求導(dǎo)公式-方法

02九月20231一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理例1解函數(shù)y=ax的反函數(shù)為x=logay，又§3.3求導(dǎo)公式與求導(dǎo)方法即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).02九月20232例2解同理可得02九月20233二、基本導(dǎo)數(shù)公式02九月20234三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

定理(鏈?zhǔn)椒▌t)

若函數(shù)u=g(x)在x=x0可導(dǎo)，y=f(u)在u0=g(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0可導(dǎo)，且即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)02九月20235

當(dāng)所針對(duì)的函數(shù)由三個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成時(shí)也有類似結(jié)果，例如對(duì)三個(gè)函數(shù)y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f{g[h(x)]}，有

應(yīng)用時(shí)，首先把函數(shù)進(jìn)行“分解”，由外到里寫成幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式(注意一定要“分解”得徹底，保證最后寫出的函數(shù)都是基本初等函數(shù))，然后按照鏈?zhǔn)椒▌t逐個(gè)求導(dǎo)。注意最后要把u、v換回x02九月20236例1求函數(shù)y=sinex在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。解函數(shù)y=sinex由基本函數(shù)y=sinu和u=ex復(fù)合而成，又因此有例2解練習(xí)答案02九月20237例3解例4解02九月20238例5解題中函數(shù)由y=eu、u=sinv、v=1/x復(fù)合而成，又練習(xí)答案則熟練以后，可以不寫出中間變量，直接求導(dǎo)。02九月20239例設(shè)f(u)可導(dǎo)，求y=f(ex)ef(x)的導(dǎo)數(shù)。解練習(xí)設(shè)f(u)可導(dǎo)，求y=f{f[f(x)]}的導(dǎo)數(shù)。答案注意先求導(dǎo)后代入先代入后求導(dǎo)02九月202310求導(dǎo)數(shù)02九月202311§3.4高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)一、高階導(dǎo)數(shù)

我們知道，速度v是位移函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)：v=s′(t)。設(shè)初始時(shí)刻t0的速度為v0，末時(shí)刻t的速度為v，則從t0到t的(平均)加速度為

這是對(duì)位移函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)v=s′(t)再求導(dǎo)數(shù)，我們稱之為二階導(dǎo)數(shù)。一般地，我們可以定義n階導(dǎo)數(shù)。若要求在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，則需令t→t0對(duì)此式求極限：02九月202312定義為f(x)在x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記為上的函數(shù)，稱為二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱二階導(dǎo)數(shù)。的三階導(dǎo)數(shù)，稱為f(x)的四階導(dǎo)數(shù)，······02九月202313定義設(shè)函數(shù)f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)存在且可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記為

二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，若f(x)的n階導(dǎo)數(shù)存在，則稱f(x)n階可導(dǎo)。由定義可以看出，求n階導(dǎo)數(shù)就是進(jìn)行n次求導(dǎo)運(yùn)算，有時(shí)需要化簡(jiǎn)、歸納。例答案02九月202314練習(xí)答案例定理(Leibniz公式)計(jì)算過(guò)程對(duì)兩個(gè)函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可以利用Leibniz公式。02九月202315二、隱函數(shù)求導(dǎo)

用導(dǎo)數(shù)討論變量的變化率時(shí)，有時(shí)變量間的關(guān)系很難甚至不能用y=f(x)的形式表示，這時(shí)應(yīng)盡量用其他形式揭示變量的關(guān)系。其中一種是用方程確定。定義設(shè)Φ(x,y)=0為含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，若有函數(shù)y=f(x)使Φ(x,f(x))≡0，x∈Df，則稱y=f(x)為由Φ(x,y)=0確定的隱函數(shù)。

y=f(x)形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。將隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過(guò)程稱為隱函數(shù)的顯化。

注⑴一個(gè)二元方程可能確定一個(gè)或多個(gè)隱函數(shù)；⑵并非每一個(gè)隱函數(shù)都可以顯化。事實(shí)上，大部分隱函數(shù)都不能顯化，這時(shí)，一般考慮用導(dǎo)數(shù)討論其性質(zhì)。02九月202316

y=f(x)是由方程Φ(x,y)=0確定的隱函數(shù)。即有Φ(x,f(x))=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得到x、f(x)和f’(x)的等式，從其中解出f’(x)(用x、f(x)表示)。實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般把f(x)和f’(x)寫成y和y’。如對(duì)方程y=x+ex+y確定的隱函數(shù)y=f(x)，對(duì)

f(x)

=x+ex+f(x)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

f’(x)=1+ex+f(x)[1+f’(x)]從中可求得隱函數(shù)求導(dǎo)方法：02九月202317例1求由2y-x=(x-y)ln(x-y)所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)。答案對(duì)2y-x=(x-y)ln(x-y)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得：整理得計(jì)算時(shí)，一定要注意y是x的函數(shù)，遇到y(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)y’。例202九月202318練習(xí)答案計(jì)算時(shí)，一定要注意y是x的函數(shù)，遇到y(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)y’。解解得02九月202319練習(xí)二階導(dǎo)數(shù)。

對(duì)隱函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，即對(duì)上面求得的導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)。由于隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中一般同時(shí)含有自變量x和因變量y，因此再次(關(guān)于x)求導(dǎo)時(shí)也會(huì)遇到y(tǒng)，這時(shí)仍要把y看作x的函數(shù)。也就是說(shuō)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，右邊會(huì)出現(xiàn)y’

，然后把一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式代入。計(jì)算過(guò)程02九月202320三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

定義形如[f(x)]g(x)的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。對(duì)冪指函數(shù)的求導(dǎo)，一般有兩種方法，一種是先化簡(jiǎn)：y=[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x)，再利用四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算；另一種方法是用所謂的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

定義先對(duì)函數(shù)表達(dá)式兩邊求對(duì)數(shù)，再兩邊求導(dǎo)以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，一般適用于以下情形下的求導(dǎo)：①求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；②求多個(gè)函數(shù)積或商的導(dǎo)數(shù)。

例

求函數(shù)y=xsinx的導(dǎo)數(shù)。計(jì)算過(guò)程02九月202321練習(xí)求函數(shù)y=(tanx)sinx的導(dǎo)數(shù)。答案例答案練習(xí)答案02九月2023容易歸納出最后結(jié)果為(嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)該用數(shù)學(xué)歸納法證明)02九月2023