全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題 艾滋病療法的評價(jià)及療效的預(yù)測模型

#圖形說明：以上五幅圖表示四種療法分別在五個(gè)分段周期內(nèi)隨著cd4的增長人數(shù)比例的變化趨勢，經(jīng)對比可看出第四種療法隨著時(shí)間的推移cd4的值大的部份人數(shù)比例比另外三種高，因此我們認(rèn)為其療效最好。療效從優(yōu)到劣依次為：4，3，2，1，每幅圖的四條曲線均從1到4標(biāo)明，分別表示四種療法。對療法四進(jìn)行評價(jià)和預(yù)測，由于已知的因素只有統(tǒng)計(jì)的病人CD4的濃度，并且無法確定其它不確定因素，對于療效也沒有一個(gè)準(zhǔn)確的描述，因此我們采用了灰色預(yù)測法?；疑A(yù)測法是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法，它的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間具有不確定的關(guān)系?；疑A(yù)測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，就是對在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程進(jìn)行預(yù)測。盡管灰色過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的，但畢竟是有序的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律?；疑A(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相應(yīng)程度，即進(jìn)行相關(guān)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來的發(fā)展趨勢的狀況。灰色預(yù)測用等時(shí)距觀測到的反映預(yù)測對象的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。第一步，把時(shí)間平均分成40段，每段為一周，統(tǒng)計(jì)每段時(shí)間的平均CD4濃度作為每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的值，生成一個(gè)序列x（0）{x（o）（k）}（k=l,2???38）作為原始時(shí)間序列（第2周和第3周沒有病人進(jìn)行檢測，故k=38)。將原始序列累加k二1,x⑴(1)二x(0)(1)k二2,x(i)(2)二x⑴(1)+x(o)(2)k二3,x⑴⑶二x(1)(2)+x(0)(3)生成新的序列x⑴二{x⑴(k)}(k=l,2???38)第二步，建立GM(1，1)模型，相應(yīng)的微分方程為：dx(1)+ax⑴=卩dt其中，a為發(fā)展灰數(shù)，卩為內(nèi)生控制灰數(shù)。(aA設(shè)a為待估參數(shù)向量，a=，利用最小二乘法求解可得5丿a=(BtB)-1BtYn其中(11\——[x⑴(1)+x⑴⑵]12x(0)(2)--[x⑴(2)+x(1)(3)]1x(0)(3)B=2.?.Y=n-1x(0)(38)丿一一[x⑴(37)+x⑴(38)]1(2丿求解微分方程即可得預(yù)測模型a(1)aa、x(k+1)=[x(0)(1)一]e-ak+(k=0,l,2???n)aa第三步，模型檢驗(yàn)。<1>關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。按預(yù)測模型計(jì)算x⑴(i)，并將x⑴(i)累減生成x(0)(i)，然后計(jì)算原始序列x(0)(i)與x?(i)的絕對誤差及相對誤差序列：a(0)A(0)(i)=x(0)(i)-x(i)Q(i)=A^x100%x(0)(i)

計(jì)算(i)與x(O)(i)的相關(guān)系數(shù)：x(min(A(0)(i))+pmax(A(o)(i))O5)耳(i)二(i=1,2p=0.5A(0)(i)+pmax(A(0)(i))r=—^x(i)n

i=1r=0.851滿足p=0.5時(shí)的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)r>0.60。故關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)通過。<2>后驗(yàn)差檢驗(yàn).:y⑼一y[x(0)(i)一x]2計(jì)算原始序列X⑼的標(biāo)準(zhǔn)差S=iYn—1計(jì)算殘差A(yù)(0)計(jì)算殘差A(yù)(0)的標(biāo)準(zhǔn)差S1(0)[A(0)(i)一An一1]2計(jì)算C=S2計(jì)算小誤差概率S=0.6745S01(0)e(i)=A(0)(i)一A所有e(所有e(i)都小于S0，P=8.651，C<0.50，比較滿意后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過。第四步，殘差修正<3>殘差檢驗(yàn)。觀察相對誤差序列有的相對誤差很大，所以要對原模型進(jìn)行殘差修正以提高精度。第四步，殘差修正殘差e(0)(j)=x(1)(j)-x⑴(j),按照同樣的方法對e(0)建立相應(yīng)的GM(1，1)模型u——&au——&aee(k+1)=[e(0)(1)一e]e—aek+ae求導(dǎo)得e(k+1)=(一。)[e(0)(1)一匕]e-aekea修正后的模型x(k+1)二[x(o)(l)—]e-ak++g(k—1)(—a)[e(o)(l)—e]e-a扌aaeaeb(k—1)J1'k-21為修正系數(shù)[0,k<2j經(jīng)過計(jì)算后的結(jié)果原模型X⑴(k+1)=—2284.5e-0.0014k+2287.6修正后的模型k=0,1X⑴(k+1)=—2284.5e-0.0014k+2287.6k>2A(1)X(k+1)=—2284.5e—0.0014k+2287.6+—0.0128e—0.0019k預(yù)測之后CD4的變化趨勢X(0)(k+1)=x(1)(k+1)—x⑴(k)得到預(yù)測序列A(0)x(n+1)二{3.034744,3.030498,3.026258,3.022024,3.017797,3.013575,3.009359,3.005148，3.000944，32.996746，2.992553，2.988367，2.984186，2.980011，2.975842，2.971678,2.967521,2.963369,2.959223,2.955083,2.950949,2.946821,2.942698,2.938581,2.93447,2.930365,2.926265,2.922171,2.918083,2.914,2.909924,2.905853}與原始序列進(jìn)行比較，第38周以后的CD4值在不斷遞減，說明藥物已產(chǎn)生副作用,應(yīng)該停止治療。問題(3):設(shè)8周為一個(gè)療程,則4種療法一個(gè)療程所需費(fèi)用分別為：1：68.04美元；2：193.2美元；3:137.2美元；4:204.4美元。由問題(2)知,四種療法的療效從優(yōu)到劣依次為：4,3,2,1。將這些藥品供給到不發(fā)達(dá)國家的人民則需考慮費(fèi)用問題,療法1費(fèi)用低但療效差,因此不考慮。療法3比2的療效好且費(fèi)用低,因此考慮療法3,將療法3和4比較,雖然后者療效好但費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前者,因此我們建議使用療法3。模型評價(jià)由于對數(shù)據(jù)的處理采用了插值法填充缺失數(shù)據(jù),平均值法求各整點(diǎn)數(shù)據(jù),得到的統(tǒng)計(jì)值有一定的誤差。問題(1)和問題(2)對模型的評價(jià)方法利用統(tǒng)計(jì)作圖的方法,其準(zhǔn)確性有待進(jìn)一步討論,還需進(jìn)一步改進(jìn)。參考文獻(xiàn)徐國祥,《統(tǒng)計(jì)預(yù)測和決策》（第二版），上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2005年8月《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫組，《運(yùn)籌學(xué)》（第三版），北京：清華大學(xué)出版社，2005年6月/tb/p.asp?/=10[4]Matlab電子教程附錄>>a=[1.697.6313.1014.7911.54];>>plot(a)>>holdon;>>b=[14.0420.3424.1123.4719.23];>>plot(b,':')>>c=[42.7050.5634.2334.6950.00];>>plot(c,'r')>>d=[26.4013.8416.3718.8819.23];>>plot(d,'r:')>>e=[10.675.088.045.100.00];>>plot(e,'k:')>>f=[2.531.132.982.040.00];>>plot(f,'k--')>>g=[1.971.411.191.530.00];>>plot(g,'r--')>>holdoff;>>h=[0.004.656.855.26];>>plot(h)>>holdon;>>i=[0.577.5616.2012.91];>>plot(i,':'