廣義根軌跡學(xué)習(xí)課件

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4線性性能的分析4-2.繪制根軌跡的基本法則1．繪制根軌跡的基本法則2.閉環(huán)極點(diǎn)的確定2.閉環(huán)極點(diǎn)的確定當(dāng)K*值滿足模值條件時(shí)，對應(yīng)的根軌跡上的點(diǎn)，就是此時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。同樣，利用模值條件可確定根軌跡上任一點(diǎn)所對應(yīng)的K*值。有時(shí)已知一對主導(dǎo)共軛極點(diǎn)的阻尼比ζ，要求確定閉環(huán)極點(diǎn)及其相應(yīng)的開環(huán)增益。為此可先畫出一條給定的ζ線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點(diǎn)確定一對共軛閉環(huán)極點(diǎn);

然后用模值條件求相應(yīng)的開環(huán)增益，并用試探法求出滿足模值條件的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。

-1-2-30σjωK=1.06例1中，若給定一對主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比ζ=0.5，在圖中作60o線可得它與根軌跡的交點(diǎn)為-0.33±j0.58，根據(jù)模值條件，對應(yīng)的開環(huán)增益為用試探法可以確定此時(shí)的另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為s=-2.33，由于m=0,n=3,所以模值條件則：則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4線性性能的分析4-3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡2.附加開環(huán)零點(diǎn)的作用3.零度根軌跡廣義根軌跡：在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益K*為變化參數(shù)的根軌跡以外，其他情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。1.參數(shù)根軌跡研究參數(shù)根軌跡的目的：分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。繪制參數(shù)根軌跡圖基本原理:常規(guī)根軌跡方程：定義：以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。在參數(shù)根軌跡中K*是固定的。繪制參數(shù)根軌跡與常規(guī)根軌跡方法相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)概念。

參數(shù)根軌跡方程：其中，A為出K*以外，系統(tǒng)任意的變化參數(shù)；而P(s)和Q(s)為兩個(gè)與A無關(guān)的首一多項(xiàng)式。

(4-28)則可得等效單位反饋系統(tǒng)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：

(4-29)例4-6.分別有Ⅰ-比例，Ⅱ-為比例微分，Ⅲ-測速反饋控制系統(tǒng)。試分析Ta對系統(tǒng)性性能的影響，比較Ⅱ與Ⅲ在

=0.5

時(shí)的特點(diǎn)廣義根軌跡應(yīng)用舉例：系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ系統(tǒng)Ⅲ解：II、III系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)相同：但其閉環(huán)傳遞函數(shù)不同：作以Ta為參數(shù)的根軌跡，Ⅱ，Ⅲ系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：即：可以寫成：令為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，其等效開環(huán)零點(diǎn)為0，等效開環(huán)極點(diǎn)為對于系統(tǒng)I，Ta=0，閉環(huán)極點(diǎn)就是作根軌跡圖如p161圖4-17，為確定＝0.5時(shí)的傳遞函數(shù)，作＝0.5的射線，可得閉環(huán)極點(diǎn)為：解得Ta=0.8，因此由幅值條件：而系統(tǒng)Ⅰ仍為：例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)Ta

為可變參數(shù)的根軌跡。解⑴系統(tǒng)的特征方程是或用去除等式兩邊得則有令⑵系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，即z1=z2=0,z3=-1；由規(guī)則四知，實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上-1至-∞線段。由規(guī)則六可求出兩個(gè)等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角分別為由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用s=jω

代入特征方程得由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為解虛部方程得ω的合理值為代入實(shí)部方程求得秒，所以為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。例4-7系統(tǒng)的根軌跡圖4-3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡2.附加開環(huán)零點(diǎn)的作用3.零度根軌跡2.附加開環(huán)零點(diǎn)的作用

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：式中，z1為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇。當(dāng)z1→∞時(shí)，表示有限零點(diǎn)z1不存在。(4-35)60°-60°-1j01-1(a)

z1→∞-90°-1j01-1-3z1=-390°(b)

z1=-3-1j01-1-2z1=-2(c)

z1=-2-1j01-1z1(d)

z1=-0由圖可見，當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)位置不變，而在系統(tǒng)中附加開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，可使系統(tǒng)根軌跡向s左半平面方向彎曲。4-3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡2.附加開環(huán)零點(diǎn)的作用3.零度根軌跡3零度根軌跡所謂非最小相位系統(tǒng)：指在s右半平面具有開環(huán)零極點(diǎn)的控制系統(tǒng)。

一般說來，零度根軌跡的來源有兩個(gè)方面：一是非最小相位系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。非最小相位系統(tǒng)或正反饋系統(tǒng)的根軌跡的相角滿足的相角條件為2kπ，而不是(2k+1)π，故一般稱為零度根軌跡。特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡：請注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1K*:0~+1–2K*:0~–1+零度根軌跡的模值條件與相角條件：K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角條件:2kπ繪制零度根軌跡的基本法則：（1）、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

(相同)（2）、根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性(相同)（4）、根軌跡在實(shí)鈾上的分布：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù)(0也視為偶數(shù))。（3）、根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)

根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為（5）、根軌跡的分離點(diǎn)和分離角(相同)（7）、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)（8）、根之和(相同)（6）、根軌跡的起始角和終止角正反饋和零度根軌跡局部正反饋系統(tǒng)的框圖:正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：圖4-24復(fù)雜控制系統(tǒng)例4-8設(shè)正反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-24中的內(nèi)回路所示，其中試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡圖，確定臨界開環(huán)增益Kc。解：因給定系統(tǒng)為正反饋，則有則根軌跡方程為：因此，需按零度根軌跡的法則來繪制。-3-2-1p1=-1+jp2=-1-jp3j-3-2-1p2=-1+jp3=-1-jp1K*c=3jd第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4線性性能的分析4-4系統(tǒng)性能分析應(yīng)該掌握：

1.首先要做出系統(tǒng)的根軌跡圖，根據(jù)題目的要求（如對于某個(gè)特定的ζ）或是對應(yīng)于某個(gè)根軌跡增益，求出所有的閉環(huán)極點(diǎn)。2.系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，可以較容易的由方框圖求出，

因?yàn)?，閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為3.將所有的閉合零、極點(diǎn)都標(biāo)在復(fù)平面上，確定偶極子，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。偶極子：相距很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。

4.若只有一個(gè)實(shí)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)或一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，則可近似套用一階、二階的時(shí)域性能指標(biāo)公式。閉環(huán)零、極點(diǎn)位置對時(shí)間響應(yīng)性能的影響，可以歸納為以下幾點(diǎn)：

1）穩(wěn)定性。如果閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定性只與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點(diǎn)位置無關(guān)。2）運(yùn)動形式。

如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)都為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點(diǎn)都為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的3）超調(diào)量。超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率，并與其他閉環(huán)零、極點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度有關(guān)。

4）

調(diào)節(jié)時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部絕對值；如果實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，并且它附近沒有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于該實(shí)數(shù)極點(diǎn)的模值5）實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)影響。

零點(diǎn)減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間提前，超調(diào)量增大；極點(diǎn)增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間滯后，超調(diào)量減小。它們的作用，隨著其本身接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)。6）偶極子及其處理。

如果零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級，則它們就構(gòu)成了偶極子。遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子，其影響可略；接近原點(diǎn)的偶極子，其影響必須考慮。7）主導(dǎo)極點(diǎn)。

在s平面上，最靠近虛軸而附近又無閉環(huán)零點(diǎn)的一些閉環(huán)極點(diǎn)，對系統(tǒng)性能影響最大，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。凡比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大3~6倍以上的其他閉環(huán)零、極點(diǎn)，其影響均可忽略。本章小結(jié)1.根軌跡是以開環(huán)傳遞函數(shù)中的某個(gè)參數(shù)（一般是根軌跡增益）為參變量而畫出的閉環(huán)特征方程式的根軌跡圖。2.繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件是模值條件和相角條件。要掌握由這兩個(gè)基本條件出發(fā)導(dǎo)出的8個(gè)繪圖法則。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)在s平面上的分布，按照法則，就能方便地畫出根軌跡