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文檔簡介
第第頁【解析】同步練習(xí)冊數(shù)學(xué)選擇性必修?模塊綜合檢測【xm】登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂
同步練習(xí)冊數(shù)學(xué)選擇性必修模塊綜合檢測【xm】
一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)
1.已知函數(shù)f(x)=e2x+1,則f'(0)=()
A.0B.eC.2eD.
2.在等差數(shù)列{an}中,a4=6,a3+a5=a10,則公差d=()
A.-1B.0C.1D.2
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)為2,則a++b+的最小值為()
A.3B.4C.5D.4
4.曲線y=在(1,0)處的切線與直線l:y=ax垂直,則a=()
A.-3B.3C.D.-
5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S37-S23=a,則S60=()
A.4aB.C.5aD.
6.(2023高二下·廈門期中)函數(shù)f(x)=(x2+2x)e2x的圖象大致是()
A.B.
C.D.
7.《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題:從冬至日起,依次小寒,大寒、立春,雨水、驚蟄、春分、清明.谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸,冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸,前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸,則芒種日影長為()
A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸
8.已知函數(shù)f(x)=x3-x和點(diǎn)P(1,-1),則過點(diǎn)P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2若存在兩項(xiàng)am,an,使得aman=64,則()
A.?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列B.?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列
C.D.m+n為定值
10.若函數(shù)y=exf(x)(e=2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列所有具有M性質(zhì)的函數(shù)為()
A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+2
11.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)積為Tn,并且滿足條件a1>1,a6a7>1,,則下列結(jié)論正確的是()
A.01
C.Sn的最大值為S7D.Tn的最大值為T6
12.設(shè)f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知:x2f'(x)十xf(x)=lnx,f(1)=,則下列結(jié)論正確的是()
A.xf(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增B.xf(x)在(0,1)上單調(diào)遞減
C.xf(x)在(0,+∞)上有極大值D.xf(x)在(0,+∞)上有極小值
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知等差數(shù)列{an}中,a4=8,a8=4,則其通項(xiàng)公式an=.
14.(2023高三上·浙江月考)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,,則,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
15.函數(shù)f(x)=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是.
16.已知函數(shù)f(x)=lnx+若函數(shù)f(x)的極小值不小于0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
四、解答題(本題共6小題,共70分)
17.(2023高一下·霍邱期中)等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
18.已知函數(shù)f(x)=x2-3lnx
(1)求f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線方程;
(2)試判斷f(x)在區(qū)間(1,e)上有沒有零點(diǎn),若有,判斷零點(diǎn)的個數(shù).
19.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a3=2,S9=54.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:
20.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax―1(a∈R).
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值;
(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.
21.等差數(shù)列{an}中,S3=21,S6=24,
(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn;
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.
22.已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-b
(1)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[o,+∞)時,f(x)的最小值為0,求a+b的最大值.(注:e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))
答案解析部分
1.【答案】C
【知識點(diǎn)】函數(shù)的值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】,。
故答案為:C.
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再利用代入法求出導(dǎo)函數(shù)的值。
2.【答案】C
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】由題意知,解得
故答案為:C.
【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出等差數(shù)列第十項(xiàng)的值,再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出等差數(shù)列的公差。
3.【答案】C
【知識點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用;等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】,
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故原式的最小值為5。
故答案為:C
【分析】利用已知條件結(jié)合等比中項(xiàng)公式,進(jìn)而求出ab的值,再利用均值不等式求最值的方法,進(jìn)而求出a++b+的最小值。
4.【答案】A
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;用斜率判定兩直線垂直
【解析】【解答】∵,
:.,
∴函數(shù)在(1,0)處的切線的斜率是,
∴與此切線垂直的直線的斜率是一3,∴a=-3。
故答案為:A.
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率,再利用兩直線垂直斜率之積等于-1,從而結(jié)合已知條件,進(jìn)而求出a的值。
5.【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】因?yàn)镾n-S23=a24+a25+…+a37=,
所以。
故答案為:B.
【分析】利用的關(guān)系式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),得出Sn-S23,再結(jié)合代入法結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,進(jìn)而求出等差數(shù)列前60項(xiàng)的值。
6.【答案】A
【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】由于,而的判別式,所以開口向上且有兩個根,不妨設(shè),所以在上遞增,在上遞減.所以C,D選項(xiàng)不正確.當(dāng)時,,所以B選項(xiàng)不正確.由此得出A選項(xiàng)正確.
故答案為:A
【分析】根據(jù)題意由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出選項(xiàng)C、D錯誤,再由函數(shù)y的值的正負(fù)判斷,從而判斷出選項(xiàng)B錯誤,由此得到答案。
7.【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列,設(shè)為是其前項(xiàng)和,則,所以,由題知,
所以,所以公差,
所以。
故答案為:B.
【分析】由題結(jié)合等差數(shù)列的定義,從而知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列,設(shè)為是其前項(xiàng)和,再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列第五項(xiàng)的值,再利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出等差數(shù)列第四項(xiàng)的值,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出公差,再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出等差數(shù)列第十二項(xiàng)的值,進(jìn)而求出芒種日影長。
8.【答案】B
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【解答】因?yàn)?,所以點(diǎn)沒有在函數(shù)的圖象上,
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,則,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,過切點(diǎn)的斜率為,
過和切點(diǎn)的斜率表示為,
所以化簡可得,
所以或,所以切點(diǎn)有兩個,因而有兩條切線方程。
故答案為:B.
【分析】利用已知條件結(jié)合代入法求出的值,再利用代入法判斷出點(diǎn)沒有在函數(shù)的圖象上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,再利用代入法,則,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知過切點(diǎn)的斜率為,再利用兩點(diǎn)求斜率公式得出過和切點(diǎn)的斜率表示為,所以從而解方程組求出的值,進(jìn)而求出切點(diǎn)有兩個,從而得出過點(diǎn)P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)。
9.【答案】B,D
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列概念與表示;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列的遞推公式
【解析】【解答】由題意,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,
,所以,
所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
,A不符合題意,B符合題意;數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
所以,C不符合題意;
,所以為定值,D符合題意.
故答案為:BD.
【分析】利用已知條件結(jié)合Sn,an的關(guān)系式,再利用Sn=2an-2結(jié)合分類討論的方法,從而結(jié)合等比數(shù)列的定義,進(jìn)而判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等比數(shù)列的定義,從而判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,進(jìn)而求出的值,利用已知條件結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則,從而求出為定值,進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。
10.【答案】A,D
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;函數(shù)恒成立問題;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】時于選項(xiàng),
則為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù);
對于選項(xiàng),則為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù);
對于選項(xiàng),則
,當(dāng)時,在定義域上先減后增;
對于選項(xiàng)2,
則在實(shí)數(shù)集上恒成立,在定義域上是增函數(shù).
故答案為:AD.
【分析】利用函數(shù)y=exf(x)在函數(shù)f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì),再利用單調(diào)函數(shù)的定義,從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而找出所有具有M性質(zhì)的函數(shù)。
11.【答案】A,D
【知識點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】易知,若,則,與矛盾,
故,所以,所以<1,因?yàn)?,所以的最大值為?/p>
故答案為:AD.
【分析】利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而得出,再利用得出公比的取值范圍,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得出等比數(shù)列第七項(xiàng)的取值范圍,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得出a6a8的取值范圍,再利用結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)積公式,再結(jié)合函數(shù)求最值的方法,進(jìn)而求出Sn的最大值和的最大值,從而找出正確的選項(xiàng)。
12.【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【解答】由得,則,即,
設(shè),由得.由得,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時,函數(shù)取得極小值。
故答案為:ABD.
【分析】由得,再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,得出,設(shè),再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的極小值,進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。
13.【答案】12-n
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】【解答】∵等差數(shù)列中,,解得
【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而解方程組求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
14.【答案】;
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】由,得,,,
而,所以的前項(xiàng)和為.
故答案為:;.
【分析】直接利用等比數(shù)列公式計(jì)算得到,再計(jì)算等差數(shù)列和得到答案.
15.【答案】(0,1]
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】,則=,故
故答案為:(0,1]。
【分析】利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)f(x)=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間。
16.【答案】
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【解答】由祔,定義域?yàn)椋?/p>
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,函數(shù)無極值。
當(dāng)時,今,
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
所認(rèn)當(dāng)時,函數(shù)取極小值,且為,
依題意有,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是。
【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法,再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的極小值,再利用函數(shù)f(x)=lnx+若函數(shù)f(x)的極小值不小于0,從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
17.【答案】(1)解:∵等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16,
∴2q3=16,解得q=2,
∴.
(2)解:∵a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),
∴,,
∴,
解得b1=2,d=2,
∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.
Sn==n2+n.
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式能求出首項(xiàng)和公差,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.(2)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差,由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
18.【答案】(1)解:由已知得,有,,
所以在處的切線方程為1),化簡得
(2)解:由(1)知.
因?yàn)?,令,?
所以,當(dāng)時,有,則是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)時,有,則是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?1,
所以在區(qū)間上有兩個零點(diǎn).
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率,再利用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)結(jié)合代入法求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而求出切點(diǎn)的坐標(biāo),再利用點(diǎn)斜式求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的方程。
(2)利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,從而判斷出函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上有零點(diǎn),并且求出零點(diǎn)的個數(shù)。
19.【答案】(1)解:設(shè)數(shù)列的公差為,
$
(2)證明:,
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質(zhì);反證法與放縮法
【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出公差,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合放縮法和裂項(xiàng)相消法,從而證出不等式成立。
20.【答案】(1)解:f(x)=ex-2x-1,取f'(x)=ex-2=0,即x=ln2,
函數(shù)在[0,ln2]上單調(diào)遞減,在(In2,2]上單調(diào)遞增,
且f(0)=0,f(2)=e2-5,f(ln2)=1-2In2,
故函數(shù)的最大值為f(2)=e2-5,最小值為f(ln2)=1-2In2.
(2)解:f(x)=ex-ax-1,f′(x)=ex-a,f(0)=0.
當(dāng)a≤0時,f'(x)=ex-a>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故f(x)≥f(0)=0,成立;
當(dāng)a>0時,f'(x)=ex-a=0,即x=lna,
故函數(shù)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(Ina,+∞)上單調(diào)遞增,
故f(lna)0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)為2,則a++b+的最小值為()
A.3B.4C.5D.4
【答案】C
【知識點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用;等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】,
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故原式的最小值為5。
故答案為:C
【分析】利用已知條件結(jié)合等比中項(xiàng)公式,進(jìn)而求出ab的值,再利用均值不等式求最值的方法,進(jìn)而求出a++b+的最小值。
4.曲線y=在(1,0)處的切線與直線l:y=ax垂直,則a=()
A.-3B.3C.D.-
【答案】A
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;用斜率判定兩直線垂直
【解析】【解答】∵,
:.,
∴函數(shù)在(1,0)處的切線的斜率是,
∴與此切線垂直的直線的斜率是一3,∴a=-3。
故答案為:A.
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率,再利用兩直線垂直斜率之積等于-1,從而結(jié)合已知條件,進(jìn)而求出a的值。
5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S37-S23=a,則S60=()
A.4aB.C.5aD.
【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】因?yàn)镾n-S23=a24+a25+…+a37=,
所以。
故答案為:B.
【分析】利用的關(guān)系式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),得出Sn-S23,再結(jié)合代入法結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,進(jìn)而求出等差數(shù)列前60項(xiàng)的值。
6.(2023高二下·廈門期中)函數(shù)f(x)=(x2+2x)e2x的圖象大致是()
A.B.
C.D.
【答案】A
【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】由于,而的判別式,所以開口向上且有兩個根,不妨設(shè),所以在上遞增,在上遞減.所以C,D選項(xiàng)不正確.當(dāng)時,,所以B選項(xiàng)不正確.由此得出A選項(xiàng)正確.
故答案為:A
【分析】根據(jù)題意由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出選項(xiàng)C、D錯誤,再由函數(shù)y的值的正負(fù)判斷,從而判斷出選項(xiàng)B錯誤,由此得到答案。
7.《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題:從冬至日起,依次小寒,大寒、立春,雨水、驚蟄、春分、清明.谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸,冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸,前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸,則芒種日影長為()
A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸
【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列,設(shè)為是其前項(xiàng)和,則,所以,由題知,
所以,所以公差,
所以。
故答案為:B.
【分析】由題結(jié)合等差數(shù)列的定義,從而知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列,設(shè)為是其前項(xiàng)和,再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列第五項(xiàng)的值,再利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出等差數(shù)列第四項(xiàng)的值,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出公差,再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出等差數(shù)列第十二項(xiàng)的值,進(jìn)而求出芒種日影長。
8.已知函數(shù)f(x)=x3-x和點(diǎn)P(1,-1),則過點(diǎn)P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【解答】因?yàn)?,所以點(diǎn)沒有在函數(shù)的圖象上,
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,則,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,過切點(diǎn)的斜率為,
過和切點(diǎn)的斜率表示為,
所以化簡可得,
所以或,所以切點(diǎn)有兩個,因而有兩條切線方程。
故答案為:B.
【分析】利用已知條件結(jié)合代入法求出的值,再利用代入法判斷出點(diǎn)沒有在函數(shù)的圖象上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,再利用代入法,則,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知過切點(diǎn)的斜率為,再利用兩點(diǎn)求斜率公式得出過和切點(diǎn)的斜率表示為,所以從而解方程組求出的值,進(jìn)而求出切點(diǎn)有兩個,從而得出過點(diǎn)P與該函數(shù)圖象相切的直線條數(shù)。
二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2若存在兩項(xiàng)am,an,使得aman=64,則()
A.?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列B.?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列
C.D.m+n為定值
【答案】B,D
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列概念與表示;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列的遞推公式
【解析】【解答】由題意,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,
,所以,
所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
,A不符合題意,B符合題意;數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
所以,C不符合題意;
,所以為定值,D符合題意.
故答案為:BD.
【分析】利用已知條件結(jié)合Sn,an的關(guān)系式,再利用Sn=2an-2結(jié)合分類討論的方法,從而結(jié)合等比數(shù)列的定義,進(jìn)而判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等比數(shù)列的定義,從而判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,進(jìn)而求出的值,利用已知條件結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則,從而求出為定值,進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。
10.若函數(shù)y=exf(x)(e=2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列所有具有M性質(zhì)的函數(shù)為()
A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+2
【答案】A,D
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;函數(shù)恒成立問題;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】時于選項(xiàng),
則為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù);
對于選項(xiàng),則為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù);
對于選項(xiàng),則
,當(dāng)時,在定義域上先減后增;
對于選項(xiàng)2,
則在實(shí)數(shù)集上恒成立,在定義域上是增函數(shù).
故答案為:AD.
【分析】利用函數(shù)y=exf(x)在函數(shù)f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì),再利用單調(diào)函數(shù)的定義,從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而找出所有具有M性質(zhì)的函數(shù)。
11.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)積為Tn,并且滿足條件a1>1,a6a7>1,,則下列結(jié)論正確的是()
A.01
C.Sn的最大值為S7D.Tn的最大值為T6
【答案】A,D
【知識點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】易知,若,則,與矛盾,
故,所以,所以<1,因?yàn)?,所以的最大值為?/p>
故答案為:AD.
【分析】利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而得出,再利用得出公比的取值范圍,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得出等比數(shù)列第七項(xiàng)的取值范圍,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得出a6a8的取值范圍,再利用結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)積公式,再結(jié)合函數(shù)求最值的方法,進(jìn)而求出Sn的最大值和的最大值,從而找出正確的選項(xiàng)。
12.設(shè)f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知:x2f'(x)十xf(x)=lnx,f(1)=,則下列結(jié)論正確的是()
A.xf(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增B.xf(x)在(0,1)上單調(diào)遞減
C.xf(x)在(0,+∞)上有極大值D.xf(x)在(0,+∞)上有極小值
【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【解答】由得,則,即,
設(shè),由得.由得,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時,函數(shù)取得極小值。
故答案為:ABD.
【分析】由得,再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,得出,設(shè),再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的極小值,進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知等差數(shù)列{an}中,a4=8,a8=4,則其通項(xiàng)公式an=.
【答案】12-n
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】【解答】∵等差數(shù)列中,,解得
【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而解方程組求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
14.(2023高三上·浙江月考)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,,則,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【答案】;
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】由,得,,,
而,所以的前項(xiàng)和為.
故答案為:;.
【分析】直接利用等比數(shù)列公式計(jì)算得到,再計(jì)算等差數(shù)列和得到答案.
15.函數(shù)f(x)=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是.
【答案】(0,1]
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】,則=,故
故答案為:(0,1]。
【分析】利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)f(x)=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間。
16.已知函數(shù)f(x)=lnx+若函數(shù)f(x)的極小值不小于0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
【答案】
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【解答】由祔,定義域?yàn)椋?/p>
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,函數(shù)無極值。
當(dāng)時,今,
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
所認(rèn)當(dāng)時,函數(shù)取極小值,且為,
依題意有,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是。
【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法,再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的極小值,再利用函數(shù)f(x)=lnx+若函數(shù)f(x)的極小值不小于0,從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
四、解答題(本題共6小題,共70分)
17.(2023高一下·霍邱期中)等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
【答案】(1)解:∵等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16,
∴2q3=16,解得q=2,
∴.
(2)解:∵a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),
∴,,
∴,
解得b1=2,d=2,
∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.
Sn==n2+n.
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式能求出首項(xiàng)和公差,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.(2)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差,由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
18.已知函數(shù)f(x)=x2-3lnx
(1)求f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線方程;
(2)試判斷f(x)在區(qū)間(1,e)上有沒有零點(diǎn),若有,判斷零點(diǎn)的個數(shù).
【答案】(1)解:由已知得,有,,
所以在處的切線方程為1),化簡得
(2)解:由(1)知.
因?yàn)椋?,?
所以,當(dāng)時,有,則是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)時,有,則是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?1,
所以在區(qū)間上有兩個零點(diǎn).
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率,再利用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)結(jié)合代入法求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而求出切點(diǎn)的坐標(biāo),再利用點(diǎn)斜式求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的方程。
(2)利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,從而判斷出函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上有零點(diǎn),并且求出零點(diǎn)的個數(shù)。
19.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a3=2,S9=54.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:
【答案】(1)解:設(shè)數(shù)列的公差為,
$
(2)證明:,
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質(zhì);反證法與放縮法
【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),從而求出公差,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合放縮法和裂項(xiàng)相消法,從而證出不等式成立。
20.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax―1(a∈R).
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值;
(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.
【答案】(1)解:f(x)=ex-2x-1,取f'(x)=ex-2=0,即x=ln2,
函數(shù)在[0,ln2]上單調(diào)遞減,在(In2,2]上單調(diào)遞增,
且f(0)=0,f(2
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