非線性動(dòng)力分析方法

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputationOutline一、非線性動(dòng)力系統(tǒng)二、經(jīng)典非線性測(cè)量方法三、例子四、小結(jié)一非線性動(dòng)力系統(tǒng)1.線性與非線性

線性方程：

y(t)=a*t+b1

非線性方程：Y(t)=cos(t)+b2;Y(t)=t^2+b3

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)2.加入動(dòng)力學(xué)行為

記憶效應(yīng)（與t相關(guān)）：

無(wú)記憶效應(yīng)（與t無(wú)關(guān)）：

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌：

混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性－－不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)典型非線性方程：人口模型：x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌二分叉圖：藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)Lorenz方程組：藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性吸引子

能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種定常狀態(tài)。這是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在t→∞時(shí)所呈現(xiàn)的與時(shí)間無(wú)關(guān)的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個(gè)，也就是說(shuō)終值與初始值無(wú)關(guān)。這類(lèi)吸引子也稱平庸吸引子。如：阻尼單擺有不動(dòng)點(diǎn)吸引子，范德玻耳方程有極限環(huán)吸引子，等等。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputationa.Pointattractor

靜止在定態(tài)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性b.Limitcycle

周期性運(yùn)動(dòng)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性c.Torus

準(zhǔn)周期

不可通約藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)奇怪吸引子

相對(duì)于平庸吸引子而言，它們的特點(diǎn)之一是終態(tài)值與初始值密切相關(guān)，或者說(shuō)對(duì)初始值具有極端敏感性；初始取值的細(xì)微差別可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這時(shí)的吸引子毫無(wú)周期可言，即所謂混沌。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性d.Chaoticattractor

具有收斂性

無(wú)周期

分型結(jié)構(gòu)

“奇怪吸引子”藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation一非線性動(dòng)力系統(tǒng)高維吸引子藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法1.Lorenz散點(diǎn)圖藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法2.Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)用于判斷一個(gè)系統(tǒng)是否屬于混沌系統(tǒng)。系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜中存在正值,則表明該系統(tǒng)具有混沌特征。因此,只要系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜中最大的Lyapunov指數(shù)為正,則該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation設(shè)為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，經(jīng)

n次迭代后兩點(diǎn)的距離為：式中指數(shù)li值可正可負(fù)。表示沿該方向擴(kuò)展，表示沿該方向收縮。在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間(數(shù)次迭代)以后，兩個(gè)不同李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來(lái)的圓演變?yōu)闄E圓。二經(jīng)典非線性測(cè)量方法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation

穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來(lái)越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則體系是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只要有一個(gè)正值的就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。

判別一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)l

是否為正值。

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation

吸引子可存在于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個(gè)，這樣體系的運(yùn)動(dòng)將為更復(fù)雜。人們稱高維相空間中有多個(gè)正值指數(shù)的混沌為超混沌。推廣到高維空間后，由指數(shù)的值決定的各種類(lèi)型的吸引子歸納如下：

吸引子類(lèi)型維數(shù)不動(dòng)點(diǎn)

D=0極限環(huán)D=1二維環(huán)面D=2三維環(huán)面D=2奇怪吸引子（混沌）D=2~3（非整數(shù)）超混沌D=高于3非整數(shù)二經(jīng)典非線性測(cè)量方法3.相關(guān)維度C(r)為吸引子上兩個(gè)隨機(jī)點(diǎn)之間距離小于給定距離r的似然估計(jì)。是r的函數(shù)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法4.K熵K熵（柯?tīng)柲缏宸蜢兀㏒熵（香農(nóng)熵，信息論）

一個(gè)吸引子的K熵是它（吸引子）所表示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的信息損失率。

等于該系統(tǒng)具有的所有正Lyapunov指數(shù)之和。

藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation二經(jīng)典非線性測(cè)量方法在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵是無(wú)界的；在規(guī)則運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵為零；在混沌運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵大于零，K熵越大，那么信息的損失速率越大，系統(tǒng)的混沌程度越大，或者說(shuō)系統(tǒng)越復(fù)雜藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation三例子正常人與癲癇發(fā)作時(shí)的比較1.EEG&2.相空間軌跡藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室MindArtComputation三例子3.相關(guān)維度藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室