曲面及其方程2

2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-1§8.3曲面及其方程曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面小結(jié)思考題作業(yè)2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-2一、曲面方程的概念定義(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程;(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程;如果曲面S有下述關(guān)系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的圖形.曲面及其方程與三元方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-3解所求方程為球心在原點的球面方程特殊是球面上任一點,曲面及其方程例2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-4例解所求方程是曲面上任一點,的全體所組成的曲面方程.曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-5二、旋轉(zhuǎn)曲面1.定義曲面及其方程此定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.此曲線稱稱此曲面為旋轉(zhuǎn)曲面.一周所成的曲面,母線.

為方便,取作坐標面,

常把曲線所在平面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)母線軸旋轉(zhuǎn)軸取作坐標軸.定義2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-62.旋轉(zhuǎn)曲面方程將得方程代入曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-7旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)一周的由上面的分析得：同理,旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)一周的繞z軸繞y軸曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-8

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.旋轉(zhuǎn)雙曲面例雙曲線(1)分別繞x軸和z軸;繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-9旋轉(zhuǎn)橢球面

旋轉(zhuǎn)拋物面(2)繞y軸和z軸;(3)繞z軸.曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-10

選擇題

B方程(A)xOz平面上曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面;(B)xOz平面上直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；(C)yOz平面上直線繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；(D)yOz平面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.表示().曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-11定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線C稱為柱面的動直線L稱為柱面的準線,母線.曲面及其方程所形成的曲面稱為移動的直線L

柱面.準線母線2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-12因此,該方程的圖形是以xOy面上圓為準線,

例

討論方程的圖形.在xOy面上,解母線平行于z軸的柱面.曲面及其方程表一個圓C.過點作平行z軸的直線L,設(shè)點在圓C上,

對任意z,點的坐標也滿足方程沿曲線C,

平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點的坐標都滿足此方程,在空間,就是圓柱面方程.此曲面稱為圓柱面.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-13平面表示母線平行于z表示母線平行于z軸曲面及其方程拋物柱面柱面舉例

其準線是xOy面上的拋物線軸的柱面,

的柱面,其準線是xOy面上的直線2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-14總結(jié)：柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面雙曲柱面

拋物柱面

直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,在空間為xOy面上的曲線C.其準線曲面及其方程母線平行于x軸母線平行于z軸母線平行于y軸2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-15二次曲面的定義四、二次曲面曲面及其方程具體形式為：三元二次方程所表示的曲面稱為其中均為常數(shù).球面、二次曲面.如某些柱面(圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面等)都是二次曲面.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-16

研究二次曲面的方法是采用截痕法.下面用截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面.即用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截,考察其交線(即截痕)的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的全貌.曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-171.橢球面(橢圓面)曲面及其方程由方程可知：即說明橢球面包含在由平面圍成的長方體內(nèi).2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-18曲面及其方程先考慮橢球面與坐標面的截痕：去截這個曲面,所得截痕的方程是這些截痕都是橢圓.再用平行于xOy面的平面這些截痕也都是橢圓.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-19橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.曲面及其方程與平面橢圓.同理,的截痕也是2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-20橢球面的幾種特殊情況:旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面繞z軸旋轉(zhuǎn)而成.的交線為圓.曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-21球面方程可寫為曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-222.拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論用平面設(shè)原點叫做橢圓拋物面的去截這曲面,頂點.(1)曲面及其方程截痕為原點.用平面去截這曲面,截痕為橢圓.截痕退縮為原點;截痕不存在.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-23用坐標面截痕為拋物線.(2)曲面及其方程去截這曲面,用平面它的軸平行于軸頂點去截這曲面,截痕為拋物線.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-24用坐標面同理當(3)時可類似討論.曲面及其方程去截這曲面,及平面截痕為拋物線.橢圓拋物面的圖形如下：2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-25旋轉(zhuǎn)拋物面(由面上的拋物線用平面當變動時，這種圓的中心都在軸上.特殊地方程變?yōu)槎傻?曲面及其方程去截這曲面,截痕為圓.繞z軸旋轉(zhuǎn)2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-26（與同號）雙曲拋物面用截痕法討論：設(shè)圖形如下：

有兩個異號的平方項,另一變量方程z=xy表示什么曲面？馬鞍面特點是:是一次項,無常數(shù)項.(馬鞍面)曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-273.雙曲面單葉雙曲面特點是:平方項有一個取負號,另兩個取正號.曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-28類似地,亦表示單葉雙曲面.方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-29雙葉雙曲面

或特點是:平方項有一個取正號,另兩個取負號.它分成上、下兩個曲面.注曲面及其方程

類似地,或亦表示方程雙葉雙曲面.2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-30方程表示()(A)雙曲柱面;(D)錐面.(C)雙葉雙曲面;(B)旋轉(zhuǎn)雙曲面;B橢圓拋物面

雙曲拋物面(馬鞍面）填空設(shè)有曲面方程則方程表示的曲面為方程表示的曲面為??曲面及其方程選擇2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-31

上海交大,填空,(90級)

雙葉雙曲面,它的對稱軸在軸上.y

上海交大,填空,(95級)橢圓錐曲面及其方程練習(xí)2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-32截痕法;

(熟知這幾個常見曲面的特性)橢球面、拋物面、雙曲面.曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念(軸、母線)及求法;柱面的概念(母線、準線);曲面及其方程五、小結(jié)2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-33例解

圓錐面方程曲面稱為圓錐面.兩直線的交點稱為圓錐面的頂點,兩直線的夾角稱為圓錐面的半頂角.試建立頂點在坐標原點O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.面上直線方程為曲面及其方程直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)2011.2.6北京工商大學(xué)8-3-34說明：有圓錐面方程曲面及其方程圓錐面方程