理學導數(shù)概念

微分學導數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度是描述物質(zhì)運動的工具(從微觀上研究函數(shù))

微分概念的產(chǎn)生是為了描述曲線的切線和運動質(zhì)點速度,微積分分為微分學與積分學兩部分.更一般地說,是為了描述變化率的概念,這一概念打開了通向數(shù)學知識與真理的巨大寶庫之門.由牛頓—萊布尼茲定理聯(lián)系著.

微積分的系統(tǒng)發(fā)展通常歸功于兩位偉大的科學先驅(qū)——

這一系統(tǒng)發(fā)展的關(guān)鍵在于認識到,過去是一直是分別研究的微分和積分這兩個過程是彼此互逆的兩個過程,

公正的歷史評價,他倆的巨大成就也是建立在幾百年中作出一點一滴貢獻的許多人的工作基礎(chǔ)之上的.牛頓和萊布尼茲.17世紀后出現(xiàn)的微積分,在數(shù)學鄰域中占據(jù)著主要的地位.它非常成功地運用了無限過程的運算,即極限運算.茲的工作才使得微積分成為了一門獨立的十幾位最偉大的數(shù)學家和幾十位其它只是通過牛頓和萊布尼事實上,微積分問題至少被17世紀數(shù)學家探索過,的科學.

今天,微積分的思想和方法不僅獲得了廣泛的應(yīng)用,學的重要支柱.而且微積分也成了數(shù)學科本章主要內(nèi)容高階導數(shù)導數(shù)概念求導法則隱函數(shù)求導

函數(shù)微分引例導數(shù)的定義導數(shù)的幾何意義可導與連續(xù)的關(guān)系求導舉例第一節(jié)導數(shù)的概念例1直線運動的瞬時速度問題一質(zhì)點作直線運動,已知路程s與時間t的試確定t0時刻的瞬時速度v(t0).

這段時間內(nèi)的平均速度在每個時刻的速度.解若運動是勻速的,平均速度就等于質(zhì)點一、引例關(guān)系質(zhì)點走過的路程為,0tt?從時刻并稱之為t0時的瞬時速度v(t0).若運動是非勻速的,平均速度就是這段時間內(nèi)運動快慢的平均值,

越接近它越近似表明t0時刻運動的快慢.因此,人們把t0時的速度定義為例2割線的極限位置——對于一般曲線如何定義其切線呢?曲線的切線斜率問題若已知平面曲線如何作過的切線呢？

初等數(shù)學中并沒有給出曲線切線的定義.過該點的切線.我們知道與圓周有唯一交點的直線即為圓周但此定義不適應(yīng)其它曲線.如與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線.切線位置.曲線上點法國數(shù)學家費馬1629年提出了如下的定義和求法,從而圓滿地解決了這個問題.處切線的斜率.已知曲線的方程確定點MN為割線，當點N在曲線上趨于點M時,現(xiàn)在來解決以下問題：則MT為點M處的如圖,MN旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,切線.割線MN的斜率為切線MT的斜率為0limxx?

就其實際意義來說各不相同,關(guān)系上有如下的共性:但在數(shù)量計算方法上,上述兩例,分別屬于運動學、幾何學中的問題,均需要做以下極限運算：令上述極限可以寫為或定義函數(shù)與自二、導數(shù)的定義之比為變量的增量xD中的任何一個表示,存在,如或或有導數(shù).可用下列記號則稱此極限值為處不可導或?qū)?shù)不存在.特別當(1)式的極限為有時也說在x0處導數(shù)是正(負)無注要注意導數(shù)定義可以寫成多種形式:當極限(1)式不存在時,就說函數(shù)f(x)在x0在利用導數(shù)的定義證題或計算時,正(負)無窮時,窮大,但這時導數(shù)不存在.關(guān)于導數(shù)的說明或令(1)點導數(shù)是函數(shù)在點x0處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率.則無論何種形式，其本質(zhì)在于(1)函數(shù)增量與自變量增量之比；(2)變化過程為自變量增量趨近于零.例第86頁1，2題邊際概念是與導數(shù)密切相關(guān)的經(jīng)濟學概念,(2)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間

I內(nèi)的每點處都可導,就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導.注記作即或(3)對于任一都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導數(shù)值.叫做原來函數(shù)f(x)的導函數(shù).函數(shù)在某點的導數(shù)就是導函數(shù)在這點的函數(shù)值導函數(shù)是一個函數(shù)，它是x與f(x)的導數(shù)間的對應(yīng)，導函數(shù)也簡稱為導數(shù).上述的求極限過程中，誰是變量？從而確定了一個以x為自變量，以導數(shù)值為因變量的新的函數(shù).例解三、求導舉例(幾個基本初等函數(shù)的導數(shù))

步驟

即例解更一般地如即以后證明！例解即同理可得課后練習！例解即第一章第9節(jié)例7！例解即或利用第一章第9節(jié)例6！例解即左右極限雖然存在，但是不相等.是否可導取決于是否存在單側(cè)導數(shù)存在而且相等，由導數(shù)定義存在的充分必要條件為和分別稱為f(x)在x0處的左導數(shù)和右導數(shù)，記為左右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù).處的可導性.此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在分段點如果在開區(qū)間內(nèi)可導,都存在,比如f(x)=|x|在x=0處所以在此點不可導.極限存在的充要條件為左右極限存在且相等.特別地:即四、導數(shù)的幾何意義由引例2(切線問題)，切線的斜率就是極限值))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在點則曲線若==￠;軸的切線平行于Ox例解得切線斜率為所求切線方程為法線方程為由導數(shù)的幾何意義,即即五、可導與連續(xù)的關(guān)系即函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系所以,該點必連續(xù).結(jié)論：如果函數(shù)則函數(shù)在在點x處可導,如,該命題的逆命題不一定成立.注連續(xù)是可導的必要條件,不是可導的充分條件.例討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性和可導性.解在x=0處的連續(xù)性是顯然的.但在x=0處，由于所以是不可導的.