3.1 橢圓（練習(xí)） - 解析版

33.1橢圓（練習(xí)）解析第頁3.1橢圓（練習(xí)）解析一．單項選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，則A． B． C． D．【答案】B【解析】橢圓的方程整理可得：，由題意得，，，所以．故選B．2．已知橢圓的一個焦點為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，因為，所以，即，所以離心率．故選C．已知橢圓的左、右焦點為，，離心率為，過的直線交橢圓于、兩點．若的周長為，則橢圓的方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得的周長為，所以．又離心率，所以，所以．因此所求橢圓的方程為．故選B．4．已知，是是橢圓的兩個焦點，點是橢圓上一點，若，則的面積為A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，，，所以，所以，．因為，所以，解得．所以的面積為．故選A．5．若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，，設(shè)點，則有，解得，因為，又，所以當(dāng)時，取得最小值為．故選D．6．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，分別代入橢圓方程相減得，即．又，且，所以得，所以，所以．故選C．二、填空題7．直線與橢圓的公共點個數(shù)為．【答案】【解析】由，即，可得直線恒過定點，又，所以點在橢圓內(nèi)，故直線必與橢圓相交．8．已知中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓經(jīng)過點和點，則該橢圓的方程為：．【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以該橢圓的方程為．9．橢圓上的點到直線的最大距離為：．【答案】【解析】設(shè)，則點到直線的距離．因為，所以，所以，即．10．已知，分別是橢圓的上，下焦點，若橢圓上存在四個不同點，使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍為_________．【答案】【解析】因為橢圓的焦點在軸上，所以，所以的面積的最大值為．因為橢圓上存在四個不同點，使得的面積為，所以，解得，所以，即，故橢圓的離心率的取值范圍是．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，且過點，橢圓上一點到兩焦點，的距離之差為．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】解法一：（1）依題意，有，即，所以．又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知：，又由橢圓上一點到兩焦點，的距離之差為，不妨設(shè)，則有，解得，．又，所以，即為直角三角形所以的面積．解法二：（1）因為橢圓的的左、右焦點分別為，，所以，所以．又點橢圓上，所以，即，所以，即，解得，或（舍去）．因此該橢圓的方程為．（2）同解法一．12．已知為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點．（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：．【答案】（1）或；（2）詳見解析．【解析】（1）由已知得，的方程為．那么點的坐標(biāo)為或，所以的方程為或．（2）當(dāng)與軸重合時，．當(dāng)與軸垂直時，為的垂直