一元一次方程

第三章一元一次方程猜數(shù)字游戲問題一：請你從一幅撲克牌中任意抽出一張，然后用牌面上的數(shù)字乘2加5，并把結(jié)果告訴我，我能很快知道牌面上的數(shù)字是多少,同學(xué)們相信嗎？方法一：（27-5）÷2=11方法二：設(shè)牌面數(shù)字為x，則2x+5=27得x=11，也就是牌面數(shù)字為11。方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。判斷方程的條件：1、含有未知數(shù)2、是等式軍軍今年5歲，爸爸今年32歲，如果設(shè)x年后軍軍的年齡是爸爸的?，那么如何用方程來描述數(shù)量關(guān)系?x年后軍軍的年齡是_________;x年后爸爸的年齡是_________.可得方程:___________________5+x=1/4(32+x)5+x32+x

上有20頭、下有52足，問雞兔各有多少？雞兔同籠解:設(shè)雞有x只,則兔有(20-x)只,根據(jù)題意,得:2x+4(20-x)=52情境一：一臺電腦已經(jīng)使用1700h，預(yù)計每個月再使用150h，經(jīng)過多少個月這臺電腦的使用時間達(dá)到規(guī)定的檢修時間2450h？（只列方程）已知量未知量等量關(guān)系1、已經(jīng)使用了1700h;2、預(yù)計每月再使用150h；3、這臺電腦規(guī)定檢修時間是2450h這臺電腦還能用幾個月達(dá)到規(guī)定的檢修時間原來使用時間+還可以用的時間=規(guī)定的檢修時間x1700+150x=2450情境二我校女生人數(shù)占全體學(xué)生數(shù)52%,比男生多80人,我們學(xué)校有多少學(xué)生？（只列方程）等量關(guān)系：女生數(shù)--男生數(shù)=80或女生數(shù)=男生數(shù)+80或女生數(shù)-80=男生數(shù)52％x-(1-52％)x=80或52％x=(1-52％)x+80或52％x-80=(1-52％)xx情境三用一根長為24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？（只列方程）等量關(guān)系：正方形的周長=邊長×44x=24x情境四一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地，A,B兩地間的路程是多少？設(shè)A、B兩地相距xkm,則根據(jù)題意得：想一想構(gòu)建方程解決實際問題的關(guān)鍵是什么？一般步驟又是什么呢？關(guān)鍵是：找等量關(guān)系分析題意找等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)根據(jù)等量關(guān)系列方程以下方程具有什么樣的共同特征呢？

2x+5=27

1700+150x=2450

52％x-(1-52％)x=80④4x=241、都只含有一個未知數(shù)，2、未知數(shù)的次數(shù)都是1一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程。練一練一、填空1、在下列方程中（1）2x+1=3,（2）（3）2a+b=3,（4）2-6y=1,（5）屬于一元一次方程的有

。2、若方程是一元一次方程，則m=

（1）（4）3【總結(jié)】1.一元一次方程的定義：只含有___個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是__，等號兩邊都是_____，這樣的方程叫做一元一次方程.2.解方程與方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的_______的值，這個值就是方程的解.一1整式未知數(shù)(打“√”或“×”)(1)4x+7是方程.()(2)2x+y=3是方程.()(3)未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程是一元一次方程.()(4)x=2是方程6x-12=0的解.()×√×√知識點1一元一次方程的有關(guān)概念【例1】若(m-1)x|m|+5=0是關(guān)于x的一元一次方程.(1)求m的值，并寫出這個方程.(2)判斷x=1,x=2.5,x=3是否是方程的解.【教你解題】【總結(jié)提升】1.判斷一元一次方程的三個條件(1)必須只含有一個未知數(shù).(2)未知數(shù)的次數(shù)都是1.(3)等號兩邊都是整式.2.判斷方程解的三個步驟(1)代：把所給未知數(shù)的值分別代入方程等號的左右兩邊.(2)算：計算等號左右兩邊的值.(3)判：若左邊=右邊，則是方程的解；若左邊≠右邊，則不是方程的解.知識點2列一元一次方程【例2】(2012·銅仁中考)銅仁市對城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，計劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完.設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是()A.5(x+21-1)=6(x-1)B.5(x+21)=6(x-1)C.5(x+21-1)=6xD.5(x+21)=6x【思路點撥】先根據(jù)“總間隔數(shù)=總棵數(shù)-1”用含x的代數(shù)式表示出兩種情況的總間隔數(shù)，再根據(jù)相等關(guān)系：“公路長=總間隔數(shù)×相鄰兩樹的距離”，列出方程.【自主解答】選A.每隔5米栽1棵的總間隔數(shù)為:(x+21-1),公路長為：5(x+21-1)；每隔6米栽1棵的總間隔數(shù)為:(x-1),公路長為：6(x-1)，則方程為：5(x+21-1)=6(x-1).【總結(jié)提升】列方程的三個步驟1.設(shè)：恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，分直接設(shè)和間接設(shè)：直接設(shè)就是問什么設(shè)什么；間接設(shè)就是如果設(shè)所求問題不利于列方程時，要設(shè)問題中一個恰當(dāng)?shù)牧繛槲粗獢?shù).2.找：找相等關(guān)系.例如,問題中的某個量能用不同方式表示、總量等于各分量的和等.3.列：列方程，把問題中的有關(guān)量用代數(shù)式表示，根據(jù)相等關(guān)系寫出等式.題組一：一元一次方程的有關(guān)概念1.下列方程為一元一次方程的是()A.x+5=y+4

B.C.x2-x=1D.x=0【解析】選D.選項A有兩個未知數(shù)；選項B中的不是整式；選項C中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，故A，B，C都不是一元一次方程，選項D符合一元一次方程的定義.【變式訓(xùn)練】已知下列方程：①x-2=②0.3x=1;③④x2-4x=3;⑤x=0;⑥x+2y=0,其中是一元一次方程的有()A.2個B.3個C.4個D.5個【解析】選B.按照一元一次方程的定義，②③⑤為一元一次方程，故共有3個.2.下列方程中，解為x=3的是()A.6x=2B.3x-9=0C.D.5x+15=0【解析】選B.把x=3分別代入四個方程，只有方程3x-9=0左右兩邊相等.3.(2012·重慶中考)關(guān)于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，則a的值為()A.2B.3C.4D.5【解析】選D.把x=2代入方程2x+a－9=0得2×2＋a－9=0，所以a=5.4.關(guān)于x的方程xn-1+5=0是一元一次方程，求n的值.【解析】由題意n-1=1,故n=2.5.已知y=1是方程my=y+2的解，求m2-3m+1的值.【解析】因為y=1是方程my=y+2的解，所以m=1+2，故m=3,當(dāng)m=3時，m2-3m+1=9-3×3+1=1.題組二：列一元一次方程1.“五一”期間，某電器按成本價提高30%后標(biāo)價，再打8折(標(biāo)價的80%)銷售，售價為2080元.設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是()A.x(1+30%)×80%=2080B.x·30%·80%=2080C.2080×30%×80%=xD.x·30%=2080×80%【解析】選A.因為該電器的成本價為x元，提高30%后的標(biāo)價是(1+30%)x，再打8折的售價為(1+30%)×80%x,所以x(1+30%)×80%=2080.2.甲乙兩數(shù)的和為10，并且甲比乙大2，求甲、乙兩數(shù).下面所列方程正確的是()A.設(shè)乙數(shù)為x，則x+2=10B.設(shè)乙數(shù)為x，則(x-2)+x=10C.設(shè)甲數(shù)為x，則(x+2)+x=10D.設(shè)乙數(shù)為x，則(x+2)+x=10【解析】選D.設(shè)乙數(shù)為x，則甲數(shù)為x+2，故(x+2)+x=10.【變式訓(xùn)練】x的8倍加上4與x的9倍相等，則所列方程為_____.【解析】x的8倍加上4用式子表示為8x+4,x的9倍用式子表示為9x，所以8x+4=9x.答案：8x+4=9x3.(2012·湘潭中考)湖南省2011年赴臺旅游人數(shù)7.6萬人.我市某九年級一學(xué)生家長準(zhǔn)備中考后全家3人去臺灣旅游，計劃花費20000元.設(shè)每人向旅行社繳納x元費用后，共剩5000元用于購物和品嘗臺灣美食.根據(jù)題意，列出方程為______.【解析】每人向旅行社繳納x元費用后還剩(20000-3x)元，所以20000-3x=5000.答案：20000-3x=50004.爸爸今年37歲，是兒子年齡的3倍還多1歲，設(shè)兒子x歲，列方程為_____.【解析】因為兒子x歲，所以爸爸3x+1歲，所以3x+1=37.答案：3x+1=375.七年級(1)班部分同學(xué)計劃一起租車秋游，租車費人均15元；后來又有4名同學(xué)加入，總租車費不變，結(jié)果人均少花3元，設(shè)原來有x名學(xué)生，可列方程為______.【解析】原來總租車費為15x，加入4名同學(xué)后的總租車費為(15-3)(x+4),故方程為(15-3)(x+4)=15x.答案：(15-3)(x+4)=15x6.根據(jù)下列條件，列出方程：(1)x的20%與10的差的一半等于-2.(2)某數(shù)與2的差的絕對值加上1等于2.【解析】(1)x的20%表示為20%x，x的20%與10的差表示為20%x-10,x的20%與10的差的一半表示為故所列方程為(2)設(shè)某數(shù)為x,某數(shù)與2的差表示為x-2,某數(shù)與2的差的絕對值表示為|x-2|，某數(shù)與2的差的絕對值加上1表示為|x-2|+1，故所列方程為|x-2|+1=2.【想一想錯在哪？】已知方程(a-4)x|a|-3+2=0是關(guān)于x的一元一次方程，求a的值.提示：未知數(shù)的系數(shù)是含有字母a的代數(shù)式時，要保證其不為0.解一元一次方程

約公元825年，中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家阿爾-花拉子米寫了一本代數(shù)書，重點論述怎樣解方程.這本書的拉丁文譯本取名為《對消與還原》.“對消”與“還原”是什么意思呢？數(shù)學(xué)小資料數(shù)學(xué)史如何將此方程轉(zhuǎn)化為x＝a（a為常數(shù)）的形式?合并同類項系數(shù)化為1等式性質(zhì)2理論依據(jù)？1.解方程：解：合并同類項，得系數(shù)化為1，得合并同類項，得系數(shù)化為1，得2.解方程：解：

合并同類項起到了“化簡”的作用，即把含有未知數(shù)的項合并，從而把方程轉(zhuǎn)化為ax=b，使其更接近x=a的形式(其中a,b是常數(shù))

．合并同類項的作用：練習(xí)：1.解下列方程：解：合并同類項，得

系數(shù)化為1，得（1）解：合并同類項，得系數(shù)化為1，得

解：合并同類項，得系數(shù)化為1，得

解：合并同類項，得系數(shù)化為1，得

移項合并同類項系數(shù)化為1像這樣，把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.移項變號約公元825年，中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家阿爾-花拉子米寫了一本代數(shù)書，重點論述怎樣解方程.這本書的拉丁譯本為《對消與還原》.“對消”與“還原”是什么意思呢？數(shù)學(xué)小資料回顧：“對消”和“還原”就是我們所學(xué)的“合并同類項”和“移項”.4、如果關(guān)于x的方程有無數(shù)個解，求無數(shù)個解，求k的值。6、a、b、c為正數(shù)，解關(guān)于x的方程一元一次方程的應(yīng)用思考：1、將一個底面直徑和高均為4m的圓柱形水箱，將其底面直徑減少為3.2m，那么水箱增高多少米？2、等量關(guān)系：(圓柱的體積=

)3、如何根據(jù)等量關(guān)系列出方程？舊水箱的容積=新水箱的容積sh=πr2h舊水箱新水箱底面半徑/m高/m容積/m3

21.6

4

x

π×22×4等量關(guān)系：舊水箱的容積=新水箱的容積根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：解得：x=6.256.25因此，高變成了

米

列方程時，

關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系.點撥：π×1.62×xπ×22×4=π×1.62×x

解：設(shè)水箱的高變?yōu)閤米，我們可以把方程看做實際問題的一個數(shù)學(xué)模型.

用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形.（1）使得這個長方形的長比寬多1.4米，此時長方形的長、寬各為多少米？解：設(shè)此時長方形的寬為x米，x+x+1.4=10÷22x=3.6x=1.8長方形的長為1.8+1.4=3.2∴長方形的長為3.2米，寬為1.8米則它的長為(x+1.4)米，根據(jù)題意，得(2)使得該長方形的長比寬多0.8米，此時長方形的長、寬各為多少米？它所圍成的長方形與（1）中所圍成的長方形相比、面積有什么變化？解：設(shè)此時長方形的寬為x米，x+x+0.8=10÷22x=4.2x=2.1長方形的長2.1+0.8＝2.9則它的長為（x+0.8）米，根據(jù)題意，得∴長方形的長為2.9米，寬為2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米2，（1）中的長方形圍成的面積：3.2×1.8＝5.76米2比（1）中面積增大6.09－5.76＝0.33米2xx+0.8(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少米？它所圍成的面積與(2)中相比又有什么變化？解：設(shè)此時正方形的邊長為x米，根據(jù)題意，得x+x=10÷2x=2.5比（1）中面積增大6.25－6.09＝0.16米2x正方形的邊長為2.5米，S=2.5×2.5＝6.25米2

同樣長的鐵絲圍成怎樣的四邊形面積最大呢？面積：1.8×

3.2=5.76面積：2.9×2.1=6.09面積：2.5×2.5=6.25

圍成正方形時面積最大比較小亮求出50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)后，粗心地把這個平均數(shù)和原來的50個數(shù)據(jù)混寫在一起，成為51個數(shù)據(jù)，忘記哪個是平均數(shù)了.如果這51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)恰好為51，那么原來的50個平均數(shù)是多少？解：設(shè)原來的50個平均數(shù)為x，則可列方程50x+x=51×51，解得x=51.所以原來的50個平均數(shù)是51.解：設(shè)每千克蘋果的售價是x元.根據(jù)題意，得5x+2×2x=30-3.解這個方程，得

x=3.答：每千克蘋果的售價是3元.列方程解應(yīng)用題：1.小瑩用30元錢買了5千克蘋果和2千克香蕉，找回3元.已知每千克香蕉的售價是每千克蘋果售價的2倍，每千克蘋果的售價是多少元？2.在一次競賽中有A，B兩組題，大剛平均1分鐘做4道A組題，4分鐘做1道B組題.他用了100分鐘做了100道題，大剛做了多少道A組題？（1）這個問題中的已知量是什么？未知量是什么？（2）選取問題中的一個未知量并用x表示，利用表格表示出其他的未知量；（3）題目中的等量關(guān)系是什么？（4）列出方程并給出解答.解：（1）已知量：平均1分鐘做4道A組題，4分鐘做1道B組題，100分鐘做了100道題

未知量：A組題的道數(shù)及用得時間，B組題的道數(shù)及用得時間（2）設(shè)做A組題用了x分鐘，則A組題/分鐘B組題/分鐘x100-x（3）A組題道數(shù)+B組題道數(shù)=總共100道題（4）根據(jù)題意，得4x+

（100-x）=100解這個方程，得

x=204×20=80（道）答：大剛做了80道A組題.6人圍坐成一圈，每人心中想一個數(shù)，并把這個數(shù)告訴左、右相鄰的人.然后每個人把左、右兩個相鄰的人告訴自己的數(shù)的平均數(shù)亮出來（如圖）.問：亮出平均數(shù)是11的人原來心中想的數(shù)是多少？解：設(shè)亮11的人心里想的是x，那么亮9的人心里想的數(shù)就是7×2-x=14-x；亮8的人心里想的數(shù)就是10×2-x=20-x，亮9和8中間的人報的數(shù)是4，所以：

14-x+20-x=4×2，

34-2x=8，

2x=26，

x=13.

答：亮出11的人原來心中想的數(shù)是13．列方程解應(yīng)用題：1.大小兩臺拖拉機(jī)共耕了5公頃土地.已知大拖拉機(jī)的效率是小拖拉機(jī)的1.5倍，兩臺拖拉機(jī)各耕地多少公頃？解：設(shè)小拖拉機(jī)耕地x公頃.根據(jù)題意得

1.5x+x=5解得x=2

5-x=3答：小拖拉機(jī)耕地2公頃，大拖拉機(jī)耕地3公頃.2.水上公園某一天共售出門票128張，收入912元.門票價格為成人每張10元，學(xué)生可享受六折優(yōu)惠.這一天出售的成人票與學(xué)生票各多少張？解：設(shè)這一天出售的成人票x張，那么學(xué)生票售出（128-x）張.根據(jù)題意得

10x+10×60%（128-x）=912解得x=36

128-x=92答：這一天出售的成人票36張，學(xué)生票92張.小明每天早上要在7:50分之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué).一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明.小明的爸爸能追上小明嗎？情景引入

（1）爸爸追上小明用了多少時間？（2）

追上小明時距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？思考：分析：設(shè)經(jīng)x分鐘后爸爸追上小明；

時間

速度

路程

小明小明爸爸等量關(guān)系:

小明走的路程=爸爸走的路程80(5+x)米180x米80米/分鐘180米/分鐘(5+x)分鐘x分鐘解：(1)設(shè)經(jīng)x

分鐘后爸爸追上小明，根據(jù)題意，得180x=80×5+80x

解方程得：x=4(2)1000－180×4=280（米）答：爸爸追上小明用了4分鐘，此時離學(xué)校還有280米.

①追及問題：

男跑路程AC－女跑路程BC＝相距路程AB②相遇問題：

男跑路程AC＋女跑路程BC＝相距路程ABABCABC行程問題

解決路程問題的關(guān)鍵是什么？找出等量關(guān)系的重要方法是：找出等量關(guān)系，列出方程.畫線段圖.

列方程解應(yīng)用題：

1.甲、乙兩人從相距1200米的兩地同時出發(fā)，相向而行.甲每分鐘行70米，乙每分鐘行50米，多少時間后兩人相遇？解：設(shè)兩人x分鐘后相遇，依題意可得

70x+50x=1200

解得x=10

答：10分鐘后兩人相遇.

2.一隊學(xué)生從學(xué)校出發(fā)去郊游，以4千米/時的速度步行前進(jìn).學(xué)生出發(fā)時后，一位老師騎摩托車從原路經(jīng)時趕上學(xué)生.求摩托車的速度.解：設(shè)摩托車的速度為x千米/時，依題意可得

x=4×（+

）

解得x=28

答：摩托車的速度為28千米/時.

列方程解應(yīng)用題：1.點燃兩支等長的蠟燭，第一支4小時燃盡，第二支3小時燃盡.同時點燃兩支蠟燭，幾小時后第一支蠟燭剩余的高度是第二支蠟燭剩余高度的2倍？解：設(shè)x小時后第一支蠟燭剩余的高度是第二支蠟燭剩余高度的2倍.根據(jù)題意，得

1-

x=2(1-

x).解這個方程，得

x=2.4.答：2.4小時后第一支蠟燭剩余的高度是第二支蠟燭剩余高度的2倍.2.維修一段管道，師傅單獨維修需4小時完成，徒弟單獨維修需6小時完成.如果徒弟先修30分鐘，再與師傅一塊維修，還需多少時間完成？解：設(shè)還需x小時完成.根據(jù)題意，得

×

+(+)x=1.解這個方程，得

x=2.2.答：還需2.2小時完成.1、500元的9折價是______元，x折是_______元.2、某商品的每件銷售利潤是72元，進(jìn)價是120，則售價是__________元.3、某商品利潤率13﹪，進(jìn)價為50元，則利潤是

________元.試一試?yán)麧?售價－進(jìn)價打x折的售價=利潤率=進(jìn)價利潤原價×4501926.5例.一家商店將服裝按成本價提高40%后標(biāo)價，又以8折（即按標(biāo)價的80%）優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？仔細(xì)審題！[分析]：若設(shè)每件衣服的成本價為x元，

那么每件衣服標(biāo)價為__________元；每件衣服的實際售價為______________元；每件衣服的利潤為__________________元.由此，列出的方_____________________解方程，得x=______因此每件服裝的成本____元.(1+40%)x(1+40%)·x·80%(1+40%)·x·80%－x(1+40%)·x·80%－x=15125125進(jìn)價、售價、利潤和利潤率之間的關(guān)系是：商品利潤=商品售價–商品進(jìn)價商品的利潤率=商品售價–商品進(jìn)價商品進(jìn)價1、進(jìn)價為50元的商品，老板以60元的價格出售，其中的利潤是___元.2、某商品進(jìn)價為500元，標(biāo)價是800元，若打8折出售，則售價是____元，利潤是________元，利潤率是____.3、一件商品，進(jìn)價是200元，提高40﹪標(biāo)價，則標(biāo)價是_