第15講信號(hào)與系統(tǒng)課件

信號(hào)與線性系統(tǒng)第15講教材位置:第6章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)§6.6內(nèi)容概要:系統(tǒng)的穩(wěn)定性信號(hào)與線性系統(tǒng)第15講開講前言-前講回顧系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)的表示方法頻率特性、復(fù)軌跡、極點(diǎn)零點(diǎn)圖重點(diǎn)介紹極零圖的表示方法系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性右半平面極點(diǎn)系統(tǒng)不穩(wěn)定左半平面極點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定虛軸極點(diǎn)特殊考慮系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)零點(diǎn)的矢量表示極點(diǎn)零點(diǎn)附近的幅度、相位特征9/5/20232信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講開講前言-前講回顧系統(tǒng)函數(shù)的定義8/3/20232信號(hào)與線性開講前言－本講導(dǎo)入系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的意義無源系統(tǒng)穩(wěn)定有源系統(tǒng)不一定穩(wěn)定有源反饋系統(tǒng)，穩(wěn)定性是設(shè)計(jì)中重要問題穩(wěn)定性的定義從直觀感性的認(rèn)識(shí)到嚴(yán)格數(shù)學(xué)的定義穩(wěn)定性的判定響應(yīng)形式的分析工程判定方法9/5/20233信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講開講前言－本講導(dǎo)入系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的意義8/3/20233信號(hào)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件時(shí)域分析穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：對(duì)于有限（有界）的激勵(lì)只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)。若|e(t)|Me0t<則|r(t)|Mr0t<其中Me和Mr為有限的正實(shí)數(shù)。根據(jù)卷積積分r(t)=h(t)e(t)

|r(t)|＝|h(t)e(t)|有限，所以也有限，于是對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)，沖激響應(yīng)函數(shù)滿足絕對(duì)可積條件。|h(t)e(t)|Me=9/5/20234信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件|h(t)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性頻域分析穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)全部極點(diǎn)落于s左半平面（不含虛軸），則可以滿足，系統(tǒng)穩(wěn)定；不穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)極點(diǎn)落于s右半平面或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則在足夠長(zhǎng)時(shí)間以后，h(t)仍繼續(xù)增長(zhǎng)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)的極點(diǎn)位于s平面的虛軸上,且只有一階,則在足夠長(zhǎng)時(shí)間以后,h(t)趨于一個(gè)非零的有限值或形成一個(gè)等幅振蕩,此為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)穩(wěn)定系統(tǒng)的H(s)分子多項(xiàng)式的冪次m最多只能比分母多項(xiàng)式的冪次n高一次，即mn+1。若m>n，s在無窮大處有（m–n）階極點(diǎn)，而無窮大在虛軸上，穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上不能有重階極點(diǎn)，故有m–n1，既得mn+1。9/5/20235信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性頻域分析8/3/20235信號(hào)與線性系統(tǒng)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性反饋系統(tǒng)E(s)G(s)=Y(s)[R(s)–H(s)Y(s)]G(s)=Y(s)R(s)G(s)=Y(s)[1+H(s)G(s)]這里T(s)是整個(gè)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，G(s)H(s)為開環(huán)轉(zhuǎn)移函數(shù)。

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/5/20236信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性反饋系統(tǒng)G(s)H(s)R(s)+-E§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、通過轉(zhuǎn)移函數(shù)，初步判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必須位于S的左半平面內(nèi)極點(diǎn)位于虛軸上—稱為臨界穩(wěn)定.極點(diǎn)位于S右半平面上—不穩(wěn)定.穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上只能有單階極點(diǎn).在復(fù)變函數(shù)理論中,s=0,s=∞的點(diǎn)都落在虛軸上.當(dāng)m>n時(shí),s→∞時(shí),虛軸上就會(huì)有m-n階極點(diǎn),為保證系統(tǒng)穩(wěn)定m-n=1,只有一階極點(diǎn)。9/5/20237信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、通過轉(zhuǎn)移函數(shù)，初步判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性8§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性多項(xiàng)式分解，用系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（必要條件）將H(s)的分母D(s)多項(xiàng)式分解，穩(wěn)定系統(tǒng)只出現(xiàn)：(s+a)—實(shí)根，(s2+bs+c)—復(fù)根，(s2+d)—虛根。（a、b、c、d為正）多項(xiàng)式系數(shù)an～a0都應(yīng)為正值(或全部為負(fù)值）D(s)多項(xiàng)式從最高次冪排列到最低次冪應(yīng)無缺項(xiàng)，僅允許a0=0。此時(shí)有一零根－－系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件若D(s)缺全部的偶次項(xiàng)(包括a0項(xiàng))，或缺全部的奇次項(xiàng)。－－系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件9/5/20238信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性多項(xiàng)式分解，用系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（必要§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行的判定是必要性判定不滿足上述條件的，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定滿足上述條件，系統(tǒng)不能保證穩(wěn)定舉例2s3+s2+s1+6=0符合第一條件，全部系數(shù)同號(hào)，沒有缺失項(xiàng)但是此方程的三個(gè)根分別為9/5/20239信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行的判定是必要性判定8/§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據(jù)若D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0

D(s)方程式的根全部位于s左半平面的必要條件是：多項(xiàng)式的全部系數(shù)都是正值（或均為負(fù)值）且無缺項(xiàng).充分必要條件是：羅斯陣列中第一列數(shù)字（或稱元素）符號(hào)相同。羅斯陣列的排寫規(guī)則：（1）將D(s)的所有系數(shù)按如下順序排成兩行。anan-1an-2an-3an-4an-5an-6an-7依此類推排到a0止9/5/202310信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據(jù)a§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAnBnCnDn------Sn-1An-1Bn-1Cn-1Dn-1----Sn-2An-2Bn-2Cn-2-----

----Sn-3An-3Bn-3Cn-3----------S2A2B20S1A100S0A000頭兩行為An=an,An-1=an-1,Bn=an-2,Bn-1=an-3,Cn=an-4,---------下面各行按如下公式計(jì)算：11121112112------------=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA---9/5/202311信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAn§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性這樣構(gòu)成的陣列共有（n+1）行，且最后兩行都只有一個(gè)元素。第一列稱為羅斯數(shù)列。觀察羅斯陣列中第一列數(shù)字有無符號(hào)變化，若有，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；反之，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。羅斯定理：在羅斯數(shù)列中，若各數(shù)字符號(hào)不盡相同，則順次計(jì)算符號(hào)變化的次數(shù)等于方程所具有的實(shí)部為正的根數(shù)。221123221123-------------=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA--各元素的一般遞推式為iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111++-++--=-=--9/5/202312信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性這樣構(gòu)成的陣列共有（n+1）行，且最后兩§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實(shí)部為正的根。解：該方程的羅斯陣列為可見方程有兩個(gè)具有正實(shí)部的根，且可判定此特征方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。2s3+s2+s+6=0S321S216S1-110s0609/5/202313信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實(shí)部為正的根。2§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：有反饋系統(tǒng)如圖所示，其中H(s)=1時(shí)，稱為全反饋。問K為何值系統(tǒng)穩(wěn)定？解：該反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/5/202314信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：有反饋系統(tǒng)如圖所示，其中G(s)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)的特征方程為：它的羅斯陣列為：分析陣列知系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：合并兩個(gè)不等式，得到s3+5s2+4s+K=0S314S25K0S0K0S1>0及K>00<K<209/5/202315信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)的特征方程為：s3+5s§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況（1）羅斯陣列中出現(xiàn)某一行的第一列元素為零（即Ai=0），而其余元素又不全為零。例：s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0求解：S5142S4142S3010此行用ε10來代替010，ε10繼續(xù)排列羅斯表S210S100S0100符號(hào)改變9/5/202316信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況符號(hào)改§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時(shí)出現(xiàn)某一行元素全部為零，系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，具體確定還要采用輔助多項(xiàng)式分析。全零行前一行的元素組成輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替全零行再繼續(xù)排列羅斯陣列增加判斷虛軸上面的極點(diǎn)是否單極點(diǎn)，才能最后決定系統(tǒng)穩(wěn)定性例題：D(s)=s3+4s2+2s+8=0S312S248S100利用全零行上一行系數(shù)組成輔助多項(xiàng)式80P(s)=4s2+8求導(dǎo)得到P’(s)=8s+0S08解P(s)=0，得到s=±jR－H數(shù)列無符號(hào)變化，S右半平面無極點(diǎn)，虛軸上面為共軛單極點(diǎn)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定29/5/202317信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時(shí)出現(xiàn)某一行元素全部本講小結(jié)穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性時(shí)域分析沖擊響應(yīng)滿足絕對(duì)可積條件穩(wěn)定性復(fù)頻域分析系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)在復(fù)頻域位置與系統(tǒng)穩(wěn)定根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)判斷穩(wěn)定性特征方程系數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定的必要性條件R-H判斷方法系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件9/5/202318信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15講本講小結(jié)穩(wěn)定性定義8/3/202318信號(hào)與線性系統(tǒng)－第15信號(hào)與線