上海二十一世紀(jì)省吾高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

上海二十一世紀(jì)省吾高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合A={x∈Z|﹣2＜x＜2}，B={x|y=log2x2}，則A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1} D．{0，1}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】化簡集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈Z|﹣2＜x＜2}={﹣1，0，1}，B={x|y=log2x2}={x|x2＞0}={x|x＜0或x＞0}，則A∩B={﹣1，1}．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．2.設(shè)變量x,y滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A.6

B.7

C.8

D.23參考答案：B略3.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln的定義域?yàn)镸，g(x)＝的定義域?yàn)镹，則M∩N等于A．{x|x＜0}

B．{x|x＞0且x≠1}C．{x|x＜0且x≠－1}

D．{x|x≤0且x≠－1}參考答案：C5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，a2=3，數(shù)列{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列，則S10=（）A．1364 B． C．118 D．124參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用數(shù)列的首項(xiàng)以及數(shù)列{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列，求出數(shù)列的各項(xiàng)，然后求解S10即可．【解答】解：Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，a2=3，數(shù)列{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列，可得=2，解得a3=2，，a4=6，同理a5=4，a6=12，a7=8，a8=24，a9=16，a10=48，則S10=1+3+2+6+4+12+8+24+16+48=124．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．6.如果直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是（）A． B．﹣3 C． D．3參考答案：A【考點(diǎn)】直線的斜率．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)出直線的方程為y=kx+b，根據(jù)平移規(guī)律，對x左加右減，對y上加下減，得到平移后的直線方程，根據(jù)平移后的直線方程與y=kx+b重合，令y相等即可求出k的值．【解答】解：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，根據(jù)題意平移得：y=k（x+3）+b+1，即y=kx+3k+b+1，則kx+b=kx+3k+b+1，解得：k=﹣．故選A．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生掌握函數(shù)圖象平移的規(guī)律，是一道基礎(chǔ)題．7.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11)參考答案：D8.在ΔABC中，若(tanB+tanC)=tanBtanC?1，則sin2A=（

）A、?

B、

C、?

D、參考答案：B試題分析：由得，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，，所以，故選B.考點(diǎn)：三角恒等變換.9.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，且，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A由正弦定理，得：，即，C＝60°或120°，而A＝30°，當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝90°，不符合b＜c°，當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝30°符合，故選A。10.直三棱柱中，所有棱長都相等，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則AM與NC1所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是

．參考答案：8，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.要使恒成立，則，解得，則實(shí)數(shù)的最大值是8.12.已知圓x2+y2+mx﹣=0與拋物線y=的準(zhǔn)線相切，則m=_________．參考答案：13.函數(shù)f（x）=xex的圖象在x=1處的切線方程為

．參考答案：2ex﹣y﹣e=0．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】先求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程．【解答】解：∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e=0．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，，為垂足.若直線的斜率為，則

；參考答案：815.定義，已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)T的取值范圍是

．參考答案：(－4,－2)∪(2,4)由題作出的函數(shù)圖象如圖所示：

∵關(guān)于的方程有且僅有3個(gè)不同的實(shí)根，

∴將的圖象向左或向右平移個(gè)單位后與原圖象有3個(gè)交點(diǎn)，，

即．

故答案為．

16.曲線C：在x=0處的切線方程為

▲

．參考答案：答案：y=2x+317.在一個(gè)數(shù)列中，如果,都有（k為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積。已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為27，則

。參考答案：78略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點(diǎn)作傾斜角為的直線t，交于點(diǎn)A，交圓M于點(diǎn)B，且=2.(I)求圓M和拋物線C的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn)N(4，0)，設(shè)G，H是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，且N，G，H三點(diǎn)共線，證明：并求△GOH面積的最小值．參考答案：19.（13分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最小值；（2）要使f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=ex﹣a，由f'（x）=ex﹣a=0得x=lna，由f'（x）＞0得，x＞lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，最小值為f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，等價(jià)為f（x）min≥0，由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，設(shè)g（a）=a﹣alna﹣1，則g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，由g'（a）=0得a=1，由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由g'（x）＜0得，x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴g（a）在a=1處取得最大值，即g（1）=0，因此g（a）≥0的解為a=1，∴a=1．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的之間關(guān)系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．20.（12分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．參考答案：解：X的所有可能取值為.所以的分布列為（2）（i）由（1）得.因此，故，即.又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得.由于，故，所以表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.

21.如圖，橢圓E:(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，離心率，長軸與短軸的長度之和為10.(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)在橢圓E上任取點(diǎn)P（與A、B兩點(diǎn)不重合），直線PA交y軸于點(diǎn)C，直線PB交y軸于點(diǎn)D，證明：為定值。參考答案：（Ⅰ）由題可知，，解得.故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

……………5分（Ⅱ）解法1：設(shè)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).則，即.易知同向，故.……………7分因?yàn)椋?，所以得直線的方程為，令，則；直線的方程為，令，則所以，為定值.

……………12分解法2：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則有由（Ⅰ）知，設(shè)直線、的斜率分別為，則.…………7分直線的方程為，令得；直線的方程為令得.所以.

……………12分解法3：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則……………7分如題圖所示，.

……………12分22.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）是否存在常數(shù)k，使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（1），單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）試題分析：(1)利用切線