【高中數(shù)學(xué)】全稱量詞與存在量詞+課件+高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.5.1全稱量詞與存在量詞

我們學(xué)校為了迎接10月28號的秋季田徑運(yùn)動會,正在排練由1000名學(xué)生參加的開幕式團(tuán)體操表演.這1000名學(xué)生符合下列條件：（1）所有學(xué)生都來自高二年級；（2）至少有30名學(xué)生來自高二（1）班；（3）每一個學(xué)生都有固定表演路線.“所有”，“至少”，“每一個”等短語，在邏輯上稱為量詞.復(fù)習(xí)引入全稱量詞思考1：下列語句是命題嗎?比較(1)和(3),(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系?(1)x>3；(2)2x+1是整數(shù)；(3)對所有的x

R,x>3；(4)對任意一個x

Z,2x+1是整數(shù).是是不是不是關(guān)系:語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語“所有的”對變量

x進(jìn)行限定.(3)(4)全稱量詞命題語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語“對任意一個”對變量x進(jìn)行限定.探究一：全稱量詞1.全稱量詞的定義:短語“所有的”,“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“”表示.2.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”等.全稱量詞命題的含義:對M中任意一個,成立,用符號簡記為讀作“對任意屬于M,成立”.歸納總結(jié)(2)所有的正方形都是矩形.都是全稱量詞命題.例如:下列命題是不是全稱量詞命題？(1)對任意的n

Z,2n+1是奇數(shù);(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式;（2）凸多邊形的外角和等于

；練習(xí)：用量詞“”表達(dá)下列命題:（3）任一個實數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù).xR,x能寫成小數(shù)形式x{x|x是凸n邊形},x的外角和等于x

R,x·(-1)=-x解：（1）2是素數(shù)，但2不是奇數(shù).所以全稱量詞命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題.例1：判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2）

x∈R,|x|+1≥1；（3）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù).（2）

x∈R,總有|x|≥0，因而總有|x|+1≥1，所以全稱量詞命題“

x∈R,x2+1≥1”是真命題.例題課本27頁解：是無理數(shù)，但是有理數(shù).所以，全稱量詞命題“對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題.例1：判斷下列全稱量詞命題的真假：（3）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù).課本27頁判斷全稱量詞命題“

x∈M,p(x)”是真命題的方法判斷全稱量詞命題“

x∈M,p(x)”是假命題的方法——需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立.——只需在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)

不成立即可（舉反例）.歸納總結(jié)說明：判斷全稱量詞命題為假，只要舉一個反例.解：（1）連接一條對角線，將一個四邊形分成兩個三角形，而一個三角形的內(nèi)角和是，所以全稱量詞命題“每個四邊形的內(nèi)角和都是”是真命題.判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）每個四邊形的內(nèi)角和都是；（2）任何實數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）

x∈{y|y是無理數(shù)},是無理數(shù).

（2）因為負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以全稱量詞命題“任何實數(shù)都有算術(shù)平方根”是假命題.

練習(xí)課本28頁解：是無理數(shù)，但是有理數(shù)，所以全稱量詞命題“

x∈{y|y是無理數(shù)},是無理數(shù)”是假命題.判斷下列全稱量詞命題的真假：（3）

x∈{y|y是無理數(shù)},是無理數(shù).

課本28頁存在量詞思考2：下列語句是命題嗎?比較(1)和(3),(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個x∈R,使2x+1=3；(4)至少有一個x∈Z,x能被2和3整除.是是不是不是關(guān)系:語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語“存在一個”對變量

x進(jìn)行限定.(3)(4)存在量詞命題語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語“至少有一個”對變量x進(jìn)行限定.探究二：存在量詞1.存在量詞的定義:存在量詞:短語“存在一個”,“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“”表示.2.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.存在量詞命題的含義:存在M中的元素,成立,用符號簡記為讀作“存在屬于M,成立”.常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某些”“有的”等.歸納總結(jié)練習(xí)：1.下列語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題：(1)有一個實數(shù)a,a不能取倒數(shù)；(2)所有不等式的解集A,都是A?R；(3)有的四邊形不是平行四邊形.存在量詞命題全稱量詞命題存在量詞命題例如：下列命題是不是存在量詞命題？（1）有的平行四邊形是菱形;（2）有一個素數(shù)不是奇數(shù).

都是存在量詞命題.例2：判斷下列存在量詞命題的真假(1)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.解:(1)由于,因此一元二次方程（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題.例題x2+2x+3=0無實根，所以，存在量詞命題“有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0”是假命題.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行,因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題“平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線”是假命題.課本28頁判斷存在量詞命題“

x∈M,p(x)”是真命題的方法判斷存在量詞命題“

x∈M,p(x)”是假命題的方法——只需在集合M中找到一個元素x,使得p(x)成立即可(舉例證明）.——需要證明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.說明：判斷存在量詞命題為真，只要舉一個特例.歸納總結(jié)解：（1）因為正方形的兩條對角線互相垂直，所以存在量詞命題“存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直”是真命題.判斷下列存在量詞命題的真假：（1）存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直；（2）至少有一個整數(shù)n，使得n2+n為奇數(shù)；（3）x∈{y|y是無理數(shù)},是無理數(shù).

（2）因為n2+n=n(n+1)2必為偶數(shù)，所以存在量詞命題“至少有一個整數(shù)n，使得n2+n為奇數(shù)”是假命題.

練習(xí)課本28頁判斷下列存在量詞命題的真假：（3）x∈{y|y是無理數(shù)},是無理數(shù).