《等腰三角形》專題復習

等腰三角形考點聚焦考點1等腰三角形的概念與性質定義有____相等的三角形是等腰三角形．相等的兩邊叫腰，第三邊為底性質軸對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，有____條對稱軸定理1等腰三角形的兩個底角相等(簡稱為：__________)定理2等腰三角形頂角的平分線、底邊上的________和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”兩邊一等邊對等角中線拓展(1)等腰三角形兩腰上的高相等(2)等腰三角形兩腰上的中線相等(3)等腰三角形兩底角的平分線相等(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行(6)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰距離之差等于一腰上的高考點2等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成：___________)拓展(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形(2)一邊上的高與這邊所對的角的平分線重合的三角形是等腰三角形(3)一邊上的中線與這邊所對的角的平分線重合的三角形是等腰三角形等角對等邊考點3等邊三角形定義三邊相等的三角形是等邊三角形性質等邊三角形的各角都______，并且每一個角都等于______等邊三角形是軸對稱圖形，有______條對稱軸判定(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形相等

60°

3

考點4線段的垂直平分線定義經(jīng)過線段的中點與這條線段垂直的直線叫做這條線段的垂直平分線性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離________判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的____________上實質構成線段的垂直平分線可以看作到線段兩個端點________的所有點的集合相等垂直平分線距離相等歸類示例?類型之一等腰三角形的性質的運用命題角度：1.等腰三角形的性質；2.等腰三角形“三線合一”的性質；3.等腰三角形兩腰上的高(中線)、兩底角的平分線的性質.例1[2013·鎮(zhèn)江]如圖20－1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求證：△ADE≌△BFE；(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關系，并說明理由．圖20－1[解析]

先通過平行條件得到兩對內錯角相等，結合線段中點得到的線段相等，可證明兩個三角形全等；由角相等的條件可證明△DFG是等腰三角形，再結合點E是DF的中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質可證明結論．解：(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.∵E是AB的中點，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG與DF的位置關系是EG⊥DF.∵∠GDF＝∠ADF，又∵∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴GD＝GF.由(1)得，DE＝EF，∴EG⊥DF.

(1)利用線段的垂直平分線進行等線段轉換，進而進行角度轉換．(2)在同一個三角形中，等角對等邊與等邊對等角進行互相轉換．?類型之二等腰三角形判定命題角度：等腰三角形的判定．圖20－2

例2[2013·揚州]已知：如圖20－2，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．[解析](1)利用△BDC≌△CEB

證明∠DCB＝∠EBC；(2)連接AO，通過HL證明△ADO≌△AEO，從而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分線上的點到兩邊的距離相等，證明結論．解：(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DBC＝∠ECB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．(2)點O是在∠BAC的平分線上．連接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴

OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴點O是在∠BAC的平分線上．要證明一個三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有(1)通過等角對等邊得兩邊相等；(2)通過三角形全等得兩邊相等；(3)利用垂直平分線的性質得兩邊相等．?類型之三等腰三角形的多解問題

例3[2013·廣安]已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD＝0.5BC，則△ABC底角的度數(shù)為(

)A．45°B．75°C．45°或75°D．60°命題角度：1.遇到等腰三角形的問題時，注意邊有腰與底之分，角有底角和頂角之分；2.遇到高線的問題要考慮高在形內和形外兩種情況．C因為等腰三角形的邊有腰與底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內和形外兩種情況．故當題中條件給出不明確時，要分類討論進行解題，才能避免漏解情況．?類型之四等邊三角形的判定與性質

例4

[2013·紹興]

數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖20－3.試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．命題角度：等邊三角形的判定與性質的綜合．圖20－3小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結論當點E為AB的中點時，如圖20－4①，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)圖20－4①②

＝

(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如圖20－4②，過點E作EF∥BC，交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC.若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長(請你直接寫出結果)．＝

(3)1或3.方法一：等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.方法二：在等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠A