（x）的定義域為（0,+8）,

2mx2+（l-m）x-l（mx+lYx-l）

貝（J/（x）=2twc---1-2（1-加）=2,---------------=2,-------------，

xxx

當機20時，阿計1>0,當炬（0,1）時，f（x）<0,當花（1,+8）時，f（x）

>0,

???函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（1,+8）,

1

當機V0時，令，（x）=0,解得x=l或九=一五，

當m=-1時，f（x）=-2*------<0恒成立，

x

???函數(shù)/G）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+8）,無單調(diào)遞增區(qū)間，

當機<-1時，0<--<1,當xe（O,-1）或（1,+8）時，/（x）V0,當在（一［，1）

mmJm

時，f（x）>0,

函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,-i）或（1,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為（一［，1），

111

當7V0,一布>1,當xG（0,1）或（—石，+8）時，f（x）<C0>當xE.（1,一五）

時，/（x）>0,

...函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）或（一工，+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為（1,

mm

綜上所述：當機》0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（1,+

8）,

當機=-1時，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+8）,無單調(diào)遞增區(qū)間，

當“V-1時，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,-1）或（1,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為

第1頁共4頁

當-lV/n<0時，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)或(―1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間

1

為1，一).

m

8x-6xlnx-3x2-5m、6%(1T?I%)+2%3一3%2-5

(II)證明：要證?<2%,即證---------五--------<0,

1-x2

令h(x)=6x(1-Inx}+2J?-3/-5,

貝ij力'(x)=6-6lnx-6+6x2-6x=3(2x2-2lnx-2x),

由(1),當m=2時，f(x)=2f-21nx-2x,

可得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),

即〃'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),

：.h'(x)?(1)=0,

：.h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

,:h(1)=6(1-/nl)+2-3-5=0,

.,.當0<x<l時，h(x)<0,1-?>0,

當x>l時，h(x)>0,1-x2<0,

.6x(l-Znx)+2x3-3x2-5

<0,

8x-6xlnx-3x2-5

即<2x.

1-x2

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思

想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，

2.已知函數(shù)/(x)=lnx+a(/+x),g(x)=J?+5X.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當。=2時，證明：f(x)Vg(x)-1.

【分析】(l)/(x)的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得/(x)=2加詈+1,令〃(彳)=

2cv?^ax+\,xE(0,+8),分三種情況當4=0時，當〃>0時，當qVO時，討論%(%)

的正負，f(X)的正負，/(X)的單調(diào)性.

(2)當〃=2時，f(x)=lnx+2(/+x),要證/(x)Vg(x)—才需證加x+2(/+x)

vd+5尤一I，只需證Inx-JC3+2X2-3x+1<0,令F(x)=lnx-x3+lx2,-3x+*只需/(x)

〃?orV0,即可得證.

【解答】解：(l)/(x)的定義域為(0,+8),

第2頁共4頁

2aN+QX+I

f(x)=-+?(2xl)=

+x

令h(x)=2〃/+ar+l,xE(0,+°°),

當a=0時，h(x)=l>0,f(x)>0,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當”>0時，函數(shù)〃(x)的對稱軸為x=-焉片且/;(0)=1>0,

所以在(0,+8)上，h(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當aV0時，函數(shù)〃(x)的對稱軸為x=-=—I且〃(0)=1>0,

所以在(0,+8)上/?(x)單調(diào)遞減，存在劃=----弓-----,使得〃(xo)=0,

—Q——8a

所以在(0,-----------------)上，h(x)>0,/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

4a

~d~~yQT"-8a

在(-----------，+8)上，h(x)<0,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

4a

綜上所述，當時;f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

-a-y/a2-8a

當〃V0時、/(x)在(0,)上，h(x)>0,f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

4a

_CL_7Q2—8a

在(-----------，+8)上，h(x)<0,f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

4a

(2)當Q=2時，f(x)=/〃x+2(f+x),

要證f(x)<g(x)—

則需證加+2(/+x)<J?+5X—

只需證Inx~X3+2X2-3X+I<0,

令尸(x)=lnx-xi+Zx2-3x4-

F'(x)=--3?+4x-3="3x3+4%2-3--1,

XX

令h(x)=-3/+4/-3x+l,

h'(x)=-9?+8x-3,

△=82-4X(-8)X(-3)=-32<0,

所以在(0,+8)上，h1(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

又因為〃(0)=1,h(―)=看>0,h(―)=—g<0,

2O4D4-

第3頁共4頁

13

所以存在一個xiE(-,-)使得〃(xi)=0,即-3婷+4加2-3尢]+1=0

24

所以在(0,xi)上力(X)>0,F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增，

在(川，+8)上〃(x)<0,F(%)<0,F(%)單調(diào)遞減，

o2713

所以/(X)max=F(XI)=/〃Xl-xN+2%]2-3%1+a=//u]+可式[2-21]+6，x\E(-,1)

,7o713

令〃(x)=/加+可廠-2x+g,xE(-,