例談圓與圓的位置關(guān)系中輔助線的作法VIP

例談圓與圓的位置關(guān)系中輔助線的作法湯慧圓與圓的位置關(guān)系是初中幾何的重要內(nèi)容，解題中常需要添加一些必要的輔助線，通過作輔助線，往往能使問題化繁為簡，化難為易。那么，添加輔助線有哪些規(guī)律呢？現(xiàn)以中考題為例進(jìn)行說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。兩圓相交作公共弦，利用公共圓周角或圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)架設(shè)兩圓角的關(guān)系的橋梁，實現(xiàn)角的等量代換。例1.（2003年重慶市中考題）如圖1,已知。O1與。O2相交于A、B兩點，P是。O1上一點，PB的延長線交。O2于C,PA交。O2于D,CD的延長線交。O1于N。①過點A作AE//CN交。O1于E,求證PA=PE②連結(jié)PN,若PB=4,BC=2,求PN的長。圖1分析：①欲證PA=PE,即證/PAE=ZE，連結(jié)AB,貝UAEPB是。O1的內(nèi)接四邊形，故ZCBA=ZE又ZCBA=ZCDA=ZPDN因為AE//CN所以ZPDN=ZPAE因此ZPAE=ZE，故PA=PE②PBC,PDA為。O2的兩條割線，正好與PB、PC有關(guān)，故找PD、PA、PN的關(guān)系，連結(jié)AN,利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可證NPDN~APNA得PN2=PB×PC故PN=√4×6=2√6作相交兩圓的連心線,利用連心線垂直平分公共弦,通過構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)計算問題例2.（1999年錫山市中考題）。O1和。O2相交于A、B兩點，兩圓半徑分別為6、篤和4v3，公共弦長為12,求ZOAO的度數(shù)。1 2分析：圓心0、O可位于公共弦AB的同側(cè)或異側(cè)。要求ZOAO的度數(shù)，可利用1 2 12角的和或差來求。（1）當(dāng)O、O位于AB異側(cè)時，如圖2,連結(jié)O1O9交AB于C,則OOBB，分1 2 12 12別在RtAAOC和RtAAOC中，利用銳角三角函數(shù)可求得ZOAC=45。，ZOAC=30。12 1 212⑵當(dāng)O∣、圖2=/OAC+ZOAC=75。OC位于AB同側(cè)時，如圖3,則故/OAO圖3/OAO=/OAC-ZOAC=15。綜上可知，ZOAO=75?；?5。兩圓相切,作過切點的公切線,利用弦切角架設(shè)兩圓角的關(guān)系的橋梁例3.（2004年武漢市中考題）如圖4,ΘO1和。O2內(nèi)切于P點，過P作直線交。O1于A點，交。O2于B點，C為。O1上一點，過B作。O2的切線交直線AC于Q點。（1）求證：AC?AQ=AP?AB（2）若將兩圓內(nèi)切改為外切,其它條件不變,（1）中的結(jié)論是否成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論。圖4分析：（1）欲證AC?AQ=AP?AB須證WAQB~AACP，過P作內(nèi)公切線PT,連結(jié)pc得Z3=ZC,Z3=Z1，又Z1=Z2,從而可得Z=ZC，故AABQ~AACP,從而得證。（2）當(dāng)。O1與。O2外切時，其他條件不變，（1）中結(jié)論仍然成立，方法是過P作外公切線,推理過程類似,請同學(xué)們自己完成。點評：變換題設(shè)形成探索型試題,引導(dǎo)學(xué)生主動探索得出結(jié)論是新課程對學(xué)生的要求,也是中考命題的方向。其中第一問的證明方法是解決第二問的基礎(chǔ),為第二問的證明提供了方向和方法,望同學(xué)們掌握這類題的證明方法。有關(guān)公切線的計算,常平移公切線,組成以公切線,圓心距兩圓半徑差（或和）為三邊的直角三角形,通過解直角三角形來解決。例4.（2004年云南省中考題）如圖5,ΘO1的半徑r1=6,OO2的半徑r2=2,且兩圓外切，AB和AC是兩圓的外公切線，點B、C、D、E分別是切點。①求/BAC的度數(shù)；②在線段OA上存在以點O為圓心，半徑為r的圓，若。O與。O外切且AB和233AC是它們的外公切線，則稱。O為點O圓，求O圓的半徑。23333③同上，設(shè)在線段OA上的點O圓的半徑為線段OA上的點O圓的半徑為3445r4，22211則/OOF=-1/BAC12 2在RtAOOF中，Sin/FO12O

211 OF所以Sm/BAC=—ι—2 OO12OF—1——OO126一26+22所以1/BAC=30。，/BAC=60。2r一r12r+r121r一r1②同上，有sin—■/BAC=1所以「3r2——3+r323一r1 n11r