概率論第二章練習(xí)答案解析

./《概率論》第二章練習(xí)答案一、填空題：1．設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f<x>=則用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)的觀察中事件<X≤>出現(xiàn)的次數(shù),則P〔Y＝2＝。2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：ax+b0<x<1f<x>=0其他且EX＝,則a=_____-2___________,b=_____2___________。3.已知隨機(jī)變量X在[10,22]上服從均勻分布,則EX=16,DX=124.設(shè)5.已知X的密度為P〔=P<X>>,則=,b=聯(lián)立解得：6．若f<x>為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度,則＿＿1＿＿＿＿。7.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù),則 P〔ξ=0.8=0；=0.99。8.某型號(hào)電子管,其壽命〔以小時(shí)記為一隨機(jī)變量,概率密度＝,某一個(gè)電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管,則電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率為＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。x≥100∴<x>=0其它P〔≥150=1－F<150>=1－[P<≥150>]3=<>3=9.設(shè)隨機(jī)變量X服從B〔n,p分布,已知EX＝1.6,DX＝1.28,則參數(shù)n＝___________,P＝_________________。EX=np=1.6DX=npq=1.28,解之得：n=8,p=0.210.設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為〔2,p的二項(xiàng)分布,Y服從參數(shù)為〔4,p的二項(xiàng)分布,若P〔X≥1＝,則P〔Y≥1＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。解：11.隨機(jī)變量X～N〔2,2,且P〔2＜X＜4=0.3,則P〔X＜0=＿＿0.2＿＿＿12.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則數(shù)學(xué)期望=___4/3________13.已知離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,則隨機(jī)變量Z=3X－2的期望E<Z>＝3EX-2=3x2-2=4。14．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,且P<X=1>=P<X=2>則E<X>=__2_______.D<X>=__2___________.∴15.若隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)λ=0.05的指數(shù)分布,則其概率密度函數(shù)為：；Eξ=20；Dξ=400。16.設(shè)某動(dòng)物從出生活到10歲以上的概率為0.7,活到15歲以上的概率為0.2,則現(xiàn)齡為10歲的這種動(dòng)物活到15歲以上的概率為17.某一電話站為300個(gè)用戶服務(wù),在一小時(shí)內(nèi)每一用戶使用電話的概率為0.01,則在一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率為P3<4>=0.168031解：一小時(shí)內(nèi)使用電話的用戶數(shù)服從的泊松分布18通常在n比較大,p很小時(shí),用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式,其期望為,方差為19．,則＝＿1.8＿＿＿＿,＝＿＿4＿＿＿＿?！矊標(biāo)準(zhǔn)化后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表二、單項(xiàng)選擇：1．設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f<x>=4x3,0<x<1f<x>=其他則使P<x>a>=P<x<a>成立的常數(shù)a=<A>〔其中0<a<1A． B． C． D．1－解：根據(jù)密度函數(shù)的非負(fù)可積性得到：2．設(shè)F1〔X與F2〔X分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù),為使F〔X＝aF1<x>－bF2<x>是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),在下列給它的各組值中應(yīng)取〔AA．a(chǎn)=,b=－ B．a(chǎn)=,b=C．a(chǎn)=－,b= D．a(chǎn)=,b=－F<+>=aF1<+>-BF2<+>=13.已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F〔x=A+Barctgx,則：〔BA、A=B=B、A=B=C、A=B=D、A=B=解：要熟悉arctgx的圖像4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個(gè)可能值X1和X2,而且X1<X2,X取值X1的概率為0.6,又已知E〔X＝1.4,D〔X＝0.24,則X的分布律為 〔A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4①1.4=EX=0.6X1+0.4X2②DX=EX2-<EX>2聯(lián)系①、②解得X1=1,X2=25．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券,其中8張為2元,2張為5元,今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張,則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望為 〔A．6元 B．12元 C．7.8元 D．9元設(shè)表示得獎(jiǎng)金額,則其分布律為：6〔3張2元的9〔2張2元,1張5元的12〔1張2元,2張5元的P故期望值為：7.86.隨機(jī)變量X的概率分布是：X1234Pab則：〔DA、a=,b=B、a=,b=C、a=,b=D、a=,b=7.下列可作為密度函數(shù)的是：〔BA、B、C、D、依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案8.設(shè)X的概率密度為,其分布函數(shù)F〔,則〔D成立。A、B、C、PD、P9.如果,而,則P〔=〔CA、B、C、0.875D、10.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿區(qū)間＿＿＿＿＿＿,那么Sinx可以作為一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。 〔BA．[0,] B．[0.5,] C．[0,1.5] D．[,1.5]依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案11.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5%,每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽5個(gè)檢驗(yàn),記X為出現(xiàn)次品的個(gè)數(shù),則E<X>為＿＿＿＿。〔DA．0.75 B．0.2375 C．0.487 D．0.25此題X服從二項(xiàng)分布b<5,0.05>,EX=np=5*0.05=0.2512.設(shè)X服從二項(xiàng)分布,若〔n＋1P不是整數(shù),則K取何值時(shí),P〔X＝K最大？ 〔DA．K＝〔n＋1P B．K＝〔n＋1P－iC．K＝nPD．K＝[〔n＋1P]解：根據(jù)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似知,當(dāng)X接近于EX=np時(shí)取到最大值,由于〔n＋1P不是整數(shù),因此需要尋找最接近np的整數(shù)。13．設(shè)X服從泊松分布,若不是整數(shù),則K取何值時(shí),P〔X＝K最大？ 〔BA． B．[] C．－1 D．＋1解：根據(jù)二項(xiàng)分布的泊松近似,以及泊松分布的正態(tài)近似知：當(dāng)EX=時(shí)取到最大值,因?yàn)椴皇钦麛?shù),而K必須為整數(shù),因此需要對(duì)取整14.,Y=2X－1,則Y~〔CA、N〔0,1B、N〔1,4C、N〔-1,4D、N〔-1,315.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,則其標(biāo)準(zhǔn)差為：〔CA．2 B．1/4 C．1/2 D．隨機(jī)變量的參數(shù)為2,即方差為1/4,標(biāo)準(zhǔn)差則為1/216．當(dāng)滿足下列〔條件時(shí),二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布更準(zhǔn)確?！睤A．n〔二項(xiàng)分布的泊松近似B．C．D．17.設(shè)～,已知,,則和的概率分別為[C]A.0.0228,0.1587B.0.3413,0.4772C.0.1587,0.0228D.0.8413,0.97725三、計(jì)算題：1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是連續(xù)型函數(shù),其密度函數(shù)為：f<x>=AX0＜X≤1f<x>=B－X1＜X≤2其它試求：〔1常數(shù)A、B。〔2分布函數(shù)F〔x〔3P〔＜解：〔1由X為連續(xù)型隨機(jī)變量,①同時(shí)：②①、②式聯(lián)系解得：A=1,B=2〔2當(dāng);當(dāng);當(dāng)x>2時(shí),F<x>=1.〔32.設(shè)已知X~=,求：①P〔②F〔解：①②③3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：ax0<x<2f<x>=cx+b2≤x≤4其他已知EX＝2,P〔1<X<3＝,求a、b、c的值解：〔1①②③4．假定在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X〔單位：t,已知X服從[2000,4000]上的均勻分布,設(shè)每出售這種商品1t,可為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)元,但假如銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù),則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元,問(wèn)應(yīng)組織多少貨源,才能使國(guó)家的收益最大？解：Y：每年該商品的出口量R：收益 X的密度函數(shù)：-,∴y=3500時(shí),利益最大5．設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間[10,30]上均勻分布,而經(jīng)銷商店進(jìn)貨量為[10,30]中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元,若供大于求,則削價(jià)處理,每處理一單位商品虧損100元,若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)一單位商品僅獲利300元,為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元,試確定最小進(jìn)貨量？解：設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤(rùn)為：即：-7.52+350+5250≥9280解得：20≤≤26∴取最小=21上式：6.某高級(jí)鏡片制造廠試制成功新鏡頭,準(zhǔn)備出口試銷,廠方的檢測(cè)設(shè)備與國(guó)外的檢測(cè)設(shè)備仍有一定的差距,為此,廠方面臨一個(gè)決策問(wèn)題：①直接進(jìn)口,②租用設(shè)備,③與外商合資。不同的經(jīng)營(yíng)方式所需的固定成本和每件的可變成本如表：自制進(jìn)口租賃合資固定成本〔萬(wàn)元1204064200每件可變成本〔元601008040已知產(chǎn)品出口價(jià)為200元/件,如果暢銷可銷3.5萬(wàn)件,中等可銷2.5萬(wàn)件,滯銷只售0.8萬(wàn)件,按以往經(jīng)驗(yàn),暢銷的可能性為0.2,中等的為0.7,滯銷的為0.1,請(qǐng)為該廠作出最優(yōu)決策。解：設(shè)銷量,,,,銷量暢銷3.5萬(wàn)件中等銷售2.5萬(wàn)件滯銷0.8萬(wàn)件概率0.20.70.1最優(yōu)決策的含義是：利潤(rùn)最大化總成本=固定成本+銷售量*可變成本為最優(yōu)方案,即租用設(shè)備。7.某書店希望訂購(gòu)最新出版的好書,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),新書銷售量規(guī)律如下：需求量〔本50100150200概率20%40%30%10%假定每本新書的訂購(gòu)價(jià)為4元,銷售價(jià)為6元,剩書的處理價(jià)為2元,試確定該書店訂購(gòu)新書的數(shù)量。解：分析：當(dāng)訂貨量大于需求量時(shí),則多出的每本處理后虧損2元；當(dāng)訂貨量小于需求量的時(shí)候,則賣出去一本就可以獲利2元。針對(duì)不同的需求量和訂貨量的收益表如下：訂需求量y收益50100150200概率y150y2100y3150y42000.20.40.30.11001001001000200200200-100100300300-2000200400故訂100本較合理。8.若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率是已知EX＝0.5,DX＝0.15,求系數(shù)a,b,c。解：解方程組得：9.五件商品中有兩件次品,從中任取三件。設(shè)ξ為取到的次品數(shù),求ξ的分布律、數(shù)學(xué)期望和方差。解：ξ的分布律為ξ012P1/106/103/10Eξ=1.2；Dξ=0.3610.某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語(yǔ)成績(jī)〔百分制近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)72分,96分的以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率。解：X~N〔72,2s 即：11.假設(shè)一電路有3個(gè)不同種電氣元件,其工作狀態(tài)相互獨(dú)立,且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布,當(dāng)三包元件都無(wú)故障時(shí),電路正常工作,否則整個(gè)電路不能正常工作,試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。解：設(shè)Xi表示第i個(gè)電氣之元件無(wú)故障工作的時(shí)間,i=1,2,3,則X1X2X3獨(dú)立且同分布,分布函數(shù)為：設(shè)G〔t是T的分布函數(shù)。當(dāng)t<0時(shí),G〔t=012.設(shè)從一批材料中任取一件測(cè)出這種材料的強(qiáng)度X~N〔200,18,求：①取出的該材料的