增量理論本構(gòu)方程

第三章金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)第四節(jié)本構(gòu)方程第一講增量理論本構(gòu)方程彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點增量理論本構(gòu)方程

在單向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形時應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，由虎克定律表達，即廣義虎克定律一般應(yīng)力狀態(tài)，用廣義虎克定律：E——彈性模量；v——泊松比；G——切變模量（剪切模量）；彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

物體彈性變形時其單位體積變化率與平均應(yīng)力成正比，說明應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性的體積改變。彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義虎克定律的張量形式彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義虎克定律的其它形式彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系——彈性應(yīng)變強度令彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合;變形是可逆的，與應(yīng)變歷史無關(guān)，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在單值關(guān)系;彈性變形時，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積的變化，泊松比v<0.5;塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形——σ-ε對應(yīng)，如σc永遠對應(yīng)εc塑性變形理想——

σs對應(yīng)任何應(yīng)變硬化σs→σe(加載）→εe

σf→σe(卸載）→εf'塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相同的應(yīng)力狀態(tài)（2、4、5），對應(yīng)不同的應(yīng)變狀態(tài)；相同的應(yīng)變狀態(tài)（1、2及3、4）對應(yīng)不同的應(yīng)力狀態(tài)。塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1、應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合；2、變形是不可逆的，與應(yīng)變歷史有關(guān)，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再保持單值關(guān)系；3、塑性變形時可以認為體積不變，即應(yīng)變球張量為零，泊松比v=0.5；4、對于應(yīng)變硬化材科，卸載后再重新加載時的屈服應(yīng)力就是卸載時的屈服應(yīng)力，比初始屈服應(yīng)力要高。彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合變形是可逆的，與應(yīng)變歷史無關(guān)，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在單值關(guān)系變形是不可逆的，與應(yīng)變歷史有關(guān)，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再保持單值關(guān)系彈性變形時，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積的變化，泊松比v<0.5塑性變形時可以認為體積不變，即應(yīng)變球張量為零，泊松比v=0.5對于應(yīng)變硬化材科，卸載后再重新加載時的屈服應(yīng)力就是卸載時的屈服應(yīng)力，比初始屈服應(yīng)力要高應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論增量理論是描述材料處于塑性狀態(tài)時，應(yīng)力與應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間關(guān)系的理論。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論1870年，圣維南(B.SaintVonant)提出應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合，而不與全量應(yīng)變主軸重合。

——應(yīng)力~應(yīng)變速率方程1871年，列維(M.Levy)提出應(yīng)力~應(yīng)變增量關(guān)系。1913年，米塞斯(Mises)提出與列維相同的方程——進入應(yīng)用階段。

——Levy-Mises方程1924年，普朗特(L.Prandtl)提出平面變形問題的彈塑性增量方程，勞斯(A.Reuss)推廣至一般狀態(tài)。

——Prandtl~Reuss方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論1、Levy-Mises理論（Levy-Mises方程）1)材料是剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量。2)材料符合Mises屈服準則，即3)每一加載瞬時，應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合。4)塑性變形時體積不變，即在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，假設(shè)應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量成正比，得Levy-Mises方程dλ——瞬時非負比例系數(shù)，加載時dλ>0，卸載時dλ=0應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論Levy-Mises方程的其它形式應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論1)Levy-Mises方程僅適用于理想塑性材料，只給出應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系；2)由dεij只能求出σ‘ij,而不能求出σij3)由σij只能求出dεij的比,而不能求出dεij

證明以前提到的結(jié)論1)平面變形：設(shè)dεz=0,按體積不變條件dεx+dεy=02)均勻軸對稱：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論2、應(yīng)力-應(yīng)變速率方程（Saint-Venant塑性流動方程）同除以dt——應(yīng)變速率張量——等效應(yīng)變速率（應(yīng)變速率強度）——Saint-

Venant塑性流動方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論3、Prandtl-Reuss理論（Prandtl-Reuss方程）在Levy-Mises理論的基礎(chǔ)上，考慮彈性變形部分。Prandtl-Reuss方程可寫成：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論總結(jié)：1)Prandtl-Reuss理論考慮了彈性變形，而Levy-Mises理論不考慮彈性變形，實質(zhì)上后者是前者的特殊情況。由此看來，Levy-Mises理論僅適用于大應(yīng)變，無法求彈性回跳及殘余應(yīng)力場問題，Prandtl-Reuss理論主要用于小應(yīng)變及求解彈性回跳及殘余應(yīng)力問題。2)Prandtl-Reuss理論和Levy-Mises理論都著重指出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系。即3)整個變形過程可由各瞬時段的變形積累而得，因此增量理論能表達加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復(fù)雜加載情況。4)上述理論僅適用于加載情況(即變形功大于零的情況)，并沒有給出卸載規(guī)律，卸載情況下仍按虎克定律