四元數(shù)矩陣方程axb+xd=e的廣義共軛解

四元數(shù)矩陣方程axb+xd=e的廣義共軛解

1.廣義共吾延拓問題隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，一些新的結(jié)構(gòu)矩陣不斷提出。2002年，文獻(xiàn)。2012年,文獻(xiàn)矩陣方程AXB+CXD=E是Sylvester方程的推廣形式,在圖像處理、偏微分方程數(shù)值解、控制理論等領(lǐng)域具有廣泛的實際應(yīng)用.目前,對該方程的一般解、對稱解或Hermitian解、共軛辛矩陣解、以及最小二乘解等已取得較多的研究成果共軛延拓解的存在及計算問題,其中A,B,C,D,E是已知四元數(shù)矩陣,X是未知矩陣.與復(fù)數(shù)域上廣義Sylvester方程的求解方法相比,由于四元數(shù)乘法的非交換性,導(dǎo)致求解方程(1.1)時難以采用目前一些常用的處理方法.本文主要思想是:利用廣義共軛延拓矩陣的向量化刻劃方法,以及矩陣的Kronecker運算,將所討論的四元數(shù)約束方程轉(zhuǎn)化為無約束實矩陣方程,從而獲得原問題的解.為討論方便,用R定義1.1(廣義行與列共軛延拓矩陣)分別稱為以A為母矩陣的t次廣義行與列共軛延拓矩陣.引理1.1.設(shè)矩陣S∈Q若對四元數(shù)矩陣S,Y作復(fù)分解,即S=S其中S證明.由vec(·)的定義,式子(1.2)顯然成立.下面推導(dǎo)vec(Y根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性有由(1.2)得又因為所以其中I為相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.證畢.引理1.2.設(shè)矩陣S∈C其中K∈R引理1.3本文具體討論如下兩個問題:問題Ⅰ.給定A,C∈Q問題Ⅱ.給定A,C∈Q2.元數(shù)矩陣法給定矩陣A,C∈Q對矩陣B,D進(jìn)行如下分塊并將(2.2)代入(2.1)整理得記于是由(2.3)可得記則(2.5)等價于對四元數(shù)矩陣A,C,則(2.6)又可寫成將(2.7)左邊展開,并根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性可得記則復(fù)矩陣方程(2.8)等價于根據(jù)引理1.1,可得若記其中I是相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.再記則方程組(2.9)等價于其中v∈R則(2.12)等價于此外,利用四元數(shù)矩陣Frobenius范數(shù)及方程組(2.8)可得因此,關(guān)于問題Ⅰ的解,我們有:定理2.1.給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q有解時,它的一般解為無解時,(2.16)式則為此問題的最小二乘廣義列共軛延拓解,其中這里證明.由方程組(2.14)、引理1.1和引理1.3可知,四元數(shù)矩陣方程(1.1)存在廣義列共軛延拓解因此,(2.16)式則為方程(1.1)的最小二乘廣義列共軛延拓解.證畢3.問題的求解給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q對矩陣A,C進(jìn)行分塊將(3.2)代入(3.1)整理得記于是方程(3.3)等價于記則方程(3.5)可寫成對四元數(shù)矩陣則方程(3.6)等價于將(3.7)式左邊展開,并根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性可得記則復(fù)矩陣方程(3.8)等價于根據(jù)引理1.1和引理1.2,可得其中則方程組(3.9)等價于其中u∈R則(3.11)又可寫成此外,利用Frobenius范數(shù)性質(zhì)及(3.8)可得因此,關(guān)于問題Ⅱ的解,我們有:定理3.1.給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q有解時,它的一般解為無解時,(3.15)式則為此問題的最小二乘廣義行共軛延拓解,其中vec(S這里證明.由方程組(3.13)及引理1.1-1.3可知,四元數(shù)矩陣方程(1.1)存在廣義行共軛延拓解因此,(3.15)式則為方程(1.1)的最小二乘廣義行共軛延拓解.證畢.根據(jù)定理2.1和定理3.1的結(jié)果,我們給出問題Ⅰ和Ⅱ的求解步驟:步1.對于方程(1.1)中的四元數(shù)矩陣,作變換至(2.5)(或(3.5)),寫出矩陣A,C,步2.按(2.11)式(或(3.10)式)寫出復(fù)矩陣G,L(或H,M),并對它們作實分解.步3.按(2.13)式(或(3.12)式)寫出實矩陣步4.檢驗條件i)若條件成立,說明方程(1.1)存在廣義列(行)共軛延拓解,并按(2.16)(或(3.15))寫出其解集Ωii)若條件不成立,說明方程(1.1)不存在廣義列(行)共軛延拓解,此時Ω4.u3000xb+cxd的存在性給定下列四元數(shù)矩陣試討論四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的廣義列共軛延拓解的存在性.解.由(2.2)-(2.6)可得四元數(shù)矩陣A,C,按(2.13)式寫出實矩陣5.方程共吾解問題本文提出并討論了四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的廣義共軛延拓解問題,該問題是方程共軛解的拓展,在內(nèi)容上推廣了方程AXB=C的共軛解問題,獲得更廣泛的結(jié)果;在方法上主要利用四元數(shù)矩陣的復(fù)與實分解及結(jié)構(gòu)