《等腰三角形》專題復(fù)習(xí)

等腰三角形考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1等腰三角形的概念與性質(zhì)定義有____相等的三角形是等腰三角形．相等的兩邊叫腰，第三邊為底性質(zhì)軸對(duì)稱性等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有____條對(duì)稱軸定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為：__________)定理2等腰三角形頂角的平分線、底邊上的________和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”兩邊一等邊對(duì)等角中線拓展(1)等腰三角形兩腰上的高相等(2)等腰三角形兩腰上的中線相等(3)等腰三角形兩底角的平分線相等(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行(6)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰距離之差等于一腰上的高考點(diǎn)2等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成：___________)拓展(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形(2)一邊上的高與這邊所對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形(3)一邊上的中線與這邊所對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形等角對(duì)等邊考點(diǎn)3等邊三角形定義三邊相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)等邊三角形的各角都______，并且每一個(gè)角都等于______等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有______條對(duì)稱軸判定(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形相等

60°

3

考點(diǎn)4線段的垂直平分線定義經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)與這條線段垂直的直線叫做這條線段的垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離________判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的____________上實(shí)質(zhì)構(gòu)成線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)________的所有點(diǎn)的集合相等垂直平分線距離相等歸類示例?類型之一等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用命題角度：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；3.等腰三角形兩腰上的高(中線)、兩底角的平分線的性質(zhì).例1[2013·鎮(zhèn)江]如圖20－1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求證：△ADE≌△BFE；(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．圖20－1[解析]

先通過(guò)平行條件得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合線段中點(diǎn)得到的線段相等，可證明兩個(gè)三角形全等；由角相等的條件可證明△DFG是等腰三角形，再結(jié)合點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可證明結(jié)論．解：(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF.∵∠GDF＝∠ADF，又∵∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴GD＝GF.由(1)得，DE＝EF，∴EG⊥DF.

(1)利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換，進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換．(2)在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊與等邊對(duì)等角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換．?類型之二等腰三角形判定命題角度：等腰三角形的判定．圖20－2

例2[2013·揚(yáng)州]已知：如圖20－2，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．[解析](1)利用△BDC≌△CEB

證明∠DCB＝∠EBC；(2)連接AO，通過(guò)HL證明△ADO≌△AEO，從而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，證明結(jié)論．解：(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DBC＝∠ECB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．(2)點(diǎn)O是在∠BAC的平分線上．連接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴

OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴點(diǎn)O是在∠BAC的平分線上．要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有(1)通過(guò)等角對(duì)等邊得兩邊相等；(2)通過(guò)三角形全等得兩邊相等；(3)利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相等．?類型之三等腰三角形的多解問(wèn)題

例3[2013·廣安]已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝0.5BC，則△ABC底角的度數(shù)為(

)A．45°B．75°C．45°或75°D．60°命題角度：1.遇到等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，注意邊有腰與底之分，角有底角和頂角之分；2.遇到高線的問(wèn)題要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況．C因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況．故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí)，要分類討論進(jìn)行解題，才能避免漏解情況．?類型之四等邊三角形的判定與性質(zhì)

例4

[2013·紹興]

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC，如圖20－3.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．命題角度：等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合．圖20－3小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖20－4①，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)圖20－4①②

＝

(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如圖20－4②，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC.若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果)．＝

(3)1或3.方法一：等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.方法二：在等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠A