基于STM32的紅外遙控和觸屏控制的MP3播放器

一種改進的求解分數(shù)階微分方程的預(yù)估-校正法及其應(yīng)用指導(dǎo)教師：虞繼敏教授項目成員：王臣武衛(wèi)紅匡春華參賽時間：2014.111.引言

分數(shù)階微積分理論的研究己有300多年,但由于缺乏有效的應(yīng)用背景，長期以來發(fā)展緩慢。在過去的近3個世紀里，分數(shù)階微積分理論主要應(yīng)用在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，且其存在性也備受爭議。1983年Mandelbort首次報道了自然界存在大量分數(shù)維數(shù)的事實，此后分數(shù)階微積分理論才得到真正的發(fā)展，并成為當(dāng)前非線性科學(xué)的研究熱點。因為分數(shù)階系統(tǒng)可以更精準地描述出系統(tǒng)的特性，而且能真正地體現(xiàn)出系統(tǒng)的實際物理特性。在整數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)上,眾多學(xué)者將分數(shù)階微分算子引入系統(tǒng)中,發(fā)現(xiàn)當(dāng)階數(shù)為分數(shù)時,系統(tǒng)仍表現(xiàn)出復(fù)雜的混沌行為由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性和潛在的應(yīng)用價值,對其動力學(xué)特性及其應(yīng)用研究引起了人們的廣泛關(guān)注。而KaiDiethelm等在2003年提出的預(yù)估-校正算法是目前比較成熟的求解分數(shù)階微分方程數(shù)值求解方法。本文的工作主要就是對KaiDiethelm提出的預(yù)估-校正法做出改進，給出詳細的證明過程，在第3節(jié)，給出一個數(shù)值例子來驗證改進的預(yù)估-校正法在誤差上的優(yōu)勢，在第4節(jié)，分別用改進的預(yù)估-校正法和KaiDiethelm的預(yù)估-校正法去尋找出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)的最小維數(shù)。1.改進的預(yù)估-校正法首先分數(shù)階微積分的定義不盡相同，其中主流的定義有三種，分別Riemann-Liouville定義（RL），Grunwald-Letnikov定義（GL）和Caputo定義，本文采用的是Caputo定義，其表達形式如下3.數(shù)值例子

在本節(jié)中，我們將給出一個具體的數(shù)值例子，計算并分析兩種方法的誤差，來證明改進的預(yù)估-校正法的精確性。數(shù)值例子如下：其中有且。這個具有初始值問題的方程存在解析解，其解為。我們選取一個正整數(shù)，令。我們有如下定義：

，為在

時的解析解，同理為在時用預(yù)估-校正法求得的數(shù)值解，

為時用改進的預(yù)估-校正法求得的數(shù)值解。且兩種方法求得的數(shù)值解的誤差定義為：

，和其中步長的取值分別為1/100,1/2