第七講干預分析模型預測法

教學內(nèi)容批注傳遞函數(shù)模型與干預變量分析時間序列真的僅僅受本身滯后值影響嗎？在單變量時間序列中，我們假設(shè)系統(tǒng)輸出僅僅受既往值和隨機干擾項的影響。但實際應用中，可能還有其他與之相關(guān)的時間序列，那么如何將其它的變量引入時間序列模型是一個值得討論的問題。設(shè)表示某種商品在一段時間的銷售額，由于經(jīng)濟時間序列通常有記憶性，可以用一個ARMA模型來描述其變化規(guī)律，假定其變化規(guī)律的表達式為但是在許多實際情況下，銷售額不僅僅受自己滯后值的影響，還會受其它一些輸入變量的影響。我們考慮廣告費，廣告費對銷售額的影響不僅具有即期影響還具有一定的滯后效應，假定其滯后的影響是一期，那么在上式中就應加入廣告費的當期和滯后一期的值，如果廣告費的即期影響效用是0.55，滯后一期值對銷售額的影響效用是0.60，則這個簡單的輸出和輸入關(guān)系為如果上式是一個適應的模型，那么該模型時刻的輸出由三個部分組成，系統(tǒng)時刻的值，時刻輸入的和，以及與前兩部分相互無關(guān)的隨機擾動項。如果我們用后移算子，可以將模型寫成則模型可以寫成。這樣的模型有什么統(tǒng)計特征，又如何定階、估計和診斷呢？本講專門討論多維時間序列建模的相關(guān)問題，但是又與我們通常了解的向量自回歸不同，這里一定有一個自變量和若干個解釋變量。內(nèi)容結(jié)構(gòu)為：首先引入了傳遞函數(shù)模型，并討論了傳遞函數(shù)模型和脈沖響應函數(shù)的基本特征和性質(zhì)，脈沖響應函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系以及傳遞函數(shù)模型的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上介紹了傳遞函數(shù)模型的識別、估計和診斷，并用通過實例分析說明建模的過程。最后引入了干預變量，討論了干預變量建模的理論和建模過程。第一節(jié)傳遞函數(shù)模型的基本概念在以前幾章，我們討論了單變量時間序列分析的建模、估計和診斷有關(guān)的問題。但是應用中常常會遇到一個時間序列當期的表現(xiàn)，不僅受自己過去的影響，還與另一個或者多個時間序列相關(guān)聯(lián)，這種線性系統(tǒng)的輸出變量與一個或多個輸入變量有關(guān)，描述這種動態(tài)系統(tǒng)的模型稱為傳遞函數(shù)模型。研究具有一個輸入變量的單輸出的線性系統(tǒng)，如圖1所示。動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)輸入變量輸出變量隨機干擾圖1動態(tài)系統(tǒng)圖示一、模型的形式前面所示模型是兩個變量的時間序列模型，從這個模型我們可以看出，輸入通過傳遞函數(shù)算子傳遞到輸出上，而隨機擾動項又通過算子疊加到輸出上，最終輸出。又比如傳遞函數(shù)的模型，其含義是對輸出的影響效用是，而隨機擾動項通過算子疊加到最終輸出中。傳遞函數(shù)模型的形式多種多樣，但是其構(gòu)成的機理基本上是一致的。一般的傳遞函數(shù)形式為（1）其中、、、為滯后算子的多項式，其階數(shù)依次分別為s、r、q及p。其中參數(shù)s和r是和的階數(shù)，描述對影響。q和p是和的階數(shù)，描述隨機沖擊對的影響；稱為延遲參數(shù)，即的期滯后值才開始對產(chǎn)生影響。是隨機干擾項，，且與相互獨立。稱為傳遞函數(shù)，系統(tǒng)的形成機理可用圖2表示。輸出輸出圖2一般傳遞函數(shù)模型的形成機理多變量輸入傳遞函數(shù)模型的一般形式為當然這比一個輸入系統(tǒng)要復雜得多。二、脈沖相應函數(shù)特征由于傳遞函數(shù)是由B的多項式構(gòu)成，所以對于傳遞函數(shù)的模型來說，只要確定其傳遞函數(shù)部分最重要三個參數(shù)、和，傳遞函數(shù)基本情況就了解了。傳遞函數(shù)模型的特征與傳遞函數(shù)的三個參數(shù)、和密切相關(guān)，為三者的判定提供了工具。設(shè)傳遞函數(shù)為（2）由于是有理函數(shù)，從理論上講可以表示為是的無窮高階多項式的系數(shù)稱為脈沖響應函數(shù)。說明的過去值如何影響系統(tǒng)的輸出。根據(jù)（2）式，有或者再根據(jù)待定系數(shù)法，比如常數(shù)項v0=0一次項v1-v01=0，則v1=0二次項v2-1v1-2v0，則v2=0類推有(3)仔細觀察（3）式會發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律：（1）前個脈沖函數(shù)值為零，即，可見我們可以由此來定b；（2）當時，脈沖響應函數(shù)有形式因為（）是不同的參數(shù)，無規(guī)律可循，所以這時的s+1個脈沖響應函數(shù)也無固定形式；（3）由于的階數(shù)為s，所以，則有時這恰好是一個階的差分方程，可見當時的脈沖響應函數(shù)是該方程的解，所以當時脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減。有個初始響應函數(shù)為，且。結(jié)合這3點，我們可以得到三個參數(shù)、和的值。例如當前面的三個脈沖相應函數(shù)均為零時，可以確定延遲參數(shù)b=3，如果有個5個響應函數(shù)無規(guī)律，那么，則。三、常見的傳遞函數(shù)的形式為了加深對脈響應函數(shù)的理解，我們討論幾個多項式階數(shù)不高的，常見的傳遞函數(shù)的情形。1.的情形表1情形的脈沖響應函數(shù)表傳遞函數(shù)脈沖響應函數(shù)（2，0，0），（2，0，1），，（2，0，2），，2.的情形在這個情況下，當s=0時，從開始脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減；當s=1時，從開始脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減；當s=2時，從開始脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減，有表2的情形的脈沖響應函數(shù)表（b，r，s）傳遞函數(shù)脈沖響應函數(shù)（2，1，1），，（2，1，2），，，在時間序列的實務分析中r和s均比較小，很少超過2。四、傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性脈沖響應函數(shù)是將傳遞函數(shù)表示成為無窮級數(shù)時的系數(shù)，即從時間序列滯后的特點來看，既往輸入系統(tǒng)的，滯后期越長，則對系統(tǒng)的影響則越小，所以脈沖響應函數(shù)應該快速收斂到零，這樣傳遞函數(shù)則更穩(wěn)定性。傳遞函數(shù)穩(wěn)定性的要求與ARMA模型平穩(wěn)性的要求是類似的，所不同的是除了要求傳遞函數(shù)部分的穩(wěn)定性，還要求干擾項部分的平穩(wěn)性。為了保證的傳遞函數(shù)平穩(wěn)，要求絕對收斂的，即要求滿足，這等價于特征方程的根在單位圓之內(nèi)，這時此系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這個條件相當于ARMA序列平穩(wěn)的條件。對于隨機干擾部分的平穩(wěn)性要求與前面對ARMA模型平穩(wěn)性的要求是一樣的，要求特征方程的根在單位圓之內(nèi)。當然，如果是一個非平穩(wěn)的系統(tǒng)，總可以通過適當?shù)牟罘謱⑾到y(tǒng)轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)系統(tǒng)。【例5.1】假設(shè)傳遞函數(shù)模型為，討論其穩(wěn)定性。解：特征方程的根為而兩個根的模所以特征方程的根在單位圓之內(nèi)，傳遞函數(shù)是平穩(wěn)的。又由于特征方程的根為0.45，小于1，所以模型的隨機干擾項部分是平穩(wěn)的。第二節(jié)傳遞函數(shù)模型的識別與估計ARMA模型涉及的是單變量問題，所以其識別工具主要是自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性質(zhì)，之所以稱為自相關(guān)，是因為它們均討論同一變量在兩個不同時刻輸出間的相關(guān)性。而傳遞函數(shù)的模型是多元的時間序列分析，模型的識別會同時涉及到互相關(guān)（交叉相關(guān)）和自相關(guān)問題，因為自相關(guān)在前面的章節(jié)已經(jīng)討論，所以這里只討論互相關(guān)（交叉相關(guān)）。一、互相關(guān)函數(shù)(一)互相關(guān)函數(shù)定義互相關(guān)函數(shù)是一種非常有用的測度兩個變量之間相關(guān)強度和方向的函數(shù)，在時間序列中我們常常討論兩個變量間的相關(guān)性，它與平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)函數(shù)不同，自相關(guān)函數(shù)沒有方向，亦即與的自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔有關(guān)，無論t和s誰在前或后。給定二時間序列和，，且均為平穩(wěn)時間序列，如果不是平穩(wěn)的時間序列，總可以通過適當?shù)牟罘?，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時間序列。稱（4）為互協(xié)方差函數(shù)。稱（5）為互相關(guān)函數(shù)，記為CCF。特別值得注意的是互相關(guān)函數(shù)不僅與時間間隔有關(guān)，而且它是不對稱，即與方向有關(guān)。如圖3所示。圖3互相關(guān)函數(shù)示意圖（6）（7）這種互相關(guān)關(guān)系的非對稱性是容易理解的。假設(shè)是某種商品的廣告費，對于該種商品的銷售額來說是廣告費是領(lǐng)先的變量，它對過去的銷售幾乎無影響，甚至可能為零，因為對于來說是未來的廣告費，未來的廣告費不會對過去的銷售額；但是對于是有影響的，至于相關(guān)性到什么程度，要根據(jù)實際情況進行討論。（二）樣本互相關(guān)函數(shù)由于總體的互相關(guān)函數(shù)是未知的，為了討論兩個時間序列的互相關(guān)函數(shù)，通常需要用一個跨度為N的樣本來估計總體互相關(guān)函數(shù)，假設(shè)這個跨度為N的樣本為，如果和是非平穩(wěn)的，那么我們總可以經(jīng)過d階差分將其轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的時間序列。樣本的互協(xié)方差函數(shù)為（8）樣本的互相關(guān)系數(shù)為（9）其中、、和分別是兩個序列的均值和標準差。在實際中，為了獲得互相關(guān)函數(shù)有統(tǒng)計意義的估計，樣本容量要求至少為50對觀測值。為了了解互相關(guān)函數(shù)的計算的原理，下面我們模擬一個二變量的時間序列的樣本，給出計算的過程?！纠?】對表3中模擬的序列，計算互相關(guān)系數(shù)。表3模擬數(shù)據(jù)表11170-12710-42396-2-241271-15148306131022可以分別計算出兩個序列的均值分別為11和8，標準差分別為2.38和1.53。計算互協(xié)方差函數(shù)＝2.667再計算互相關(guān)函數(shù)從計算的結(jié)果可以看出互相關(guān)系數(shù)是不對稱的，即不僅與間隔有關(guān)，還與方向有關(guān)?！纠?.2】本例的數(shù)據(jù)來源于Box與Jenkins合著《時間序列分析—預測與控制》一書中的序列M。序列M是某商品1970年銷售額與銷售額的領(lǐng)先指標共150對數(shù)據(jù)，圖4是領(lǐng)先指標的數(shù)據(jù)圖，圖5是銷售額指標的數(shù)據(jù)圖，圖6是和的互相關(guān)函數(shù)。圖4領(lǐng)先指標的數(shù)據(jù)圖圖5銷售額的數(shù)據(jù)圖CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-30.0247820.05464|.|*.|-2-0.026508-.05844|.*|.|-10.0439850.09698|.|**.|0-0.0014380-.00317|.|.|10.0321680.07092|.|*.|2-0.172487-.38029|********|.|30.3265980.72007|.|**************|40.0473920.10449|.|**.|50.0491760.10842|.|**.|60.0197920.04364|.|*.|70.0640400.14119|.|***|80.0220160.04854|.|*.|90.0407730.08989|.|**.|10-0.013822-.03048|.*|.|110.0535240.11801|.|**.|120.0137310.03027|.|*.|"."markstwostandarderrors圖6和的互相關(guān)函數(shù)圖“.”標志相關(guān)系數(shù)兩倍標準差處。從圖6可以看出當滯后期數(shù)時，互相關(guān)函數(shù)顯著為零。接著滯后期數(shù)和時的互相關(guān)函數(shù)分別為和，兩個互相關(guān)函數(shù)值均在兩倍標準差之外，所以統(tǒng)計的角度看顯著不為零。（三）互相關(guān)函數(shù)與傳遞函數(shù)的關(guān)系如前所述，傳遞函數(shù)模型可以表示為以脈沖響應函數(shù)為系數(shù)的時間序列各個時刻值的加權(quán)和，即。傳遞函數(shù)的形式實際上反映了互相關(guān)函數(shù)的特征，那么互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應函數(shù)關(guān)系如何呢？下面討論互相關(guān)函數(shù)與傳遞函數(shù)關(guān)系。設(shè)將兩邊同時乘以，則兩邊同時求數(shù)學期望，有因為變量與隨機干擾項相互獨立，則，有上式兩邊同時除以和，得互相關(guān)函數(shù)（10）從（10）式可以看出互相關(guān)函數(shù)是輸入變量的自相關(guān)函數(shù)和脈沖響應函數(shù)的線性函數(shù)，如果能從（10）式中解出脈沖響應函數(shù)，那么模型的傳遞函數(shù)就得到了。但是（10）式的脈沖響應函數(shù)有無窮項，直接求解是不可能的。那么如果將輸入的變量x換成白噪聲序列情況會如何呢？由于白噪聲序列的自相關(guān)函數(shù)為0，這時（10）式的右邊除了之外，其余的項均為零，則（10）式簡化為（11）則（12）因此尋找一個白噪聲序列，它由濾波得到，且?guī)в械男畔?。這種轉(zhuǎn)換叫做“預白化”方法。在這種情況下模型的脈沖相應函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)因子，如5.11式?？梢娔Ｐ偷拿}沖相應函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)有同樣的變化規(guī)律，利用互相關(guān)函數(shù)有助于對模型傳遞函數(shù)部分的識別。設(shè)傳遞函數(shù)模型為假定輸入序列是一個平穩(wěn)序列，其適應模型為（13）其中為白噪聲序列，且含有的信息。如果我們把看成一個濾波器，假定輸出序列與輸入序列有同樣的特征，那么用這個相同濾波器，也可以將進行濾波，得（14）其中是白噪聲序列，且含有的信息。將代入（14）式，則故有（15）可見預白化處理后，輸入的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一個帶有信息的白噪聲序列，且有與相互獨立，這樣問題就簡化多了。當計算出樣本的互相關(guān)函數(shù)、和，脈沖響應函數(shù)的初估計就容易得到了。（15）式給我們一個信息，除了相差一個常數(shù)因子外，脈沖響應函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)有相同的模式，這就是說可以用互相關(guān)函數(shù)來識別傳遞函數(shù)的階數(shù)?！纠?】繼續(xù)利用【例2】的數(shù)據(jù)計算預白化后的序列和的互相關(guān)函數(shù)。通過識別差分后的序列可知，服從一階移動平均模型，其模型為，故通過濾波器預白化的序列為得到兩個預白化序列后，計算兩個序列的標準差，有和。兩個預白化序列的互相關(guān)函數(shù)如圖7所示。CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-12-0.015148-.02784|.*|.|-11-0.038093-.07000|.*|.|-10-0.028313-.05203|.*|.|-9-0.026054-.04788|.*|.|-80.0269270.04948|.|*.|-7-0.0013061-.00240|.|.|-6-0.034684-.06374|.*|.|-50.0130160.02392|.|.|-40.00125830.00231|.|.|-30.0220450.04051|.|*.|-20.00541250.00995|.|.|-10.0514780.09460|.|**.|00.0342320.06291|.|*.|10.0430600.07913|.|**.|20.0100620.01849|.|.|30.3674420.67523|.|**************|40.2461120.45227|.|*********|

50.1854470.34079|.|*******|60.1401600.25757|.|*****|70.1458610.26804|.|*****|80.1078030.19811|.|****|90.0942350.17317|.|***|100.0531150.09761|.|**.|110.0788220.14485|.|***|120.0380380.06990|.|*.|"."markstwostandarderrors圖7預白化變量序列和的互相關(guān)函數(shù)圖預白化變量序列和的互相關(guān)函數(shù)第一個顯著不為零的為，即滯后期是3時，＝0.6752。表4互協(xié)方差函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應函數(shù)的計算表滯后期（k）互相關(guān)函數(shù)脈沖響應函數(shù)-7-.00240-0.0167-6-.06374-0.4446-50.023920.1668-40.002310.0161-30.040510.2825-20.009950.0694-10.094600.659800.062910.438810.079130.551920.018490.129030.675234.709440.452273.154450.340792.376960.257571.796470.268041.869580.198111.381790.173171.2078100.097610.6808110.144851.0103120.069900.4875圖8脈沖響應函數(shù)數(shù)據(jù)圖將圖8和圖7相比較，可以看出脈沖響應函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)幾乎具有相同的模式。那么我們完全可以依據(jù)互相關(guān)函數(shù)來判定傳遞函數(shù)分子和分母多項式的階數(shù)和以及延遲參數(shù)。二、傳遞函數(shù)模型的識別傳遞函數(shù)模型的識別包含兩個方面的內(nèi)容，其一是要是判定傳遞函數(shù)分子和分母多項式的階數(shù)和s以及延遲參數(shù)，其二是噪聲部分的識別。1.判定s、r和ｂ先根據(jù)脈沖相應函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系估計出，根據(jù)的特征確定s、r、ｂ。由（3）式中的第一式可知脈沖相應函數(shù)的前面?zhèn)€，即；根據(jù)（3）式第三式可知，當時，脈沖響應函數(shù)是階差分方程的解。所以如果時脈沖響應函數(shù)表現(xiàn)出階差分方程的模式，則就等于差分方程的階數(shù)，如果脈沖響應函數(shù)不呈現(xiàn)任何模式，則；如表現(xiàn)出階差分方程的模式，那么這種模式從才開始，則。比如有一個系統(tǒng)其，表現(xiàn)出的差分方程的模式從第5期開始，即，則。當脈沖響應函數(shù)不呈現(xiàn)任何模式，即有，那么2.傳遞函數(shù)部分參數(shù)的矩估計當、和s被識別之后，對和進行預白化處理后，得（18）式，將、和代入（18）式，得脈沖響應函數(shù)的估計（19）將代入（3）式，可得脈沖響應函數(shù)與傳遞函數(shù)的參數(shù)（）和（）的關(guān)系式如（20）。（20）根據(jù)（20）式解出傳遞函數(shù)部分參數(shù)的初估計（）和（）。至于初步估計的結(jié)果是否適宜，可以通過檢驗來得到。3．噪聲部分的識別與估計在前面兩步識別與估計完成以后，系統(tǒng)噪聲部分的識別和參數(shù)的估計就不困難了。通過估計模型的傳遞函數(shù)，有殘差為把殘差序列看成隨機干擾項的一段樣本，然后識別殘差序列是否具有ARMA模型模式，其ARMA模型的階和等于多少。根據(jù)以上的識別結(jié)果，已經(jīng)對整個傳遞函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)有了比較完整的了解，進而可以對模型進行整體估計了?！纠?】繼續(xù)【例2】，判定傳遞函數(shù)的階數(shù)。從圖6可以看出，預白化變量序列和的互相關(guān)函數(shù)第一個顯著不為零的為＝0.6704，則可知參數(shù)為。從開始，脈沖響應函數(shù)快速衰減到零，則，。初步擬定的模型階數(shù)（，，）為（1，0，3）或者（2，0，3），則初步傳遞函數(shù)的模型為三、傳遞函數(shù)模型的估計與檢驗（一）模型的估計根據(jù)前面一節(jié)的識別過程，通過對系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)的矩估計，已經(jīng)對系統(tǒng)的傳遞函數(shù)部分的階數(shù)和隨機干擾項的階數(shù)和進行了初步識別，用，，和分別表示，，和的系數(shù)向量，它們待估計的參數(shù)，根據(jù)傳遞函數(shù)的模型可以改寫模型為（21）在給定樣本序列的條件下，求得樣本的殘差序列，且是未知參數(shù)的函數(shù)，即，使達到極小的，，和就是參數(shù)的最小二乘估計，而白噪聲的方差的估計量。利用最小二乘法可以得到傳遞函數(shù)模型參數(shù)的有效估計量，由于方法較繁，這里僅僅列出其思路，具體的求解從略。【例4】續(xù)【例3】對模型進行估計本章的計算均有SAS9.13完成。。本章的計算均有SAS9.13完成。（1）首先對模型的傳遞函數(shù)部分進行估計，得參數(shù)估計相應的統(tǒng)計量為表5傳遞函數(shù)部分參數(shù)統(tǒng)計量參數(shù)名估計值估計量的標準差統(tǒng)計量值4.6870.0780860.03<.00010.7260.00702103.41<.0001從檢驗的p值可以知道和在統(tǒng)計上是顯著不為零的，即傳遞函數(shù)部分的模型顯著。但是傳遞函數(shù)部分模型的自相關(guān)嚴重，傳遞函數(shù)部分的殘差的自相關(guān)圖(圖9)可以看出。（2）接著我們識別傳遞函數(shù)部分模型的殘差序列遵從的模型，從殘差序列的自相關(guān)圖可以知道，其自相關(guān)函數(shù)二階結(jié)尾，如圖9，則初步識別是二階移動平均模型。LagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError00.0702961.00000||********************|01-0.022106-.31447|******|.|0.08304520.00524890.07467|.|*.|0.09088830.000619910.00882|.|.|0.0913104-0.0026725-.03802|.*|.|0.09131550.0112070.15943|.|***.|0.09142560.00202250.02877|.|*.|0.0933227-0.0052602-.07483|.*|.|0.09338380.00582430.08285|.|**.|0.0937969-0.0072552-.10321|.**|.|0.094299100.00945060.13444|.|***.|0.09507511-0.0002752-.00392|.|.|0.09637712-0.0002359-.00336|.|.|0.096379圖9傳遞函數(shù)部分的殘差的自相關(guān)圖（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，得傳遞函數(shù)的模型得初步形狀，估計整個模型，得或根據(jù)估計量的檢驗可知，參數(shù)不顯著。重新建立的模型。得模型表6傳遞函數(shù)模型參數(shù)統(tǒng)計量參數(shù)估計量標準差t值p值0.29560.08033.680.00034.71790.071166.36<.00010.72480.0055131.87<.0001從模型的檢驗的p值可以知道、和在統(tǒng)計上是顯著不為零的，即傳遞函數(shù)模型非常顯著。輸入變量通過對輸出變量產(chǎn)生影響，隨機干擾項通過疊加到系統(tǒng)上。（二）模型的檢驗在系統(tǒng)被識別與參數(shù)估計被獲得之后，還需要對模型擬合優(yōu)劣進行討論，這就需要檢驗。通常傳遞函數(shù)的模型要檢驗的內(nèi)容有兩個，其一是整個傳遞函數(shù)模型的是否欠擬合；其二是殘差序列與派生出的預白化序列是否互相關(guān)。1.殘差序列自相關(guān)檢驗整個傳遞函數(shù)模型的是否欠擬合，包括傳遞函數(shù)部分和隨機干擾部分是否欠擬合。如果欠擬合，則殘差序列表現(xiàn)出自相關(guān)，如果模型是適應的，則無序列相關(guān)，所以需要檢驗殘差的自相關(guān)問題?？梢宰C明，如果模型是適應的，則殘差序列可以看成白噪聲序列的一個樣本，當樣本容量足夠大的條件下，殘差的自相關(guān)函數(shù)相互獨立的服從均值為零，方差為的正態(tài)分布，是可用于計算的觀測值的個數(shù)，為有效的樣本個數(shù)，，檢驗的統(tǒng)計量（22）和是干擾模式的參數(shù)個數(shù)，K一般取得足夠大。給定顯著性水平，如果檢驗的P值，其中為由樣本計算出的統(tǒng)計量值，則接受無序列相關(guān)的假設(shè)，模型是適合的；否則時，模型有序列相關(guān)，需要修正改進。2.殘差序列互相關(guān)檢驗因為傳遞函數(shù)模型為并且可以改寫為（23）從計量經(jīng)濟得經(jīng)典假定看，輸入序列和隨機干擾項。在這里就轉(zhuǎn)化成的派生序列應該與隨機干擾項相互無關(guān)，所以檢驗它們是否存在互相關(guān)是必要的?？梢宰C明如果傳遞函數(shù)適當?shù)脑挘瑒t殘差將是一個與序列無關(guān)的白噪聲的一段樣本，則將獨立漸近于均值為0，方差為的正態(tài)分布，由于是的派生序列，由來生成檢驗的統(tǒng)計量。（24）是傳遞函數(shù)部分的參數(shù)個數(shù)。給定顯著性水平，如P值，其中為由樣本計算出的統(tǒng)計量的值，則接受無序列相關(guān)的假設(shè)，模型時適合的；否則時，模型有輸入變量與殘差序列互相關(guān)，需要修正改進。當估計出適應的傳遞函數(shù)模型之后，自然會想到利用它來預測。通常在利用了某個相關(guān)輸入序列的信息之后，對于輸出序列的預測會比單變量時間序列的預測效果好。傳遞函數(shù)模型將與的變化規(guī)律用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來了，為了利用已知的與的信息得到的最優(yōu)的預測，在實際的應用中，要先對擬合恰當?shù)哪Ｐ蛠硗馔祁A測的預測值，再根據(jù)的預測值，利用傳遞函數(shù)模型對系統(tǒng)的輸出變量y進行預測?！纠?】續(xù)【例4】，對模型進行殘差自相關(guān)和輸入變量與殘差序列的互相關(guān)檢驗。表7模型進行殘差自相關(guān)表滯后期k自相關(guān)函數(shù)1－6-0.0040.0920.0420.0280.1870.0757－12-0.0350.060-0.0450.1280.031-0.01513－18-0.0590.028-0.0200.064-0.0980.06718－240.070-0.0120.022-0.081-0.0770.082因為＝3，模型做了一階差分，所以有效的樣本容量為149，則。分別取，，和。下面我們分別計算、、和時的統(tǒng)計量，為了節(jié)約篇幅，僅計算的情形，其它情況類似。根據(jù)（22）式有統(tǒng)計量值為且服從自由度為（6-0-1）的分布。，，和的計算結(jié)果入下表，從結(jié)果可以看出，該模型的殘差不存在自相關(guān)。表8模型進行殘差自相關(guān)檢驗表K自由度統(tǒng)計量P值657.885420.1662121111.752160.3908181715.559340.5634242319.87720.6585表9輸入變量與殘差的互相關(guān)函數(shù)滯后期k輸入變量與殘差的互相關(guān)函數(shù)0－50.0040.106-0.1280.053-0.0530.1976－100.0140.0050.0430.0650.0200.09413－180.018-0.019-0.016-0.0300.0830.04518－24-0.1280.1030.0300.064-0.0450.112下面我們分別計算，，和時的統(tǒng)計量，僅計算從到5的情形，其它情況類似。根據(jù)（24）式有統(tǒng)計量值如表10。表10輸入變量與殘差的互相關(guān)檢驗K自由度統(tǒng)計量P值5410.786820.029067111013.221330.211559171614.982720.525905232222.864540.409412從計算的結(jié)果可以看出，不能拒絕殘差與輸入變量間無互相關(guān)的假設(shè)，故認為殘差與輸入變量的互相關(guān)系數(shù)顯著為零。第三節(jié)干預模型一、干預模型介紹突發(fā)事件，如疫情、嚴重自然災害和政府干預等通常會不可避免地會對與其密切相關(guān)的各經(jīng)濟部門造成不同程度的影響。為估算這種影響，實際工作部門通常是通過計算年距增長（降低）量和年距增長（降低）速度等指標進行分析，雖然該方法簡便、直觀、易于理解，也能夠在一定程度上克服季節(jié)波動的影響，但由于其不考慮經(jīng)濟序列自身的長期發(fā)展趨勢，測算結(jié)果可能會存在一定偏差。本節(jié)嘗試利用干預變量模型來測算突發(fā)事件對經(jīng)濟的影響程度和作用時滯。時間序列所常受的諸如節(jié)假日、罷工、促銷和其他政策變化之類的外部事件的影響，我們稱這類外部事件為干預。在這一節(jié)將引入稱為干預分析的技術(shù)，用以評估外部事件的影響對變量的影響。干預分析（InterventionAnlysis）的研究始于70年代初美國威斯康星大學統(tǒng)計系刁錦寰教授對美國西海岸洛杉磯的大氣污染的環(huán)境問題的研究。1975年Box和刁錦寰教授在美國統(tǒng)計協(xié)會會刊上發(fā)表了《應用到經(jīng)濟和環(huán)境問題的干預分析》一文，此后引起眾多統(tǒng)計學家的重視，而且被廣泛用于描述經(jīng)濟政策的變化或突發(fā)事件（戰(zhàn)爭爆發(fā)、罷工、廣告促銷、環(huán)境法規(guī)等）給經(jīng)濟帶來的影響的定量分析。本節(jié)討論干預發(fā)生時間已知的情形，通常干預變量分析也用來分析的時間序列是否有異常值發(fā)生。二、干預變量的類型和組合（一）干預變量有兩種常見的干預變量，一種表示T時刻事件發(fā)生，以后一直有影響，這種干預可用階躍函數(shù)表示：另一種干預變量表示在時刻T事件發(fā)生，僅對該時刻有影響，這種干預變量用脈沖函數(shù)表示如下：和是干預變量模型中干預變量的基本元素。在干預發(fā)生之后，經(jīng)濟現(xiàn)象并非馬上做出反映，或者有一定的滯后期，或者當干預發(fā)生后經(jīng)濟想象做出的反映可能是緩慢上升或緩慢下降，可能開始時緩慢上升而后又緩慢下降回到?jīng)]有發(fā)生干預的水平，由此我們總是可以將和進行某種處理，使之更適合我們要討論的問題。（二）干預模型中常見的干預變量的形狀1.突然發(fā)生持續(xù)時間長久的干預影響的函數(shù)形式為。這種干預變量的影響表現(xiàn)為干預在T時刻發(fā)生，但是系統(tǒng)的反應滯后b期，在第T+b期產(chǎn)生影響，干預變量的影響效應為。如圖10所示。T+bT+b圖10函數(shù)的圖形2．緩慢發(fā)生持續(xù)時間長久的干預影響函數(shù)為，此種干預影響在T時刻發(fā)生，滯后期為b期，即在T+b期系統(tǒng)有所相應，但是由于函數(shù)有因子，所以反映是緩慢的。3．突然發(fā)生持續(xù)時間短暫的干預影響函數(shù)表現(xiàn)為在T時刻發(fā)生的干預，在T+b時刻才做出反映，且僅僅在T+b時刻才做出反映，影響的效率為。4．緩慢發(fā)生持續(xù)時間短暫的干預影響函數(shù)表現(xiàn)為T時刻發(fā)生的干預，在T+b時刻，但是影響的效率比較緩慢，且很快恢復到以前的情形。在較復雜的情況時，還可以將上面的四種情況組合起來。模仿傳遞函數(shù)的模型，一個干預模型有如下形式：其中為干預變量或，是在整個時間序列中時刻發(fā)生了干預。限于篇幅，本節(jié)討論干預發(fā)生在何時是已知的情形。三、美國CREST牌牙膏的市場占有率實例分析我們以美國CREST牌牙膏的市場占有率為例說明這種技術(shù)的應用。估計市場的占有率是市場營銷中常遇到的問題。本例的數(shù)據(jù)是CREST牌牙膏的1958—1963的周市場占有率。在數(shù)據(jù)的第138期，整個序列發(fā)生了很大的變化，如圖所示。究其原因，主要是美國牙醫(yī)學會在1960年8月1日公報宣布CREST牌牙膏“對各種牙病任何階段都有重要的輔助治療作用”。圖5.10銷售量趨勢圖從圖中的趨勢線可以看出雖然在T=138期時有一個跳躍，但是T=138期前后的時間序列除了平均值不同之外，其波動的規(guī)律幾乎是一致的。所以我們首先識別從138到276期的數(shù)據(jù)所遵從的模型ARIMA(0,1,1)的模型，識別的過程這里不再贅述。然后，假定1960年8月1日又根據(jù)牙膏這種產(chǎn)品的特點，假定即期和滯后一期均有效果，則干預形式為，則有模型+，然后對其進行估計。利用SAS的ARIMA過程，用無條件最小二乘方法，有估計量如表5.11。表5.11模型參數(shù)統(tǒng)計量參數(shù)名估計值標準差統(tǒng)計量p值0.750060.0417717.96<.00010.141710.030634.63<.00010.141230.030734.60<.0001從假設(shè)檢驗的結(jié)果三個參數(shù)均不能拒絕為零的原假設(shè)，該干預模型是顯著的。干預變量引入是合理的。+從模型可以看出牙醫(yī)學會的干預對于牙膏的銷售量通過施加到銷售量上，且隨機沖擊對銷售量的影響通過疊加上去。第四節(jié)實例分析為了研究收入和消費之間的關(guān)系，我們收集了某地區(qū)1975-2004年消費總額和貨幣收入總額的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表12。表12某地區(qū)消費總額和貨幣收入的年度資料（單位：億元）年份貨幣收入總額消費總額年份貨幣收入總額消費總額1975103.16991.1581990215.539204.751976115.07109.11991220.391218.6661977132.21119.1871992235.483227.4251978156.574143.9081993280.975229.861979166.091155.1921994292.339244.231980155.099148.6731995278.116258.3631981138.175151.2881996292.654275.2481982146.936148.11997341.442299.2771983157.7156.7771998401.141345.471984179.797138.4751999458.567406.1191985195.779174.7372000500.915462.2231986194.878182.8022001450.939492.6621987189.179180.132002626.709539.0461988199.963190.4442003783.953617.5681989205.717196.92004890.637727.397分別進行簡單線性回歸和傳遞函數(shù)模型，進而比較其擬合效果。一、一元線性回歸模型的擬合圖11貨幣收入與消費總額的散點圖從貨幣收入和消費總額的散點圖，我們可以看到二者呈現(xiàn)出比較前的線性相關(guān)關(guān)系。所以首先建立一元回歸方程。模型估計統(tǒng)計量如表5.12。表12一元回歸方程估計統(tǒng)計量VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C25.894148.2191243.1504740.0039X0.8107330.02362734.313370.0000R-squared0.976771Meandependentvar261.1725AdjustedR-squared0.975942S.D.dependentvar160.0359S.E.ofregression24.82272Akaikeinfocriterion9.325736Sumsquaredresid17252.69Schwarzcriterion9.419150Loglikelihood-137.8860F-statistic1177.407Durbin-Watsonstat1.309021Prob(F-statistic)0.000000模型為，說明隨著收入的增加，消費總額也會增加。收入每增加一億元，消費總額可望增加0.811億元。模型雖然擬合優(yōu)度較好，但是從消費行為看，既往的收入和消費均會影響當前的消費。所以可以建立傳遞函數(shù)的模型。討論滯后變量對消費的影響。D(X),D(Y(-i))D(X),D(Y(+i))ilaglead.|*******|.|*******|00.68540.6854.|***.|.|*******|10.33620.7276.|***.|.|****|20.27150.4246.|****|.|.|30.3571-0.0116.|****|.|**.|40.38520.1633.|***.|.|**.|50.26810.1879.|*.|.|**.|60.11750.1966.|.|.|*.|70.04380.0980.|*.|.*|.|80.0512-0.0575.*|.|.*|.|9-0.0743-0.1037.*|.|.|.|10-0.1133-0.0064.*|.|.|.|11-0.06790.0072.*|.|.*|.|12-0.0570-0.0892圖12差分后的收入與消費之間的互相關(guān)函數(shù)由于我們是利用差分后的變量計算的互相關(guān)函數(shù)，從互相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)可以看出，收入和消費增長的即期相關(guān)是顯著的，其相關(guān)系數(shù)為0.6854，收入增長與消費增長具有一期的滯后效應顯著，相關(guān)系數(shù)為0.7276。收入增長與消費增長兩期的滯后效應顯著性不高，相關(guān)系數(shù)為0.3362。我們擬建立傳遞函數(shù)模型。二、傳遞函數(shù)模型1.預白化處理及定階通過識別序列，建立AR(1)模型預白化序列。濾波器為兩個預白化序列的互相關(guān)函數(shù)圖為CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-129.4683600.01130|.|.|-1119.6620370.02347|.|.|-10-92.653819-.11059|.**|.|-9-81.068539-.09676|.**|.|-8122.5600.14628|.|***.|-7-14.932398-.01782|.|.|-62.5735830.00307|.|.|-595.4629490.11394|.|**.|-4167.9150.20042|.|****.|-3148.8860.17771|.|****.|-27.4182310.00885|.|.|-1-66.650023-.07955|.**|.|0279.6940.33383|.|*******|1407.1160.48592|.|**********|2257.9600.30789|.|******.|3-103.978-.12410|.**|.|4-5.742922-.00685|.|.|546.6664480.05570|.|*.|6144.8020.17283|.|***.|7103.3300.12333|.|**.|8-35.728254-.04264|.*|.|9-103.370-.12338|.**|.|1010.1885860.01216|.|.|1138.9491250.04649|.|*.|12-24.064270-.02872|.*|.|圖13預白化序列的互相關(guān)函數(shù)圖從互相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)可以看出第一個不為零的互相關(guān)函數(shù)為，所以有收入增長對消費增長所有即期效應。從互相關(guān)函數(shù)的特征可以看出其基本沒有表現(xiàn)出ARMA模型自相關(guān)函數(shù)的收斂特征，則可以認為，并初步設(shè)定。即傳遞函數(shù)模型的初步模型為。估計統(tǒng)計量如表13所示。2.傳遞函數(shù)部分估計表13傳遞函數(shù)部分的估計量參數(shù)估計值標準差t值p值00.272130.05017.42<.00011-0.291480.05764-5.06<.00012-0.269700.06131-4.400.0002傳遞函數(shù)部分的模型為從模型可以看出，收入對消費的影響當期、滯后一期和滯后兩期對消費的影響顯著。影響的效應分別是0.27213、0.07932和0.07339。進一步識別傳遞函數(shù)部分的殘差，觀測隨機沖擊的特點。AutocorrelationPlotofResidualsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError0145.6931.00000||********************|01-2.249853-.01544|.|.|0.192450214.8763670.10211|.|**.|0.19249638.5769650.05887|.|*.|0.19449249.4110380.06459|.|*.|0.1951505-18.093076-.12419|.**|.|0.1959416-17.956893-.12325|.**|.|0.1988357-1.524940-.01047|.|.|0.2016448-23.011302-.15794|.***|.|0.201664915.1394750.10391|.|**.|0.2061951023.8465640.16368|.|***.|0.2081261116.4809170.11312|.|**.|0.21284012-12.148465-.08338|.**|.|0.215055圖14傳遞函數(shù)部分殘差的自相關(guān)圖從傳遞函數(shù)部分模型的殘差看，殘差表現(xiàn)為白噪聲，故隨機沖擊部分本生是白噪聲模型。故系統(tǒng)的整體模型為或直接利用該模型進行預測，有表14?？梢钥闯瞿Ｐ偷念A測結(jié)果較佳的。圖15可以進一步說明。表14預測值與實際值比較表年份實際值預測值95置信下限95置信上限1990204.75204.158180.501227.821991218.666210.485186.828234.141992227.425226.836203.179250.491993229.86245.512221.855269.171994244.23250.283226.626273.941995258.363255.941232.284279.61996275.248261.238237.581284.91997299.277288.926265.269312.581998345.47333.665310.007357.321999406.119391.657367.999415.312000462.223450.483426.825474.142001492.662476.455452.797500.112002539.046537.348513.69561.012003617.568619.592595.934