非線性科學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)9N講解

3.5孤波（soliton）由英國(guó)人羅素（J.S.Russell)1834年首先發(fā)現(xiàn)。（1）非線性耦合振子couplingoscilators彈簧扭矩彈簧小擺幅，線性化linearization行波解cc.前項(xiàng)的復(fù)共軛（波動(dòng)復(fù)習(xí)）色散關(guān)系dispersionlaw禁帶：此時(shí)為虛數(shù)，對(duì)應(yīng)指數(shù)衰減波。

線性波動(dòng)方程的解是簡(jiǎn)單的，任意解都可以展開為各種行波的疊加。Anarbitrarywavecanbeexpressedasasuperpositionofplanewaves波動(dòng)在介質(zhì)中傳播，能量不損耗。行波特點(diǎn)：波以固定的形狀在空間運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)帶：（波動(dòng)復(fù)習(xí)）bandgaptransparentband波包：wavepacket（波動(dòng)復(fù)習(xí)）波包分波相位波數(shù)分布（波動(dòng)復(fù)習(xí)）如果相位在隨k快速變化，振幅近似等于零。因此波包中心可以定義為相位隨k變化最慢的地方：群速度groupvelocity（波動(dòng)復(fù)習(xí)）波幅明顯不等于零的地方，位相在緩慢變化。此范圍的邊界可由下式估計(jì)：當(dāng)波包為高斯型時(shí)，等號(hào)成立?？勺C對(duì)任意波包，uncertaintyrelation（波動(dòng)復(fù)習(xí)）波包不確定性關(guān)系對(duì)一個(gè)給定的分波，它的波形運(yùn)動(dòng)速度由等相面的運(yùn)動(dòng)速度給出，相速度：如果線性依賴于，則相速度等于群速度如果非線性依賴于，則相速度與有關(guān)，即不同顏色的波速度不同。這個(gè)現(xiàn)象稱為色散。色散關(guān)系：dispersionlaw（波動(dòng)復(fù)習(xí)）phasevelocity（波動(dòng)復(fù)習(xí)）fasterslower非線性方程effectofnonlinearitysine-Gordon方程行波（平面波）不是解。但是否存在類似行波的形狀固定的解呢？istherewaveoffixedform?形狀固定的波的一般形式：

假如形狀固定的波存在，把其一般形式代入波動(dòng)方程，fromthewaveequation,onehas積分一次：afterthefirstintegration通解即使存在，一般也很難找到通解。ifthereis,itmustbeafunctionofxi但對(duì)這個(gè)問題，如果可以得到簡(jiǎn)單的解：當(dāng)有有當(dāng)亮孤子brightsoliton暗孤子darksoliton

在線性系統(tǒng)中，僅當(dāng)介質(zhì)沒有色散時(shí)才存在形狀固定的行波。在非線性系統(tǒng)中，色散可以被非線性效應(yīng)抵消，出現(xiàn)形狀固定的孤波。通過下面的分析大致可看到這種可能性：因?yàn)轭l率與振幅有關(guān)，非線性項(xiàng)從任意一個(gè)給定頻率（波數(shù)）的波中產(chǎn)生新的不同頻率（波數(shù)）的波，所以波包的波數(shù)不確定性由于非線性作用變大。有不確定性關(guān)系知，波包的空間不確定性相應(yīng)變小。所以非線性作用可以抵消使波包散開的色散。（2）Korteweg-de-Vries(KdV)方程1895年Kruskal和deVries導(dǎo)處長(zhǎng)波和小振幅近似下的水面波方程緣由：

它其實(shí)是非常普遍的一個(gè)具有色散和非線性的方程。先看一個(gè)線性的向右傳播的波動(dòng)方程：無色散：存在弱色散時(shí)，存在弱非線性項(xiàng)（最高到2次）時(shí)，方程有一般的形式都是小量，所以再作標(biāo)度變換參考系變換得KdV方程由可見：非線性項(xiàng)使得分波的速度依賴于分波的振幅。對(duì)形狀固定的波，代入KdV方程得積分一次得再積分一次得設(shè)的三個(gè)根為解：其中為雅可比橢圓函數(shù)，周期為2k故u的周期為當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，其中為無窮運(yùn)處的均勻值。KdV孤子解：速度正比于振幅a，波寬反比于a的平方根。

應(yīng)用：空氣動(dòng)力學(xué)，水波，磁流體波