第七講干預分析模型預測法

教學內容批注傳遞函數模型與干預變量分析時間序列真的僅僅受本身滯后值影響嗎？在單變量時間序列中，我們假設系統(tǒng)輸出僅僅受既往值和隨機干擾項的影響。但實際應用中，可能還有其他與之相關的時間序列，那么如何將其它的變量引入時間序列模型是一個值得討論的問題。設表示某種商品在一段時間的銷售額，由于經濟時間序列通常有記憶性，可以用一個ARMA模型來描述其變化規(guī)律，假定其變化規(guī)律的表達式為但是在許多實際情況下，銷售額不僅僅受自己滯后值的影響，還會受其它一些輸入變量的影響。我們考慮廣告費，廣告費對銷售額的影響不僅具有即期影響還具有一定的滯后效應，假定其滯后的影響是一期，那么在上式中就應加入廣告費的當期和滯后一期的值，如果廣告費的即期影響效用是0.55，滯后一期值對銷售額的影響效用是0.60，則這個簡單的輸出和輸入關系為如果上式是一個適應的模型，那么該模型時刻的輸出由三個部分組成，系統(tǒng)時刻的值，時刻輸入的和，以及與前兩部分相互無關的隨機擾動項。如果我們用后移算子，可以將模型寫成則模型可以寫成。這樣的模型有什么統(tǒng)計特征，又如何定階、估計和診斷呢？本講專門討論多維時間序列建模的相關問題，但是又與我們通常了解的向量自回歸不同，這里一定有一個自變量和若干個解釋變量。內容結構為：首先引入了傳遞函數模型，并討論了傳遞函數模型和脈沖響應函數的基本特征和性質，脈沖響應函數與互相關函數的關系以及傳遞函數模型的穩(wěn)定性。在此基礎上介紹了傳遞函數模型的識別、估計和診斷，并用通過實例分析說明建模的過程。最后引入了干預變量，討論了干預變量建模的理論和建模過程。第一節(jié)傳遞函數模型的基本概念在以前幾章，我們討論了單變量時間序列分析的建模、估計和診斷有關的問題。但是應用中常常會遇到一個時間序列當期的表現(xiàn)，不僅受自己過去的影響，還與另一個或者多個時間序列相關聯(lián)，這種線性系統(tǒng)的輸出變量與一個或多個輸入變量有關，描述這種動態(tài)系統(tǒng)的模型稱為傳遞函數模型。研究具有一個輸入變量的單輸出的線性系統(tǒng)，如圖1所示。動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)輸入變量輸出變量隨機干擾圖1動態(tài)系統(tǒng)圖示一、模型的形式前面所示模型是兩個變量的時間序列模型，從這個模型我們可以看出，輸入通過傳遞函數算子傳遞到輸出上，而隨機擾動項又通過算子疊加到輸出上，最終輸出。又比如傳遞函數的模型，其含義是對輸出的影響效用是，而隨機擾動項通過算子疊加到最終輸出中。傳遞函數模型的形式多種多樣，但是其構成的機理基本上是一致的。一般的傳遞函數形式為（1）其中、、、為滯后算子的多項式，其階數依次分別為s、r、q及p。其中參數s和r是和的階數，描述對影響。q和p是和的階數，描述隨機沖擊對的影響；稱為延遲參數，即的期滯后值才開始對產生影響。是隨機干擾項，，且與相互獨立。稱為傳遞函數，系統(tǒng)的形成機理可用圖2表示。輸出輸出圖2一般傳遞函數模型的形成機理多變量輸入傳遞函數模型的一般形式為當然這比一個輸入系統(tǒng)要復雜得多。二、脈沖相應函數特征由于傳遞函數是由B的多項式構成，所以對于傳遞函數的模型來說，只要確定其傳遞函數部分最重要三個參數、和，傳遞函數基本情況就了解了。傳遞函數模型的特征與傳遞函數的三個參數、和密切相關，為三者的判定提供了工具。設傳遞函數為（2）由于是有理函數，從理論上講可以表示為是的無窮高階多項式的系數稱為脈沖響應函數。說明的過去值如何影響系統(tǒng)的輸出。根據（2）式，有或者再根據待定系數法，比如常數項v0=0一次項v1-v01=0，則v1=0二次項v2-1v1-2v0，則v2=0類推有(3)仔細觀察（3）式會發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律：（1）前個脈沖函數值為零，即，可見我們可以由此來定b；（2）當時，脈沖響應函數有形式因為（）是不同的參數，無規(guī)律可循，所以這時的s+1個脈沖響應函數也無固定形式；（3）由于的階數為s，所以，則有時這恰好是一個階的差分方程，可見當時的脈沖響應函數是該方程的解，所以當時脈沖響應函數呈指數衰減。有個初始響應函數為，且。結合這3點，我們可以得到三個參數、和的值。例如當前面的三個脈沖相應函數均為零時，可以確定延遲參數b=3，如果有個5個響應函數無規(guī)律，那么，則。三、常見的傳遞函數的形式為了加深對脈響應函數的理解，我們討論幾個多項式階數不高的，常見的傳遞函數的情形。1.的情形表1情形的脈沖響應函數表傳遞函數脈沖響應函數（2，0，0），（2，0，1），，（2，0，2），，2.的情形在這個情況下，當s=0時，從開始脈沖響應函數呈指數衰減；當s=1時，從開始脈沖響應函數呈指數衰減；當s=2時，從開始脈沖響應函數呈指數衰減，有表2的情形的脈沖響應函數表（b，r，s）傳遞函數脈沖響應函數（2，1，1），，（2，1，2），，，在時間序列的實務分析中r和s均比較小，很少超過2。四、傳遞函數的穩(wěn)定性脈沖響應函數是將傳遞函數表示成為無窮級數時的系數，即從時間序列滯后的特點來看，既往輸入系統(tǒng)的，滯后期越長，則對系統(tǒng)的影響則越小，所以脈沖響應函數應該快速收斂到零，這樣傳遞函數則更穩(wěn)定性。傳遞函數穩(wěn)定性的要求與ARMA模型平穩(wěn)性的要求是類似的，所不同的是除了要求傳遞函數部分的穩(wěn)定性，還要求干擾項部分的平穩(wěn)性。為了保證的傳遞函數平穩(wěn)，要求絕對收斂的，即要求滿足，這等價于特征方程的根在單位圓之內，這時此系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這個條件相當于ARMA序列平穩(wěn)的條件。對于隨機干擾部分的平穩(wěn)性要求與前面對ARMA模型平穩(wěn)性的要求是一樣的，要求特征方程的根在單位圓之內。當然，如果是一個非平穩(wěn)的系統(tǒng)，總可以通過適當的差分將系統(tǒng)轉換為平穩(wěn)系統(tǒng)。【例5.1】假設傳遞函數模型為，討論其穩(wěn)定性。解：特征方程的根為而兩個根的模所以特征方程的根在單位圓之內，傳遞函數是平穩(wěn)的。又由于特征方程的根為0.45，小于1，所以模型的隨機干擾項部分是平穩(wěn)的。第二節(jié)傳遞函數模型的識別與估計ARMA模型涉及的是單變量問題，所以其識別工具主要是自相關和偏自相關函數的截尾性質，之所以稱為自相關，是因為它們均討論同一變量在兩個不同時刻輸出間的相關性。而傳遞函數的模型是多元的時間序列分析，模型的識別會同時涉及到互相關（交叉相關）和自相關問題，因為自相關在前面的章節(jié)已經討論，所以這里只討論互相關（交叉相關）。一、互相關函數(一)互相關函數定義互相關函數是一種非常有用的測度兩個變量之間相關強度和方向的函數，在時間序列中我們常常討論兩個變量間的相關性，它與平穩(wěn)時間序列的自相關函數不同，自相關函數沒有方向，亦即與的自相關系數只與時間間隔有關，無論t和s誰在前或后。給定二時間序列和，，且均為平穩(wěn)時間序列，如果不是平穩(wěn)的時間序列，總可以通過適當的差分，轉化為平穩(wěn)的時間序列。稱（4）為互協(xié)方差函數。稱（5）為互相關函數，記為CCF。特別值得注意的是互相關函數不僅與時間間隔有關，而且它是不對稱，即與方向有關。如圖3所示。圖3互相關函數示意圖（6）（7）這種互相關關系的非對稱性是容易理解的。假設是某種商品的廣告費，對于該種商品的銷售額來說是廣告費是領先的變量，它對過去的銷售幾乎無影響，甚至可能為零，因為對于來說是未來的廣告費，未來的廣告費不會對過去的銷售額；但是對于是有影響的，至于相關性到什么程度，要根據實際情況進行討論。（二）樣本互相關函數由于總體的互相關函數是未知的，為了討論兩個時間序列的互相關函數，通常需要用一個跨度為N的樣本來估計總體互相關函數，假設這個跨度為N的樣本為，如果和是非平穩(wěn)的，那么我們總可以經過d階差分將其轉換為平穩(wěn)的時間序列。樣本的互協(xié)方差函數為（8）樣本的互相關系數為（9）其中、、和分別是兩個序列的均值和標準差。在實際中，為了獲得互相關函數有統(tǒng)計意義的估計，樣本容量要求至少為50對觀測值。為了了解互相關函數的計算的原理，下面我們模擬一個二變量的時間序列的樣本，給出計算的過程?！纠?】對表3中模擬的序列，計算互相關系數。表3模擬數據表11170-12710-42396-2-241271-15148306131022可以分別計算出兩個序列的均值分別為11和8，標準差分別為2.38和1.53。計算互協(xié)方差函數＝2.667再計算互相關函數從計算的結果可以看出互相關系數是不對稱的，即不僅與間隔有關，還與方向有關?！纠?.2】本例的數據來源于Box與Jenkins合著《時間序列分析—預測與控制》一書中的序列M。序列M是某商品1970年銷售額與銷售額的領先指標共150對數據，圖4是領先指標的數據圖，圖5是銷售額指標的數據圖，圖6是和的互相關函數。圖4領先指標的數據圖圖5銷售額的數據圖CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-30.0247820.05464|.|*.|-2-0.026508-.05844|.*|.|-10.0439850.09698|.|**.|0-0.0014380-.00317|.|.|10.0321680.07092|.|*.|2-0.172487-.38029|********|.|30.3265980.72007|.|**************|40.0473920.10449|.|**.|50.0491760.10842|.|**.|60.0197920.04364|.|*.|70.0640400.14119|.|***|80.0220160.04854|.|*.|90.0407730.08989|.|**.|10-0.013822-.03048|.*|.|110.0535240.11801|.|**.|120.0137310.03027|.|*.|"."markstwostandarderrors圖6和的互相關函數圖“.”標志相關系數兩倍標準差處。從圖6可以看出當滯后期數時，互相關函數顯著為零。接著滯后期數和時的互相關函數分別為和，兩個互相關函數值均在兩倍標準差之外，所以統(tǒng)計的角度看顯著不為零。（三）互相關函數與傳遞函數的關系如前所述，傳遞函數模型可以表示為以脈沖響應函數為系數的時間序列各個時刻值的加權和，即。傳遞函數的形式實際上反映了互相關函數的特征，那么互相關函數和脈沖響應函數關系如何呢？下面討論互相關函數與傳遞函數關系。設將兩邊同時乘以，則兩邊同時求數學期望，有因為變量與隨機干擾項相互獨立，則，有上式兩邊同時除以和，得互相關函數（10）從（10）式可以看出互相關函數是輸入變量的自相關函數和脈沖響應函數的線性函數，如果能從（10）式中解出脈沖響應函數，那么模型的傳遞函數就得到了。但是（10）式的脈沖響應函數有無窮項，直接求解是不可能的。那么如果將輸入的變量x換成白噪聲序列情況會如何呢？由于白噪聲序列的自相關函數為0，這時（10）式的右邊除了之外，其余的項均為零，則（10）式簡化為（11）則（12）因此尋找一個白噪聲序列，它由濾波得到，且?guī)в械男畔ⅰ＿@種轉換叫做“預白化”方法。在這種情況下模型的脈沖相應函數和互相關函數之間僅僅相差一個常數因子，如5.11式。可見模型的脈沖相應函數和互相關函數有同樣的變化規(guī)律，利用互相關函數有助于對模型傳遞函數部分的識別。設傳遞函數模型為假定輸入序列是一個平穩(wěn)序列，其適應模型為（13）其中為白噪聲序列，且含有的信息。如果我們把看成一個濾波器，假定輸出序列與輸入序列有同樣的特征，那么用這個相同濾波器，也可以將進行濾波，得（14）其中是白噪聲序列，且含有的信息。將代入（14）式，則故有（15）可見預白化處理后，輸入的數據轉化為一個帶有信息的白噪聲序列，且有與相互獨立，這樣問題就簡化多了。當計算出樣本的互相關函數、和，脈沖響應函數的初估計就容易得到了。（15）式給我們一個信息，除了相差一個常數因子外，脈沖響應函數和互相關函數有相同的模式，這就是說可以用互相關函數來識別傳遞函數的階數?！纠?】繼續(xù)利用【例2】的數據計算預白化后的序列和的互相關函數。通過識別差分后的序列可知，服從一階移動平均模型，其模型為，故通過濾波器預白化的序列為得到兩個預白化序列后，計算兩個序列的標準差，有和。兩個預白化序列的互相關函數如圖7所示。CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-12-0.015148-.02784|.*|.|-11-0.038093-.07000|.*|.|-10-0.028313-.05203|.*|.|-9-0.026054-.04788|.*|.|-80.0269270.04948|.|*.|-7-0.0013061-.00240|.|.|-6-0.034684-.06374|.*|.|-50.0130160.02392|.|.|-40.00125830.00231|.|.|-30.0220450.04051|.|*.|-20.00541250.00995|.|.|-10.0514780.09460|.|**.|00.0342320.06291|.|*.|10.0430600.07913|.|**.|20.0100620.01849|.|.|30.3674420.67523|.|**************|40.2461120.45227|.|*********|

50.1854470.34079|.|*******|60.1401600.25757|.|*****|70.1458610.26804|.|*****|80.1078030.19811|.|****|90.0942350.17317|.|***|100.0531150.09761|.|**.|110.0788220.14485|.|***|120.0380380.06990|.|*.|"."markstwostandarderrors圖7預白化變量序列和的互相關函數圖預白化變量序列和的互相關函數第一個顯著不為零的為，即滯后期是3時，＝0.6752。表4互協(xié)方差函數、互相關函數和脈沖響應函數的計算表滯后期（k）互相關函數脈沖響應函數-7-.00240-0.0167-6-.06374-0.4446-50.023920.1668-40.002310.0161-30.040510.2825-20.009950.0694-10.094600.659800.062910.438810.079130.551920.018490.129030.675234.709440.452273.154450.340792.376960.257571.796470.268041.869580.198111.381790.173171.2078100.097610.6808110.144851.0103120.069900.4875圖8脈沖響應函數數據圖將圖8和圖7相比較，可以看出脈沖響應函數和互相關函數幾乎具有相同的模式。那么我們完全可以依據互相關函數來判定傳遞函數分子和分母多項式的階數和以及延遲參數。二、傳遞函數模型的識別傳遞函數模型的識別包含兩個方面的內容，其一是要是判定傳遞函數分子和分母多項式的階數和s以及延遲參數，其二是噪聲部分的識別。1.判定s、r和ｂ先根據脈沖相應函數與互相關函數的關系估計出，根據的特征確定s、r、ｂ。由（3）式中的第一式可知脈沖相應函數的前面?zhèn)€，即；根據（3）式第三式可知，當時，脈沖響應函數是階差分方程的解。所以如果時脈沖響應函數表現(xiàn)出階差分方程的模式，則就等于差分方程的階數，如果脈沖響應函數不呈現(xiàn)任何模式，則；如表現(xiàn)出階差分方程的模式，那么這種模式從才開始，則。比如有一個系統(tǒng)其，表現(xiàn)出的差分方程的模式從第5期開始，即，則。當脈沖響應函數不呈現(xiàn)任何模式，即有，那么2.傳遞函數部分參數的矩估計當、和s被識別之后，對和進行預白化處理后，得（18）式，將、和代入（18）式，得脈沖響應函數的估計（19）將代入（3）式，可得脈沖響應函數與傳遞函數的參數（）和（）的關系式如（20）。（20）根據（20）式解出傳遞函數部分參數的初估計（）和（）。至于初步估計的結果是否適宜，可以通過檢驗來得到。3．噪聲部分的識別與估計在前面兩步識別與估計完成以后，系統(tǒng)噪聲部分的識別和參數的估計就不困難了。通過估計模型的傳遞函數，有殘差為把殘差序列看成隨機干擾項的一段樣本，然后識別殘差序列是否具有ARMA模型模式，其ARMA模型的階和等于多少。根據以上的識別結果，已經對整個傳遞函數模型的結構有了比較完整的了解，進而可以對模型進行整體估計了。【例3】繼續(xù)【例2】，判定傳遞函數的階數。從圖6可以看出，預白化變量序列和的互相關函數第一個顯著不為零的為＝0.6704，則可知參數為。從開始，脈沖響應函數快速衰減到零，則，。初步擬定的模型階數（，，）為（1，0，3）或者（2，0，3），則初步傳遞函數的模型為三、傳遞函數模型的估計與檢驗（一）模型的估計根據前面一節(jié)的識別過程，通過對系統(tǒng)脈沖響應函數的矩估計，已經對系統(tǒng)的傳遞函數部分的階數和隨機干擾項的階數和進行了初步識別，用，，和分別表示，，和的系數向量，它們待估計的參數，根據傳遞函數的模型可以改寫模型為（21）在給定樣本序列的條件下，求得樣本的殘差序列，且是未知參數的函數，即，使達到極小的，，和就是參數的最小二乘估計，而白噪聲的方差的估計量。利用最小二乘法可以得到傳遞函數模型參數的有效估計量，由于方法較繁，這里僅僅列出其思路，具體的求解從略?！纠?】續(xù)【例3】對模型進行估計本章的計算均有SAS9.13完成。。本章的計算均有SAS9.13完成。（1）首先對模型的傳遞函數部分進行估計，得參數估計相應的統(tǒng)計量為表5傳遞函數部分參數統(tǒng)計量參數名估計值估計量的標準差統(tǒng)計量值4.6870.0780860.03<.00010.7260.00702103.41<.0001從檢驗的p值可以知道和在統(tǒng)計上是顯著不為零的，即傳遞函數部分的模型顯著。但是傳遞函數部分模型的自相關嚴重，傳遞函數部分的殘差的自相關圖(圖9)可以看出。（2）接著我們識別傳遞函數部分模型的殘差序列遵從的模型，從殘差序列的自相關圖可以知道，其自相關函數二階結尾，如圖9，則初步識別是二階移動平均模型。LagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError00.0702961.00000||********************|01-0.022106-.31447|******|.|0.08304520.00524890.07467|.|*.|0.09088830.000619910.00882|.|.|0.0913104-0.0026725-.03802|.*|.|0.09131550.0112070.15943|.|***.|0.09142560.00202250.02877|.|*.|0.0933227-0.0052602-.07483|.*|.|0.09338380.00582430.08285|.|**.|0.0937969-0.0072552-.10321|.**|.|0.094299100.00945060.13444|.|***.|0.09507511-0.0002752-.00392|.|.|0.09637712-0.0002359-.00336|.|.|0.096379圖9傳遞函數部分的殘差的自相關圖（3）根據（2）的結果，得傳遞函數的模型得初步形狀，估計整個模型，得或根據估計量的檢驗可知，參數不顯著。重新建立的模型。得模型表6傳遞函數模型參數統(tǒng)計量參數估計量標準差t值p值0.29560.08033.680.00034.71790.071166.36<.00010.72480.0055131.87<.0001從模型的檢驗的p值可以知道、和在統(tǒng)計上是顯著不為零的，即傳遞函數模型非常顯著。輸入變量通過對輸出變量產生影響，隨機干擾項通過疊加到系統(tǒng)上。（二）模型的檢驗在系統(tǒng)被識別與參數估計被獲得之后，還需要對模型擬合優(yōu)劣進行討論，這就需要檢驗。通常傳遞函數的模型要檢驗的內容有兩個，其一是整個傳遞函數模型的是否欠擬合；其二是殘差序列與派生出的預白化序列是否互相關。1.殘差序列自相關檢驗整個傳遞函數模型的是否欠擬合，包括傳遞函數部分和隨機干擾部分是否欠擬合。如果欠擬合，則殘差序列表現(xiàn)出自相關，如果模型是適應的，則無序列相關，所以需要檢驗殘差的自相關問題。可以證明，如果模型是適應的，則殘差序列可以看成白噪聲序列的一個樣本，當樣本容量足夠大的條件下，殘差的自相關函數相互獨立的服從均值為零，方差為的正態(tài)分布，是可用于計算的觀測值的個數，為有效的樣本個數，，檢驗的統(tǒng)計量（22）和是干擾模式的參數個數，K一般取得足夠大。給定顯著性水平，如果檢驗的P值，其中為由樣本計算出的統(tǒng)計量值，則接受無序列相關的假設，模型是適合的；否則時，模型有序列相關，需要修正改進。2.殘差序列互相關檢驗因為傳遞函數模型為并且可以改寫為（23）從計量經濟得經典假定看，輸入序列和隨機干擾項。在這里就轉化成的派生序列應該與隨機干擾項相互無關，所以檢驗它們是否存在互相關是必要的。可以證明如果傳遞函數適當的話，則殘差將是一個與序列無關的白噪聲的一段樣本，則將獨立漸近于均值為0，方差為的正態(tài)分布，由于是的派生序列，由來生成檢驗的統(tǒng)計量。（24）是傳遞函數部分的參數個數。給定顯著性水平，如P值，其中為由樣本計算出的統(tǒng)計量的值，則接受無序列相關的假設，模型時適合的；否則時，模型有輸入變量與殘差序列互相關，需要修正改進。當估計出適應的傳遞函數模型之后，自然會想到利用它來預測。通常在利用了某個相關輸入序列的信息之后，對于輸出序列的預測會比單變量時間序列的預測效果好。傳遞函數模型將與的變化規(guī)律用傳遞函數聯(lián)系起來了，為了利用已知的與的信息得到的最優(yōu)的預測，在實際的應用中，要先對擬合恰當的模型來外推預測的預測值，再根據的預測值，利用傳遞函數模型對系統(tǒng)的輸出變量y進行預測?！纠?】續(xù)【例4】，對模型進行殘差自相關和輸入變量與殘差序列的互相關檢驗。表7模型進行殘差自相關表滯后期k自相關函數1－6-0.0040.0920.0420.0280.1870.0757－12-0.0350.060-0.0450.1280.031-0.01513－18-0.0590.028-0.0200.064-0.0980.06718－240.070-0.0120.022-0.081-0.0770.082因為＝3，模型做了一階差分，所以有效的樣本容量為149，則。分別取，，和。下面我們分別計算、、和時的統(tǒng)計量，為了節(jié)約篇幅，僅計算的情形，其它情況類似。根據（22）式有統(tǒng)計量值為且服從自由度為（6-0-1）的分布。，，和的計算結果入下表，從結果可以看出，該模型的殘差不存在自相關。表8模型進行殘差自相關檢驗表K自由度統(tǒng)計量P值657.885420.1662121111.752160.3908181715.559340.5634242319.87720.6585表9輸入變量與殘差的互相關函數滯后期k輸入變量與殘差的互相關函數0－50.0040.106-0.1280.053-0.0530.1976－100.0140.0050.0430.0650.0200.09413－180.018-0.019-0.016-0.0300.0830.04518－24-0.1280.1030.0300.064-0.0450.112下面我們分別計算，，和時的統(tǒng)計量，僅計算從到5的情形，其它情況類似。根據（24）式有統(tǒng)計量值如表10。表10輸入變量與殘差的互相關檢驗K自由度統(tǒng)計量P值5410.786820.029067111013.221330.211559171614.982720.525905232222.864540.409412從計算的結果可以看出，不能拒絕殘差與輸入變量間無互相關的假設，故認為殘差與輸入變量的互相關系數顯著為零。第三節(jié)干預模型一、干預模型介紹突發(fā)事件，如疫情、嚴重自然災害和政府干預等通常會不可避免地會對與其密切相關的各經濟部門造成不同程度的影響。為估算這種影響，實際工作部門通常是通過計算年距增長（降低）量和年距增長（降低）速度等指標進行分析，雖然該方法簡便、直觀、易于理解，也能夠在一定程度上克服季節(jié)波動的影響，但由于其不考慮經濟序列自身的長期發(fā)展趨勢，測算結果可能會存在一定偏差。本節(jié)嘗試利用干預變量模型來測算突發(fā)事件對經濟的影響程度和作用時滯。時間序列所常受的諸如節(jié)假日、罷工、促銷和其他政策變化之類的外部事件的影響，我們稱這類外部事件為干預。在這一節(jié)將引入稱為干預分析的技術，用以評估外部事件的影響對變量的影響。干預分析（InterventionAnlysis）的研究始于70年代初美國威斯康星大學統(tǒng)計系刁錦寰教授對美國西海岸洛杉磯的大氣污染的環(huán)境問題的研究。1975年Box和刁錦寰教授在美國統(tǒng)計協(xié)會會刊上發(fā)表了《應用到經濟和環(huán)境問題的干預分析》一文，此后引起眾多統(tǒng)計學家的重視，而且被廣泛用于描述經濟政策的變化或突發(fā)事件（戰(zhàn)爭爆發(fā)、罷工、廣告促銷、環(huán)境法規(guī)等）給經濟帶來的影響的定量分析。本節(jié)討論干預發(fā)生時間已知的情形，通常干預變量分析也用來分析的時間序列是否有異常值發(fā)生。二、干預變量的類型和組合（一）干預變量有兩種常見的干預變量，一種表示T時刻事件發(fā)生，以后一直有影響，這種干預可用階躍函數表示：另一種干預變量表示在時刻T事件發(fā)生，僅對該時刻有影響，這種干預變量用脈沖函數表示如下：和是干預變量模型中干預變量的基本元素。在干預發(fā)生之后，經濟現(xiàn)象并非馬上做出反映，或者有一定的滯后期，或者當干預發(fā)生后經濟想象做出的反映可能是緩慢上升或緩慢下降，可能開始時緩慢上升而后又緩慢下降回到沒有發(fā)生干預的水平，由此我們總是可以將和進行某種處理，使之更適合我們要討論的問題。（二）干預模型中常見的干預變量的形狀1.突然發(fā)生持續(xù)時間長久的干預影響的函數形式為。這種干預變量的影響表現(xiàn)為干預在T時刻發(fā)生，但是系統(tǒng)的反應滯后b期，在第T+b期產生影響，干預變量的影響效應為。如圖10所示。T+bT+b圖10函數的圖形2．緩慢發(fā)生持續(xù)時間長久的干預影響函數為，此種干預影響在T時刻發(fā)生，滯后期為b期，即在T+b期系統(tǒng)有所相應，但是由于函數有因子，所以反映是緩慢的。3．突然發(fā)生持續(xù)時間短暫的干預影響函數表現(xiàn)為在T時刻發(fā)生的干預，在T+b時刻才做出反映，且僅僅在T+b時刻才做出反映，影響的效率為。4．緩慢發(fā)生持續(xù)時間短暫的干預影響函數表現(xiàn)為T時刻發(fā)生的干預，在T+b時刻，但是影響的效率比較緩慢，且很快恢復到以前的情形。在較復雜的情況時，還可以將上面的四種情況組合起來。模仿傳遞函數的模型，一個干預模型有如下形式：其中為干預變量或，是在整個時間序列中時刻發(fā)生了干預。限于篇幅，本節(jié)討論干預發(fā)生在何時是已知的情形。三、美國CREST牌牙膏的市場占有率實例分析我們以美國CREST牌牙膏的市場占有率為例說明這種技術的應用。估計市場的占有率是市場營銷中常遇到的問題。本例的數據是CREST牌牙膏的1958—1963的周市場占有率。在數據的第138期，整個序列發(fā)生了很大的變化，如圖所示。究其原因，主要是美國牙醫(yī)學會在1960年8月1日公報宣布CREST牌牙膏“對各種牙病任何階段都有重要的輔助治療作用”。圖5.10銷售量趨勢圖從圖中的趨勢線可以看出雖然在T=138期時有一個跳躍，但是T=138期前后的時間序列除了平均值不同之外，其波動的規(guī)律幾乎是一致的。所以我們首先識別從138到276期的數據所遵從的模型ARIMA(0,1,1)的模型，識別的過程這里不再贅述。然后，假定1960年8月1日又根據牙膏這種產品的特點，假定即期和滯后一期均有效果，則干預形式為，則有模型+，然后對其進行估計。利用SAS的ARIMA過程，用無條件最小二乘方法，有估計量如表5.11。表5.11模型參數統(tǒng)計量參數名估計值標準差統(tǒng)計量p值0.750060.0417717.96<.00010.141710.030634.63<.00010.141230.030734.60<.0001從假設檢驗的結果三個參數均不能拒絕為零的原假設，該干預模型是顯著的。干預變量引入是合理的。+從模型可以看出牙醫(yī)學會的干預對于牙膏的銷售量通過施加到銷售量上，且隨機沖擊對銷售量的影響通過疊加上去。第四節(jié)實例分析為了研究收入和消費之間的關系，我們收集了某地區(qū)1975-2004年消費總額和貨幣收入總額的相關數據如下表12。表12某地區(qū)消費總額和貨幣收入的年度資料（單位：億元）年份貨幣收入總額消費總額年份貨幣收入總額消費總額1975103.16991.1581990215.539204.751976115.07109.11991220.391218.6661977132.21119.1871992235.483227.4251978156.574143.9081993280.975229.861979166.091155.1921994292.339244.231980155.099148.6731995278.116258.3631981138.175151.2881996292.654275.2481982146.936148.11997341.442299.2771983157.7156.7771998401.141345.471984179.797138.4751999458.567406.1191985195.779174.7372000500.915462.2231986194.878182.8022001450.939492.6621987189.179180.132002626.709539.0461988199.963190.4442003783.953617.5681989205.717196.92004890.637727.397分別進行簡單線性回歸和傳遞函數模型，進而比較其擬合效果。一、一元線性回歸模型的擬合圖11貨幣收入與消費總額的散點圖從貨幣收入和消費總額的散點圖，我們可以看到二者呈現(xiàn)出比較前的線性相關關系。所以首先建立一元回歸方程。模型估計統(tǒng)計量如表5.12。表12一元回歸方程估計統(tǒng)計量VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C25.894148.2191243.1504740.0039X0.8107330.02362734.313370.0000R-squared0.976771Meandependentvar261.1725AdjustedR-squared0.975942S.D.dependentvar160.0359S.E.ofregression24.82272Akaikeinfocriterion9.325736Sumsquaredresid17252.69Schwarzcriterion9.419150Loglikelihood-137.8860F-statistic1177.407Durbin-Watsonstat1.309021Prob(F-statistic)0.000000模型為，說明隨著收入的增加，消費總額也會增加。收入每增加一億元，消費總額可望增加0.811億元。模型雖然擬合優(yōu)度較好，但是從消費行為看，既往的收入和消費均會影響當前的消費。所以可以建立傳遞函數的模型。討論滯后變量對消費的影響。D(X),D(Y(-i))D(X),D(Y(+i))ilaglead.|*******|.|*******|00.68540.6854.|***.|.|*******|10.33620.7276.|***.|.|****|20.27150.4246.|****|.|.|30.3571-0.0116.|****|.|**.|40.38520.1633.|***.|.|**.|50.26810.1879.|*.|.|**.|60.11750.1966.|.|.|*.|70.04380.0980.|*.|.*|.|80.0512-0.0575.*|.|.*|.|9-0.0743-0.1037.*|.|.|.|10-0.1133-0.0064.*|.|.|.|11-0.06790.0072.*|.|.*|.|12-0.0570-0.0892圖12差分后的收入與消費之間的互相關函數由于我們是利用差分后的變量計算的互相關函數，從互相關函數的表現(xiàn)可以看出，收入和消費增長的即期相關是顯著的，其相關系數為0.6854，收入增長與消費增長具有一期的滯后效應顯著，相關系數為0.7276。收入增長與消費增長兩期的滯后效應顯著性不高，相關系數為0.3362。我們擬建立傳遞函數模型。二、傳遞函數模型1.預白化處理及定階通過識別序列，建立AR(1)模型預白化序列。濾波器為兩個預白化序列的互相關函數圖為CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-129.4683600.01130|.|.|-1119.6620370.02347|.|.|-10-92.653819-.11059|.**|.|-9-81.068539-.09676|.**|.|-8122.5600.14628|.|***.|-7-14.932398-.01782|.|.|-62.5735830.00307|.|.|-595.4629490.11394|.|**.|-4167.9150.20042|.|****.|-3148.8860.17771|.|****.|-27.4182310.00885|.|.|-1-66.650023-.07955|.**|.|0279.6940.33383|.|*******|1407.1160.48592|.|**********|2257.9600.30789|.|******.|3-103.978-.12410|.**|.|4-5.742922-.00685|.|.|546.6664480.05570|.|*.|6144.8020.17283|.|***.|7103.3300.12333|.|**.|8-35.728254-.04264|.*|.|9-103.370-.12338|.**|.|1010.1885860.01216|.|.|1138.9491250.04649|.|*.|12-24.064270-.02872|.*|.|圖13預白化序列的互相關函數圖從互相關函數的表現(xiàn)可以看出第一個不為零的互相關函數為，所以有收入增長對消費增長所有即期效應。從互相關函數的特征可以看出其基本沒有表現(xiàn)出ARMA模型自相關函數的收斂特征，則可以認為，并初步設定。即傳遞函數模型的初步模型為。估計統(tǒng)計量如表13所示。2.傳遞函數部分估計表13傳遞函數部分的估計量參數估計值標準差t值p值00.272130.05017.42<.00011-0.291480.05764-5.06<.00012-0.269700.06131-4.400.0002傳遞函數部分的模型為從模型可以看出，收入對消費的影響當期、滯后一期和滯后兩期對消費的影響顯著。影響的效應分別是0.27213、0.07932和0.07339。進一步識別傳遞函數部分的殘差，觀測隨機沖擊的特點。AutocorrelationPlotofResidualsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError0145.6931.00000||********************|01-2.249853-.01544|.|.|0.192450214.8763670.10211|.|**.|0.19249638.5769650.05887|.|*.|0.19449249.4110380.06459|.|*.|0.1951505-18.093076-.12419|.**|.|0.1959416-17.956893-.12325|.**|.|0.1988357-1.524940-.01047|.|.|0.2016448-23.011302-.15794|.***|.|0.201664915.1394750.10391|.|**.|0.2061951023.8465640.16368|.|***.|0.2081261116.4809170.11312|.|**.|0.21284012-12.148465-.08338|.**|.|0.215055圖14傳遞函數部分殘差的自相關圖從傳遞函數部分模型的殘差看，殘差表現(xiàn)為白噪聲，故隨機沖擊部分本生是白噪聲模型。故系統(tǒng)的整體模型為或直接利用該模型進行預測，有表14。可以看出模型的預測結果較佳的。圖15可以進一步說明。表14預測值與實際值比較表年份實際值預測值95置信下限95置信上限1990204.75204.158180.501227.821991218.666210.485186.828234.141992227.425226.836203.179250.491993229.86245.512221.855269.171994244.23250.283226.626273.941995258.363255.941232.284279.61996275.248261.238237.581284.91997299.277288.926265.269312.581998345.47333.665310.007357.321999406.119391.657367.999415.312000462.223450.483426.825474.142001492.662476.455452.797500.112002539.046537.348513.69561.012003617.568619.592595.934