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山東省青島市鐵路職工子弟第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列兩個(gè)命題:命題p::若在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則|MA|≤1的概率為.命題q:設(shè),是兩個(gè)非零向量,則“=||”是“與共線”的充分不必要條件,那么,下列命題中為真命題的是()A.p∧q B.¬p C.p∧(¬q) D.(¬p)∨(q)參考答案:C【考點(diǎn)】2E:復(fù)合命題的真假.【分析】推導(dǎo)出命題P是真命題,命題q是假命題,從而得到p∧(¬q)是真命題.【解答】解:命題p:若在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則|MA|≤1的概率為p==.,∴命題P是真命題;∵設(shè),是兩個(gè)非零向量,則“=||”是“與共線”的不充分不必要條件,∴命題q是假命題,∴p∧(¬q)是真命題.故選:C.2.拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體,在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體,使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊,則此正方體的體積是
(A)1
(B)8
(C)
(D)參考答案:3.若,則下列不等式成立的是A. B. C. D.參考答案:A略4.P是雙曲線﹣=1(a>0,b>0)上的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn),且=0,若△F1PF2的面積是9,a+b=7,則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.參考答案:B5.函數(shù)的最小正周期為()A.
B.
C.
D.參考答案:答案:B解析:選B.6.用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值,設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),則f(x)的最大值為()A.4 B.5 C.6 D.7參考答案:C【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.
【專題】計(jì)算題.【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個(gè)函數(shù)y=10﹣x,y=x+2,y=2x的圖象,以此作出函數(shù)f(x)圖象,觀察最大值的位置,通過求函數(shù)值,解出最大值.【解答】解:10﹣x是減函數(shù),x+2是增函數(shù),2x是增函數(shù),令x+2=10﹣x,x=4,此時(shí),x+2=10﹣x=6,如圖:y=x+2與y=2x交點(diǎn)是A、B,y=x+2與y=10﹣x的交點(diǎn)為C(4,6),由上圖可知f(x)的圖象如下:C為最高點(diǎn),而C(4,6),所以最大值為6.故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值問題.利用了數(shù)形結(jié)合的方法.關(guān)鍵是通過題意得出f(x)的簡(jiǎn)圖.7.一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示,則它的體積為(
)A.
B.
C.
D.1
參考答案:B略8.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:C9.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是()A.[5,7] B.(5,7) C.(5,7] D.[5,7)參考答案:D【考點(diǎn)】7B:二元一次不等式(組)與平面區(qū)域.【分析】根據(jù)已知的不等式組畫出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形情況分類討論,不難求出表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形時(shí)a的取值范圍.【解答】解:滿足約束條件的可行域如下圖示由圖可知,若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是:5≤a<7故選D.10.若函數(shù)f(x)=,方程f[f(x)]=a只有四個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(2+ln2,e) B.(e,2+ln3) C.(2+ln2,3) D.(3,2+ln3)參考答案:D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷;函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用分段函數(shù)求出方程左側(cè)的表達(dá)式,畫出函數(shù)的圖象,利用兩個(gè)函數(shù)的圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù),求出的范圍.【解答】解:f[f(x)]==,畫出函數(shù)y=f[f(x)]與y=a的圖象,因?yàn)榉匠蘤[f(x)]=a只有四個(gè)不同的實(shí)根,函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有4個(gè),可知a∈(3,2+ln3).故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與求法,考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在一次體育水平測(cè)試中,甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加,其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試,給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.參考答案:②③【分析】根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例,故①不正確;因?yàn)榧滓覂尚5哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故②正確;因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例,故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系,故③正確.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.12.已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)M(﹣1,1),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)k的值為
.參考答案:2考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題:向量與圓錐曲線.分析:由已知可求過A,B兩點(diǎn)的直線方程為y=k(x﹣1),然后聯(lián)立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由,代入整理可求k.解答: 解:∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),∴過A,B兩點(diǎn)的直線方程為y=k(x﹣1),聯(lián)立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,∵M(jìn)(﹣1,1),∴=(x1+1,y1﹣1),=(x2+1,y2﹣1),∵,∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,∴1=0,即k2﹣4k+4=0,∴k=2.故答案為:2.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用,解題的難點(diǎn)是本題具有較大的計(jì)算量.13.已知a>0,(x–)6的二項(xiàng)展開式中,常數(shù)項(xiàng)等于60,則(x–)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為
(用數(shù)字作答).參考答案:1
【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.J3解析:∵a>0,(x–)6的二項(xiàng)展開式中,常數(shù)項(xiàng)等于60,∴通項(xiàng)Tr+1=C6r(﹣a)rx6﹣3r,當(dāng)6﹣3r=0時(shí),r=2,常數(shù)項(xiàng)是C6r(﹣a)r=60∴a=2,令x=1,得到二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和是1,故答案為:1.【思路點(diǎn)撥】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng),令x的指數(shù)等于0,求出r的值,給x賦值,做出二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和.14.已知數(shù)列滿足,且對(duì)任意的正整數(shù)都有,若數(shù)列的前項(xiàng)和為,則=
。參考答案:。由已知對(duì)任意的正整數(shù)都有,則,故,因此數(shù)列是,公比為的等比數(shù)列。所以。15.不等式的解集為
。參考答案:略16.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則(Ⅰ)平均命中環(huán)數(shù)為__________;
(Ⅱ)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為__________.參考答案:(Ⅰ)7,(Ⅱ)2略17.在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù),使得不等式成立的概率為
.參考答案:
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)E(2,0),且在y軸上截得的弦PQ的長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;(2)設(shè)A,B是軌跡C上的兩點(diǎn),且,F(xiàn)(1,0),記S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.參考答案:【考點(diǎn)】KN:直線與拋物線的位置關(guān)系;J3:軌跡方程.【分析】(1)設(shè)M(x,y),PQ的中點(diǎn)N,連MN,由|PM|=|EM|,可得|MN|2+|PN|2=|EM|2,即可求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;(2)證明直線AB也經(jīng)過點(diǎn)E(2,0).表示出S,利用基本不等式,即可求S的最小值.【解答】解:(1)設(shè)M(x,y),PQ的中點(diǎn)N,連MN,則:|PN|=2,MN⊥PQ,∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2∴x2+4=(x﹣2)2+y,整理得y2=4x.(2)設(shè),,不失一般性,令y1>0,則,∵,∴,解得y1y2=﹣8③直線AB的方程為:,(y1≠﹣y2),即,令y=0得x=2,即直線AB恒過定點(diǎn)E(2,0),當(dāng)y1=﹣y2時(shí),AB⊥x軸,,.直線AB也經(jīng)過點(diǎn)E(2,0).∴.由③可得,∴S==.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程,考查直線過定點(diǎn),考查三角形面積的計(jì)算,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,證明:.參考答案:(1)由已知1,,成等差數(shù)列,得…①當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),…②,①②兩式相減得,所以,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以.(2)由(1)得,所以,因?yàn)?,,所以,即證得.20.已知向量,函數(shù).(Ⅰ)若,求cos2θ的值;(Ⅱ)若,求函數(shù)f(x)的值域.參考答案:【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象.【專題】函數(shù)思想;綜合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】(I)化簡(jiǎn)f(x),根據(jù)求出sinθ,代入二倍角公式;(II)根據(jù)x的范圍求出2x﹣的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出.【解答】解:(Ⅰ),∴f()=2sin(θ+π)=﹣2sinθ=,∴sinθ=﹣.∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=.(Ⅱ)由,則,∴當(dāng)2x﹣=﹣時(shí),f(x)取得最小值﹣,當(dāng)2x﹣=時(shí),f(x)取得最大值2.∴f(x)的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和求值,利用三角函數(shù)公式對(duì)f(x)化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.21.已知函數(shù)為奇函數(shù)。(I)證明:函數(shù)在區(qū)間(1,)上是減函數(shù);(II)解關(guān)于
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